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- 2021-05-13 发布
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圆的有关概念及性质
一、选择题
1.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，则直线l和圆O的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上均有可能
【答案】A
2.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（ ）
A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°
【答案】C
3.如图，在半径为5 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是（ ）
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
【答案】C
4.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
10
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
【答案】D
5.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于( )
A. 42 ° B. 28° C. 21° D. 20°
【答案】B
6.若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ )
A. 在⊙P内 B. 在⊙P上 C. 在⊙P外 D. 无法确定
【答案】B
7.如图，AB是圆O的直径，点C是半圆的中点，动点P在弦BC上，则∠PAB可能为（ ）
A. 90° B. 50° C. 46° D. 26°
【答案】D
10
8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
【答案】D
9.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是
A. 115° B. l05° C. 100° D. 95°
【答案】B
10.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
A. 70° B. 110° C. 120° D. 130°
【答案】B
11.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（ ）
10
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定
【答案】A
二、填空题
12.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为________ ．
【答案】相切
13.⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是________ cm．
【答案】4
14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长________．
【答案】π
15.如图，在⊙O中， = ，若∠AOB=40°，则∠COD=________°．
【答案】40
16.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=________度．
【答案】60
10
17.如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ________．
【答案】
18. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的 ⊙O1和⊙O2 ， 则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．
【答案】50π
三、解答题
19.已知：如图，在圆O中，弦AB，CD交于点E，AE=CE．求证：AB=CD．
【答案】证明：在△ADE和△CBE中， ，
∴△ADE≌△CBE，
∴BE=DE，
∵AE=CE，
∴AE+BE=CE+DE，
即AB=CD
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20.如图所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交于BC于D，DE⊥AC于E．
求证：DE是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OD，∵以AB为直径作⊙O交于BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵AO=BO，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．
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【答案】解：（1）证明：连接OG，
∵弦CD⊥AB于点H，
∴∠AHK=90°，
∴∠HKA+∠KAH=90°，
∵EG=EK，
∴∠EGK=∠EKG，
∵∠HKA=∠GKE，
∴∠HAK+∠KGE=90°，
∵AO=GO，
∴∠OAG=∠OGA，
∴∠OGA+∠KGE=90°，
∴GO⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，
∵CO=13，CH=12，
∴HO=5，
∴AH=8，
∵AC∥EF，
∴∠CAH=∠F，
∴tan∠CAH=tan∠F= ，
在Rt△OGF中，∵GO=13，
∴FG=．
22.如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，sin∠E= ，求⊙O的半径．
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【答案】（1）证明：连接OA，
∵OE垂直于弦AB，
∴∠OCA+∠CAD=90°，
∵CO=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∠EAC+∠OAC=90°，
∴OA⊥AE，
即直线AE是⊙O的切线．
（2）解：作CF⊥AE于F，
∵∠EAC=∠CAB，
∴CF=CD，
∵AB=8，
∴AD=4，
∵sin∠E= ，
∴ ， = ，
∴AE= ，DE= ，
∴CF=2，
∴CD=2，
设⊙O的半径r，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2 ， 即r2=（r﹣2）2+42 ，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5．
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23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过点D作BA的平行线交AC于点O，过点A作BC的平行线交DO的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若AO：BD= ：2，求证：点E在△ABC的外接圆上．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD= BC=CD，
∴四边形ADCE是菱形
（2）解：如图所示：圆心为点D，AD、BD、CD都为半径
（3）证明：∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，OD=OE，
∴∠AOD=90°，
∵AO：BD=3：2，
∴AO：AD=3：2，
即sin∠ADO=3：2，
∴∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴AD=2OD，
∴DE=DA，
∴点E在△ABC的外接圆上
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