2020年中考数学真题汇编 二次函数 19页

1 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像 的对称轴在 轴的右侧 C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数 的图像如图所示，下列结论正确是( ) 2 A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线 与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线 的对称轴为直线 ，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对 称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点（ ） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h＝﹣t2＋24t＋ 1．则下列说法中正确的是（ ） A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B. 点火后 24s 火箭 落于地面 C. 点火后 10s 的升空高度为 139m D. 火箭升空的最大高度为 145m 【答案】D 8.如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3， 其中正确的个数是（ ） 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与 轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （ 为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 10.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为-1，则一次函 数 y=（a-b）x+b 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4 11.四位同学在研究函数 （b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时， ．已知这四 位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 12.如图所示,△DEF 中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点,过 B 作 AB⊥DF 于 B,交边 DE(或边 EF)于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ） A. （ B. C. D. （ 【答案】B 二、填空题 5 13.已知二次函数 ，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而________（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加________m。 【答案】4 -4 三、解答题 15.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1），顺次输入点 P1 ， P2 ， P3 的坐标，机器人能根据 图 2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据 以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。 ①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。 【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段 P1P2 ， P1P2=4. ②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， 6 ∴绘制抛物线， 设 y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得 a= ， ∴ ，即 。 16.如图，抛物线 （a≠0）过点 E（10，0），矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的 左边），点 C ， D 在抛物线上．设 A（t ， 0），当 t=2 时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G ， H ， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为 y=ax（x-10） ∵当 t=2 时，AD=4 ∴点 D 的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得 a= ∴抛物线的函数表达式为 （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t ∴AB=10-2t 当 x=t 时，AD= ∴矩形 ABCD 的周长=2（AB+AD）= ∵ <0 ∴当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是多少 （3）如图， 7 当 t=2 时，点 A，B，C，D 的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2） 当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4，4），此时 GH 不能将矩形面积平分。 当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6，0），此时 GH 也不能将矩形面积平分。 ∴当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH 不可能将矩形面积平分。 当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积。 ∵AB∥CD ∴线段 OD 平移后得到线段 GH ∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 在△OBD 中，PQ 是中位线 ∴PQ= OB=4 所以，抛物线向右平移的距离是 4 个单位。 17.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力， 小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y=﹣5x2+20x，请根据要求解答 下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】（1）解：当 y=15 时， 15=﹣5x2+20x， 解得，x1=1，x2=3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s （2）解：当 y=0 时， 8 0═﹣5x2+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s （3）解：y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20， ∴当 x=2 时，y 取得最大值，此时，y=20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m 18.在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），定点为 . （1）当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式； （3）无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式. 【答案】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ，解得 . ∴抛物线的解析式为 . ∵ ， ∴顶点 的坐标为 . （2）解：如图 1， 抛物线 的顶点 的坐标为 . 9 由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ，则 . 可知 ，即 ，解得 ， . 当 时，点 不在第四象限，舍去. ∴ . ∴抛物线解析式为 . （3）解： 如图 2： 由 可知， 当 时，无论 取何值， 都等于 4. 得点 的坐标为 . 过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 . ∵ ， ， ∴ .∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ ， . 可得点 的坐标为 或 . 当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 . 10 ∵点 在直线 上， ∴ .解得 ， . 当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ . 当点 的坐标为 时， 可得直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴ .解得 （舍）， . ∴ . 综上， 或 . 故抛物线解析式为 或 . 19.如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数 的表达式； （2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求 出此时点 的坐标； （3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最 大面积. 【答案】（1）解：将点 B 和点 C 的坐标代入 , 得 ，解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ． （2）解：若四边形 POP′C 是菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上； 11 如图，连接 PP′，则 PE⊥CO，垂足为 E， ∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）, ∴ 点 P 的纵坐标等于 ． ∴ , 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴ 点 P 的坐标为（ ， ）． （3）解：过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（m， ），设直线 BC 的表达式为 ， 则 , 解得 . ∴直线 BC 的表达式为 ． ∴Q 点的坐标为（m， ）， ∴ . 当 ， 解得 ， ∴ AO=1，AB=4， ∴ S 四边形 ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = 12 = 当 时，四边形 ABPC 的面积最大． 此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 ． 20.如图 1，四边形 是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为 .点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿 以每秒 2 个单位长度的速度向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒. （1）当 时，线段 的中点坐标为________； （2）当 与 相似时，求 的值； （3）当 时，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，如 图 2 所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出所有满足条件的 点 坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（ ，2） （2）解：如图 1，∵四边形 OABC 是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90° ∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC 时， ， ∴ ， 4t2-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， 13 ②当△PAQ∽△CBQ 时， ， ∴ ， t2-9t+9=0， t= ， ∵0≤t≤6， ＞7， ∴x= 不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是 或 （3）解：当 t=1 时，P（1，0），Q（3，2）， 把 P（1，0），Q（3，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得： ，解得： ， ∴抛物线：y=x2-3x+2=（x- ）2- ， ∴顶点 k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x 轴， 作抛物线对称轴，交 MQ 于 E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ， 如图 2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设 DQ 交 y 轴于 H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， 14 ∴ ， ∴ ， ∴MH=2， ∴H（0，4）， 易得 HQ 的解析式为：y=- x+4， 则 ， x2-3x+2=- x+4， 解得：x1=3（舍），x2=- ， ∴D（- ， ）； 同理，在 M 的下方，y 轴上存在点 H，如图 3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得 OQ 的解析式：y= x， 则 ， x2-3x+2= x， 解得：x1=3（舍），x2= ， ∴D（ ， ）； 综上所述，点 D 的坐标为：D（- ， ）或（ ， ） 21.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴有两个交点. 15 （1）当 时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标； （2）过点 作直线 轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直 线 上)，求 的范围； （3）在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求 的面积最大时 的值. 【答案】（1）解：当 m=-2 时，y=x2+4x+2 当 y=0 时，则 x2+4x+2=0 解之：x1= ，x2= （2）解：∵ =（x-m）2+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2） ∵此抛物线的开口向上，且与 x 轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间（不包括点 A 在 直线 l 上） ∴ 解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1 （3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1 根据题意可知点 B（m，m-1）,A（m，2m+2） ∴AB=2m+2-m+1=m+3 S△ABO= ∴ m=− 时，△ABO 的面积最大。 22.如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 . 16 （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求矩形 的最大面积； （3）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ， 求 的值. 【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0 a+b-3=0 解之：a=1，b=2 ∴抛物线的解析式为 y-=x2+2x-3 （2）解：解：∵x=0 时，y=-3∴点 C 的坐标为（0，-3） ∵CD∥X 轴， ∴点 D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1 ∵直线 与线段 、 分别交于 、 两点 ∴ ∴ ∴ ∴矩形的最大面积为 3 （3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x 轴 ∴S 四边形 ABCD= 17 ∵ ∴S1=4，S2=5 ∵若直线 y=kx+1 经过点 D 时，点 D（-2，-3） -2k+1=-3 解之：k=2 ∴y=2x+1 当 y=0 时，x= ∴点 M 的坐标为 ∴ ∴ 设直线 y=kx+1 与 CD、AO 分别交于点 N、S ∴ ∴ 解之：k= 23.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于点 B． （1）当 x=2 时，求⊙P 的半径； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象； 18 （3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象 进行定义：此函数图象可以看成是到________的距离等于到________的距离的所有点的集合． （4）当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小． 【答案】（1）解：由 x=2，得到 P（2，y）， 连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得：y= ， 则圆 P 的半径为 （2）解：同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2 ， 整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示； （3）点 A；x 轴 （4）解：连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1，ED= ， 19 ∴D 坐标为（1+ ，a+1）， 代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1， 解得：a=﹣2+ 或 a=﹣2﹣ （舍去），即 PE=﹣2+ ， 在 Rt△PED 中，PE= ﹣2，PD=1， 则 cos∠APD= = ﹣2