2020届中考数学全程演练 第二部分第九单元第31课时 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积 8页

第31课时　弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积 ‎(60分)‎ 一、选择题(每题5分，共30分)‎ ‎1．[2017·成都]在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝‎6 cm，则扇形AOB的面积是 (C)‎ A．6π cm2 B．8π cm2‎ C．12π cm2 D．24π cm2‎ ‎2．[2016·凉山]将圆心角为90°，面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为 (A)‎ A．‎1 cm B．‎‎2 cm C．‎3 cm D．‎‎4 cm ‎【解析】　由侧面积公式＝4π，得R＝4，故扇形的半径为‎4 cm，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝π·4，解得r＝‎1 cm，故选A.‎ ‎3．如图31－1，要拧开一个边长为a＝‎6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为 (C)‎ A．‎6 mm B．‎‎12 mm C．‎6 mm D．‎4 mm 图31－1‎ ‎4．[2016·成都]如图31－2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为 (D)‎ 8‎ A．2， B．2，π C.， D．2， ‎ ‎ 图31－2 　　　　第4题答图 ‎【解析】　在正六边形中，我们连结OB，OC，则△OBC为等边三角形，边长等于半径4.因为OM为边心距，所以OM⊥BC，所以，在边长为4的等边三角形中，边上的高OM＝2.弧BC所对的圆心角为60°，所以弧长为＝＝.故选D.‎ 图31－3‎ ‎5．[2016·新疆]如图31－3，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，点D经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 (B)‎ A.－ B.－ C.－ D.－ ‎【解析】　∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠BCD＝90°，‎ ‎∵CD＝1，∠DBC＝30°，‎ ‎∴BD＝2CD＝2，‎ 由勾股定理得BC＝，‎ ‎∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，‎ ‎∴BE＝BD＝2，‎ ‎∵S扇形DBE＝＝＝，‎ S△BCD＝·BC·CD＝××1＝，‎ 图31－4‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形DBE－S△BCD＝－.‎ 8‎ ‎6．[2016·攀枝花]如图31－4，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1，则图中阴影部分的面积为 (D) ‎ A. B. C. D. ‎【解析】　∵AE2＋CE2＝4＝AC2，‎ ‎∴△ACE为直角三角形，且∠AEC＝90°，‎ ‎∴AE⊥CD，∴＝，‎ ‎∴∠BOD＝∠COB，‎ ‎∵sinA＝＝，∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠COB＝2∠A＝60°，‎ ‎∴∠BOD＝∠COB＝60°，‎ ‎∴∠COD＝120°，‎ 在Rt△OCE中，‎ ‎∵sin∠COE＝，即sin60°＝，‎ 解得OC＝，‎ ‎∴S阴影＝＝＝π.‎ 二、填空题(每题5分，共30分)‎ ‎7．[2016·遂宁]在半径为‎5 cm的⊙O中，45°圆心角所对的弧长为____cm.‎ ‎【解析】　弧长公式：l＝＝＝.‎ ‎8．[2016·长沙]圆心角是60°且半径为2的扇形面积为__π__(结果保留π)．‎ ‎9．[2016·泸州]用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是__2__．‎ 图31－5‎ ‎10．[2016·湖州]如图31－5，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于____．‎ 8‎ ‎【解析】　S＝＝＝.‎ ‎11．[2017重庆]如图31－6，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积是__4－π__(结果保留π)．‎ ‎ ‎ 图31－6 　　　第11题答图 ‎【解析】　连结OC，‎ ‎∵AB与圆O相切，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC，∠A＝∠B＝30°，‎ 在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝4，‎ ‎∴OC＝OA＝2，∠AOC＝60°，‎ ‎∴∠AOB＝120°，‎ AC＝＝2，‎ ‎∴AB＝‎2AC＝4，‎ 则S阴影＝S△AOB－S扇形 ‎＝×4×2－ ‎＝4－.‎ 8‎ 图31－7‎ ‎12．[2017·达州]如图31－7，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是__π－2__.‎ ‎【解析】　∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴图中阴影部分的面积是：‎ S阴影部分面积＝S半圆AB的面积＋S半圆BC的面积－S△ABC的面积 ‎＝π×＋π×－×2×2‎ ‎＝π－2.‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎13．(10分)[2016·临沂]如图31－8，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连结AD.‎ ‎(1)求证：AD平分∠BAC；‎ ‎(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．‎ 图31－8‎ 解：(1)证明：∵BC为切线，‎ ‎∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠CAD＝∠ADO，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠ADO＝∠OAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAD，‎ ‎∴AD平分∠BAC；‎ ‎(2)设AD与OE的交点为F，‎ ‎∵AO＝OE，∴∠OAE＝∠AEO＝60°，‎ ‎∴∠AOE＝60°，∴△AOE为等边三角形，‎ 8‎ ‎∴AF⊥EO，EF＝OF，‎ ‎∵AC∥OD，‎ ‎∴△AEF的面积等于△ODF的面积，‎ ‎∴阴影部分的面积＝扇形DOE的面积＝π×22＝π.‎ ‎(20分)‎ ‎14．(10分)[2017·滨州]如图31－9，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°.‎ ‎(1)求证：CD是的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ 图31－9 　第14题答图 解：(1)证明：连结OC，‎ ‎∵AC＝CD，∠ACD＝120°.‎ ‎∴∠A＝∠D＝30°，‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，‎ ‎∴∠COD＝2∠A＝60°，‎ ‎∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.‎ 又∵点C在⊙O上，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵∠OCD＝90°，OC＝2，∠D＝30°，‎ ‎∴OD＝4，CD＝＝2.‎ ‎∴S△OCD＝OC·CD＝×2×2＝2，‎ S扇形COB＝＝π，‎ ‎∴S阴影＝S△OCD－S扇形COB＝2－π.‎ ‎15．(10分)[2016·福州]如图31－10，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tanB＝.半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到.‎ ‎(1)求证：AB为⊙C的切线；‎ 8‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ 图31－10 　　　　第15题答图 解：(1)如答图，过点C作CF⊥AB于点F，‎ 在Rt△ABC中，‎ tanB＝＝，‎ ‎∴BC＝‎2AC＝2，‎ ‎∴AB＝＝＝5，‎ ‎∴CF＝＝＝2.‎ ‎∴AB为⊙C的切线；‎ ‎(2)S阴影＝S△ABC－S扇形ECD ‎＝AC·BC－ ‎＝××2－ ‎＝5－π.‎ ‎(10分)‎ 图31－11‎ ‎16．(10分)[2017·襄阳]如图31－11，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.‎ ‎(1)求证：EF∥CG；‎ ‎(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.‎ ‎∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△ABF，‎ 8‎ ‎∴△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，‎ ‎∴∠AFB＋∠FAB＝90°.‎ ‎∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，‎ ‎∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，‎ ‎∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.‎ ‎∴EC∥FG.‎ ‎∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，‎ ‎∴四边形EFGC是平行四边形，‎ ‎∴EF∥CG；‎ ‎(2)∵△ABF≌△CBE，‎ ‎∴FB＝BE＝AB＝1，‎ ‎∴AF＝＝.‎ 在△FEC和△CGF中 ‎∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，‎ ‎∴△FEC≌△CGF，‎ ‎∴S△FEC＝S△CGF.‎ ‎∴S阴影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG ‎＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－ ‎＝－.‎ 8‎