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  • 2021-05-13 发布

2020年山东省德州市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.‎ ‎1.(4分)|﹣2020|的结果是(  )‎ A.‎1‎‎2020‎ B.2020 C.‎-‎‎1‎‎2020‎ D.﹣2020‎ ‎2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(4分)下列运算正确的是(  )‎ A.6a﹣5a=1 B.a2•a3=a5 ‎ C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a6÷a2=a3‎ ‎4.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是(  )‎ A.主视图 B.主视图和左视图 ‎ C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图 ‎5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:‎ 一周做饭次数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ 那么一周内该班学生的平均做饭次数为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎6.(4分)如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为(  )‎ 第28页(共28页)‎ A.80米 B.96米 C.64米 D.48米 ‎7.(4分)函数y‎=‎kx和y=﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.(4分)下列命题:‎ ‎①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形;‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.(4分)若关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎>‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x>-2x-a的解集是x<2,则a的取值范围是(  )‎ A.a≥2 B.a<﹣2 C.a>2 D.a≤2‎ ‎10.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为(  )‎ 第28页(共28页)‎ A.24‎3‎‎-‎4π B.12‎3‎‎+‎4π C.24‎3‎‎+‎8π D.24‎3‎‎+‎4π ‎11.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是(  )‎ A.若(﹣2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2 ‎ B.3a+c=0 ‎ C.方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根 ‎ D.当x≥0时,y随x的增大而减小 ‎12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为(  )‎ A.148 B.152 C.174 D.202‎ 二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.‎ ‎13.(4分)‎27‎‎-‎3‎=‎   .‎ ‎14.(4分)若一个圆锥的底面半径是2cm,母线长是6cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是   度.‎ ‎15.(4分)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣2,1),以原点O为位似中心,把线 第28页(共28页)‎ 段OA放大为原来的2倍,点A的对应点为A′.若点A'恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为   .‎ ‎16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,则该菱形的周长为   .‎ ‎17.(4分)如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是   .‎ ‎18.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB‎=‎3‎+‎2,AD‎=‎‎3‎.把AD沿AE折叠,使点D恰好落在AB边上的D′处,再将△AED′绕点E顺时针旋转α,得到△A'ED″,使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G,连接AA′.有如下结论:①A′F的长度是‎6‎‎-‎2;②弧D'D″的长度是‎5‎‎3‎‎12‎π;③△A′AF≌△A′EG;④△AA′F∽△EGF.上述结论中,所有正确的序号是   .‎ 三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19.(8分)先化简:(x-1‎x-2‎‎-‎x+2‎x)‎÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎,然后选择一个合适的x值代入求值.‎ ‎20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:‎ 第28页(共28页)‎ ‎(1)本次比赛参赛选手共有   人,扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为   ;‎ ‎(2)补全图2频数直方图;‎ ‎(3)赛前规定,成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;‎ ‎(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.‎ ‎21.(10分)如图,无人机在离地面60米的C处,观测楼房顶部B的俯角为30°,观测楼房底部A的俯角为60°,求楼房的高度.‎ ‎22.(12分)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D是半圆AB的中点,连接AC,BC,AD,BD.过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H.‎ ‎(1)求证:直线DH是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=10,BC=6,求AD,BH的长.‎ 第28页(共28页)‎ ‎23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支A型画笔,第二次超市推荐了B型画笔,但B型画笔比A型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的B型画笔.‎ ‎(1)超市B型画笔单价多少元?‎ ‎(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用B型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支B型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的B型画笔x支,购买费用为y元,请写出y关于x的函数关系式.‎ ‎(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买多少支B型画笔?‎ ‎24.(12分)问题探究:‎ 小红遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.‎ 请回答:(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是:   ;‎ ‎(2)AD的取值范围是   ;‎ 方法运用:‎ ‎(3)如图2,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连结BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.‎ ‎(4)如图3,在矩形ABCD中,ABBC‎=‎‎1‎‎2‎,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且EFBE‎=‎‎1‎‎2‎,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.‎ 第28页(共28页)‎ ‎25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,﹣2),在x轴上任取一点M,连接AM,分别以点A和点M为圆心,大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P.根据以上操作,完成下列问题.‎ 探究:‎ ‎(1)线段PA与PM的数量关系为   ,其理由为:   .‎ ‎(2)在x轴上多次改变点M的位置,按上述作图方法得到相应点P的坐标,并完成下列表格:‎ M的坐标 ‎…‎ ‎(﹣2,0)‎ ‎ (0,0)‎ ‎ (2,0)‎ ‎ (4,0)‎ ‎…‎ P的坐标 ‎…‎ ‎   ‎ ‎ (0,﹣1)‎ ‎ (2,﹣2)‎ ‎   ‎ ‎…‎ 猜想:‎ ‎(3)请根据上述表格中P点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线L,猜想曲线L的形状是   .‎ 验证:‎ ‎(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段PA与PM的关系,求出y关于x的函数解析式.‎ 应用:‎ ‎(5)如图3,点B(﹣1,‎3‎),C(1,‎3‎),点D为曲线L上任意一点,且∠BDC<30°,求点D的纵坐标yD的取值范围.‎ 第28页(共28页)‎ 第28页(共28页)‎ ‎2020年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.‎ ‎1.(4分)|﹣2020|的结果是(  )‎ A.‎1‎‎2020‎ B.2020 C.‎-‎‎1‎‎2020‎ D.﹣2020‎ ‎【解答】解:|﹣2020|=2020;‎ 故选:B.‎ ‎2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项不合题意;‎ B、是中心对称图形但不是轴对称图形.故此选项符合题意;‎ C、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项不合题意;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项不合题意.‎ 故选:B.‎ ‎3.(4分)下列运算正确的是(  )‎ A.6a﹣5a=1 B.a2•a3=a5 ‎ C.(﹣2a)2=﹣4a2 D.a6÷a2=a3‎ ‎【解答】解:6a﹣5a=a,因此选项A不符合题意;‎ a2•a3=a5,因此选项B符合题意;‎ ‎(﹣2a)2=4a2,因此选项C不符合题意;‎ a6÷a2=a6﹣2=a4,因此选项D不符合题意;‎ 故选:B.‎ ‎4.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是(  )‎ 第28页(共28页)‎ A.主视图 B.主视图和左视图 ‎ C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图 ‎【解答】解:图1主视图第一层三个正方形,第二层左边一个正方形;图2主视图第一层三个正方形,第二层右边一个正方形;故主视图发生变化;‎ 左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变;‎ 俯视图都是底层左边是一个正方形,上层是三个正方形,故俯视图不变.‎ ‎∴不改变的是左视图和俯视图.‎ 故选:D.‎ ‎5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:‎ 一周做饭次数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎7‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ 那么一周内该班学生的平均做饭次数为(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解答】解:x‎=‎4×7+5×6+6×12+7×10+8×5‎‎7+6+12+10+5‎=‎6(次),‎ 故选:C.‎ ‎6.(4分)如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为(  )‎ A.80米 B.96米 C.64米 D.48米 ‎【解答】解:根据题意可知,他需要转360÷45=8次才会回到原点,‎ 所以一共走了8×8=64(米).‎ 第28页(共28页)‎ 故选:C.‎ ‎7.(4分)函数y‎=‎kx和y=﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:在函数y‎=‎kx和y=﹣kx+2(k≠0)中,‎ 当k>0时,函数y‎=‎kx的图象在第一、三象限,函数y=﹣kx+2的图象在第一、二、四象限,故选项A、B错误,选项D正确,‎ 当k<0时,函数y‎=‎kx的图象在第二、四象限,函数y=﹣kx+2的图象在第一、二、三象限,故选项C错误,‎ 故选:D.‎ ‎8.(4分)下列命题:‎ ‎①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形;‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】解:①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题;‎ ‎②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题;‎ ‎③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形,原命题是假命题;‎ ‎④对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题;‎ 故选:B.‎ 第28页(共28页)‎ ‎9.(4分)若关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎>‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x>-2x-a的解集是x<2,则a的取值范围是(  )‎ A.a≥2 B.a<﹣2 C.a>2 D.a≤2‎ ‎【解答】解:解不等式组‎2-x‎2‎‎>‎2x-4‎‎3‎①‎‎-3x>-2x-a②‎,‎ 由①可得:x<2,‎ 由②可得:x<a,‎ 因为关于x的不等式组‎2-x‎2‎‎>‎‎2x-4‎‎3‎‎-3x>-2x-a的解集是x<2,‎ 所以,a≥2,‎ 故选:A.‎ ‎10.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A.24‎3‎‎-‎4π B.12‎3‎‎+‎4π C.24‎3‎‎+‎8π D.24‎3‎‎+‎4π ‎【解答】解:设正六边形的中心为O,连接OA,OB.‎ 由题意,OA=OB=AB=4,‎ ‎∴S弓形AmB=S扇形OAB﹣S△AOB‎=‎60⋅π⋅‎‎4‎‎2‎‎360‎-‎3‎‎4‎×‎42‎=‎‎8‎‎3‎π﹣4‎3‎,‎ ‎∴S阴=6•(S半圆﹣S弓形AmB)=6•(‎1‎‎2‎•π•22‎-‎‎8‎‎3‎π+4‎3‎)=24‎3‎‎-‎4π,‎ 第28页(共28页)‎ 故选:A.‎ ‎11.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是(  )‎ A.若(﹣2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2 ‎ B.3a+c=0 ‎ C.方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根 ‎ D.当x≥0时,y随x的增大而减小 ‎【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,a<0,‎ ‎∴点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),‎ 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),点(﹣2,y1)与(4,y1)是对称点,‎ ‎∵当x>1时,函数y随x增大而减小,‎ 故A选项不符合题意;‎ 把点(﹣1,0),(3,0)代入y=ax2+bx+c得:a﹣b+c=0①,9a+3b+c=0②,‎ ‎①×3+②得:12a+4c=0,‎ ‎∴3a+c=0,‎ 故B选项不符合题意;‎ 当y=﹣2时,y=ax2+bx+c=﹣2,‎ 由图象得:纵坐标为﹣2的点有2个,‎ ‎∴方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根,‎ 故C选项不符合题意;‎ ‎∵二次函数图象的对称轴为x=1,a<0,‎ ‎∴当x≤1时,y随x的增大而增大;‎ 当x≥1时,y随x的增大而减小;‎ 故D选项符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图 第28页(共28页)‎ 案需要黑色棋子的个数为(  )‎ A.148 B.152 C.174 D.202‎ ‎【解答】解:根据图形,第1个图案有12枚棋子,‎ 第2个图案有22枚棋子,‎ 第3个图案有34枚棋子,‎ ‎…‎ 第n个图案有2(1+2+…+n+2)+2(n﹣1)=n2+7n+4枚棋子,‎ 故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174(枚).‎ 故选:C.‎ 二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.‎ ‎13.(4分)‎27‎‎-‎3‎=‎ ‎2‎‎3‎ .‎ ‎【解答】解:原式=3‎3‎‎-‎3‎=‎2‎3‎.‎ 故答案为:2‎3‎.‎ ‎14.(4分)若一个圆锥的底面半径是2cm,母线长是6cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 度.‎ ‎【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是:2π×2=4π(cm),‎ 设圆心角的度数是n度.则nπ×6‎‎180‎‎=‎4π,‎ 解得:n=120.‎ 故答案为:120.‎ ‎15.(4分)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣2,1),以原点O为位似中心,把线段OA放大为原来的2倍,点A的对应点为A′.若点A'恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为 y‎=‎‎-8‎x .‎ ‎【解答】解:∵点A的坐标是(﹣2,1),以原点O为位似中心,把线段OA放大为原来 第28页(共28页)‎ 的2倍,点A的对应点为A′,‎ ‎∴A′坐标为:(﹣4,2)或(4,﹣2),‎ ‎∵A'恰在某一反比例函数图象上,‎ ‎∴该反比例函数解析式为:y‎=‎‎-8‎x.‎ 故答案为:y‎=‎‎-8‎x.‎ ‎16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,则该菱形的周长为 20 .‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD,‎ ‎∵x2﹣9x+20=0,‎ 因式分解得:(x﹣4)(x﹣5)=0,‎ 解得:x=4或x=5,‎ 分两种情况:‎ ‎①当AB=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形;‎ ‎②当AB=AD=5时,5+5>8,‎ ‎∴菱形ABCD的周长=4AB=20.‎ 故答案为:20.‎ ‎17.(4分)如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是 ‎1‎‎6‎ .‎ 第28页(共28页)‎ ‎【解答】解:如图所示:当分别将1,2位置涂黑,构成的黑色部分图形是轴对称图形,‎ 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是:‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ 故答案为:‎1‎‎6‎.‎ ‎18.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB‎=‎3‎+‎2,AD‎=‎‎3‎.把AD沿AE折叠,使点D恰好落在AB边上的D′处,再将△AED′绕点E顺时针旋转α,得到△A'ED″,使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G,连接AA′.有如下结论:①A′F的长度是‎6‎‎-‎2;②弧D'D″的长度是‎5‎‎3‎‎12‎π;③△A′AF≌△A′EG;④△AA′F∽△EGF.上述结论中,所有正确的序号是 ①②④ .‎ ‎【解答】解:∵把AD沿AE折叠,使点D恰好落在AB边上的D′处,‎ ‎∴∠D=∠AD'E=90°=∠DAD',AD=AD',‎ ‎∴四边形ADED'是矩形,‎ 又∵AD=AD'‎=‎‎3‎,‎ ‎∴四边形ADED'是正方形,‎ ‎∴AD=AD'=D'E=DE‎=‎‎3‎,AE‎=‎‎2‎AD‎=‎‎6‎,∠EAD'=∠AED'=45°,‎ ‎∴D'B=AB﹣AD'=2,‎ ‎∵点F是BD'中点,‎ ‎∴D'F=1,‎ ‎∴EF‎=D'E‎2‎+D'F‎2‎=‎3+1‎=‎2,‎ ‎∵将△AED′绕点E顺时针旋转α,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴AE=A'E‎=‎‎6‎,∠D'ED''=α,∠EA'D''=∠EAD'=45°,‎ ‎∴A'F‎=‎6‎-‎2,故①正确;‎ ‎∵tan∠FED'‎=D'FD'E=‎1‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴∠FED'=30°‎ ‎∴α=30°+45°=75°,‎ ‎∴弧D'D″的长度‎=‎75°×π×‎‎3‎‎180°‎=‎‎5‎‎3‎‎12‎π,故②正确;‎ ‎∵AE=A'E,∠AEA'=75°,‎ ‎∴∠EAA'=∠EA'A=52.5°,‎ ‎∴∠A'AF=7.5°,‎ ‎∵∠AA'F≠∠EA'G,∠AA'E≠∠EA'G,∠AFA'=120°≠∠EA'G,‎ ‎∴△AA'F与△A'GE不全等,故③错误;‎ ‎∵D'E=D''E,EG=EG,‎ ‎∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G(HL),‎ ‎∴∠D'GE=∠D''GE,‎ ‎∵∠AGD''=∠A'AG+∠AA'G=105°,‎ ‎∴∠D'GE=52.5°=∠AA'F,‎ 又∵∠AFA'=∠EFG,‎ ‎∴△AFA'∽△EFG,故④正确,‎ 故答案为:①②④.‎ 三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎19.(8分)先化简:(x-1‎x-2‎‎-‎x+2‎x)‎÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎,然后选择一个合适的x值代入求值.‎ ‎【解答】解:‎‎(x-1‎x-2‎-x+2‎x)÷‎‎4-xx‎2‎‎-4x+4‎ ‎=[x(x-1)‎x(x-2)‎-‎(x-2)(x+2)‎x(x-2)‎]×‎‎(x-2‎‎)‎‎2‎‎4-x‎ ‎ ‎=‎4-xx(x-2)‎⋅‎‎(x-2‎‎)‎‎2‎‎4-x‎ ‎ ‎=‎x-2‎x‎,‎ 第28页(共28页)‎ 把x=1代入x-2‎x‎=‎1-2‎x=-1‎.‎ ‎20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:‎ ‎(1)本次比赛参赛选手共有 50 人,扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 36% ;‎ ‎(2)补全图2频数直方图;‎ ‎(3)赛前规定,成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;‎ ‎(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.‎ ‎【解答】解:(1)本次比赛参赛选手共有:(8+4)÷24%=50(人),‎ ‎“59.5~69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为‎2+3‎‎50‎‎×‎100%=10%,‎ ‎∴79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%=36%;‎ 故答案为:50,36%;‎ ‎(2)∵“69.5~79.5”这一范围的人数为50×30%=15(人),‎ ‎∴“69.5~74.5”这一范围的人数为15﹣8=7(人),‎ ‎∵“79.5~89.5”这一范围的人数为50×36%=18(人),‎ ‎∴“79.5~84.5”这一范围的人数为18﹣8=10(人);‎ 补全图2频数直方图:‎ 第28页(共28页)‎ ‎(3)能获奖.理由如下:‎ ‎∵本次比赛参赛选手50人,‎ ‎∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20(人),‎ 又∵88>84.5,‎ ‎∴能获奖;‎ ‎(4)画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中恰好选中1男1女的结果数为8,‎ 所以恰好选中1男1女的概率‎=‎8‎‎12‎=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎21.(10分)如图,无人机在离地面60米的C处,观测楼房顶部B的俯角为30°,观测楼房底部A的俯角为60°,求楼房的高度.‎ ‎【解答】解:过B作BE⊥CD交CD于E,‎ 由题意得,∠CBE=30°,∠CAD=60°,‎ 第28页(共28页)‎ 在Rt△ACD中,tan∠CAD=tan60°‎=CDAD=‎‎3‎,‎ ‎∴AD‎=‎60‎‎3‎=‎20‎3‎,‎ ‎∴BE=AD=20‎3‎,‎ 在Rt△BCE中,tan∠CBE=tan30°‎=CEBE=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴CE=20‎3‎‎×‎3‎‎3‎=‎20,‎ ‎∴ED=CD﹣CE=60﹣20=40,‎ ‎∴AB=ED=40(米),‎ 答:楼房的高度为40米.‎ ‎22.(12分)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D是半圆AB的中点,连接AC,BC,AD,BD.过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H.‎ ‎(1)求证:直线DH是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=10,BC=6,求AD,BH的长.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OD,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,点D是半圆AB的中点,‎ ‎∴∠AOD‎=‎1‎‎2‎∠‎AOB=90°,‎ ‎∵DH∥AB,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴∠ODH=90°,‎ ‎∴OD⊥DH,‎ ‎∴直线DH是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:连接CD,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=∠ACB=90°,‎ ‎∵点D是半圆AB的中点,‎ ‎∴AD‎=‎DB,‎ ‎∴AD=DB,‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形,‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10‎×‎2‎‎2‎=‎5‎2‎,‎ ‎∵AB=10,BC=6,‎ ‎∴AC‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎8,‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形,‎ ‎∴∠CAD+∠CBD=180°,‎ ‎∵∠DBH+∠CBD=180°,‎ ‎∴∠CAD=∠DBH,‎ 由(1)知∠AOD=90°,∠OBD=45°,‎ ‎∴∠ACD=45°,‎ ‎∵DH∥AB,‎ ‎∴∠BDH=∠OBD=45°,‎ ‎∴∠ACD=∠BDH,‎ ‎∴△ACD∽△BDH,‎ ‎∴ACBD‎=‎ADBH,‎ ‎∴‎8‎‎5‎‎2‎‎=‎‎5‎‎2‎BH,‎ 解得:BH‎=‎‎25‎‎4‎.‎ 第28页(共28页)‎ ‎23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支A型画笔,第二次超市推荐了B型画笔,但B型画笔比A型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的B型画笔.‎ ‎(1)超市B型画笔单价多少元?‎ ‎(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用B型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支B型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的B型画笔x支,购买费用为y元,请写出y关于x的函数关系式.‎ ‎(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买多少支B型画笔?‎ ‎【解答】解:(1)设超市B型画笔单价为a元,则A型画笔单价为(a﹣2)元.‎ 根据题意得,‎60‎a-2‎‎=‎‎100‎a,‎ 解得a=5.‎ 经检验,a=5是原方程的解.‎ 答:超市B型画笔单价为5元;‎ ‎(2)由题意知,‎ 当小刚购买的B型画笔支数x≤20时,费用为y=0.9×5x=4.5x,‎ 当小刚购买的B型画笔支数x>20时,费用为y=0.9×5×20+0.8×5(x﹣20)=4x+10.‎ 所以,y关于x的函数关系式为y‎=‎‎4.5x(1≤x≤20)‎‎4x+10(x>20)‎(其中x是正整数);‎ ‎(3)当4.5x=270时,解得x=60,‎ ‎∵60>20,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴x=60不合题意,舍去;‎ 当4x+10=270时,解得x=65,符合题意.‎ 答:若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买65支B型画笔.‎ ‎24.(12分)问题探究:‎ 小红遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.‎ 请回答:(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是: SAS ;‎ ‎(2)AD的取值范围是 1<AD<5 ;‎ 方法运用:‎ ‎(3)如图2,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连结BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.‎ ‎(4)如图3,在矩形ABCD中,ABBC‎=‎‎1‎‎2‎,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且EFBE‎=‎‎1‎‎2‎,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.‎ ‎【解答】解:(1)∵AD是中线,‎ ‎∴BD=CD,‎ 又∵∠ADC=∠BDE,AD=DE,‎ ‎∴△BED≌△CAD(SAS),‎ 故答案为:SAS;‎ ‎(2)∵△BED≌△CAD,‎ ‎∴AC=BE=4,‎ 在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE,‎ ‎∴2<2AD<10,‎ ‎∴1<AD<5,‎ 第28页(共28页)‎ 故答案为:1<AD<5;‎ ‎(3)如图2,延长AD至H,使AD=DH,连接BH,‎ ‎∵AD是△ABC的中线,‎ ‎∴BD=CD,‎ 又∵∠ADC=∠BDH,AD=DH,‎ ‎∴△ADC≌△HDB(SAS),‎ ‎∴AC=BH,∠CAD=∠H,‎ ‎∵AE=EF,‎ ‎∴∠EAF=∠AFE,‎ ‎∴∠H=∠BFH,‎ ‎∴BF=BH,‎ ‎∴AC=BF;‎ ‎(4)如图3,延长CG至N,使NG=CG,连接EN,CE,NF,‎ ‎∵点G是DF的中点,‎ ‎∴DG=GF,‎ 又∵∠NGF=∠DGC,CG=NG,‎ ‎∴△NGF≌△CGD(SAS),‎ ‎∴CD=NF,∠CDB=∠NFG,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∵ABAD‎=ABBC=‎‎1‎‎2‎,EFBE‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴tan∠ADB‎=‎‎1‎‎2‎,tan∠EBF‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴∠ADB=∠EBF,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC,‎ ‎∴∠EBF=∠DBC,‎ ‎∴∠EBC=2∠DBC,‎ ‎∵∠EBF+∠EFB=90°,∠DBC+∠BDC=90°,‎ ‎∴∠EFB=∠BDC=∠NFG,∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC=180°,‎ ‎∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG=180°,‎ 又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN=180°,‎ ‎∴∠EFN=2∠DBC,‎ ‎∴∠EBC=∠EFN,‎ ‎∵ABBC‎=CDBC=‎1‎‎2‎=‎EFBE,且CD=NF,‎ ‎∴‎BEBC‎=‎EFNF ‎∴△BEC∽△FEN,‎ ‎∴∠BEC=∠FEN,‎ ‎∴∠BEF=∠NEC=90°,‎ 又∵CG=NG,‎ ‎∴EG‎=‎‎1‎‎2‎NC,‎ ‎∴EG=GC.‎ ‎25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,﹣2),在x轴上任取一点M,连接AM,分别以点A和点M为圆心,大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P.根据以上操作,完成下列问题.‎ 探究:‎ ‎(1)线段PA与PM的数量关系为 PA=PM ,其理由为: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 .‎ 第28页(共28页)‎ ‎(2)在x轴上多次改变点M的位置,按上述作图方法得到相应点P的坐标,并完成下列表格:‎ M的坐标 ‎…‎ ‎(﹣2,0)‎ ‎ (0,0)‎ ‎ (2,0)‎ ‎ (4,0)‎ ‎…‎ P的坐标 ‎…‎ ‎ (﹣2,﹣2) ‎ ‎ (0,﹣1)‎ ‎ (2,﹣2)‎ ‎ (4,﹣5) ‎ ‎…‎ 猜想:‎ ‎(3)请根据上述表格中P点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线L,猜想曲线L的形状是 抛物线 .‎ 验证:‎ ‎(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段PA与PM的关系,求出y关于x的函数解析式.‎ 应用:‎ ‎(5)如图3,点B(﹣1,‎3‎),C(1,‎3‎),点D为曲线L上任意一点,且∠BDC<30°,求点D的纵坐标yD的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵分别以点A和点M为圆心,大于‎1‎‎2‎AM的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,‎ ‎∴GH是AM的垂直平分线,‎ ‎∵点P是GH上一点,‎ ‎∴PA=PM(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等),‎ 故答案为:PA=PM,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;‎ ‎(2)当点M(﹣2,0)时,设点P(﹣2,a),(a<0)‎ ‎∵PA=PM,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴﹣a‎=‎‎(-2-0)‎2‎+(a+2)‎‎2‎,‎ ‎∴a=﹣2,‎ ‎∴点P(﹣2,﹣2),‎ 当点M(4,0)时,设点P(4,b),(b<0)‎ ‎∵PA=PM,‎ ‎∴﹣b‎=‎‎(4-0)‎2‎+(b+2)‎‎2‎,‎ ‎∴b=﹣5,‎ ‎∴点P(4,﹣5),‎ 故答案为:(﹣2,﹣2),(4,﹣5);‎ ‎(3)依照题意,画出图象,‎ 猜想曲线L的形状为抛物线,‎ 故答案为:抛物线;‎ ‎(4)∵PA=PM,点P的坐标是(x,y),(y<0),‎ ‎∴﹣y‎=‎‎(x-0)‎2‎+(y+2)‎‎2‎,‎ ‎∴y‎=-‎‎1‎‎4‎x2﹣1;‎ ‎(5)∵点B(﹣1,‎3‎),C(1,‎3‎),‎ ‎∴BC=2,OB‎=‎(-1-0‎)‎‎2‎+(‎3‎-0)‎‎2‎=‎2,OC‎=‎(1-0)‎2‎+(‎3‎-0)‎‎2‎=‎2,‎ ‎∴BC=OB=OC,‎ ‎∴△BOC是等边三角形,‎ ‎∴∠BOC=60°,‎ 如图3,以O为圆心,OB为半径作圆O,交抛物线L与点E,连接BE,CE,‎ 第28页(共28页)‎ ‎∴∠BEC=30°,‎ 设点E(m,n),‎ ‎∵点E在抛物线上,‎ ‎∴n‎=-‎‎1‎‎4‎m2﹣1,‎ ‎∵OE=OB=2,‎ ‎∴‎(m-0)‎2‎+(n-0‎‎)‎‎2‎‎=‎2,‎ ‎∴n1=2﹣2‎3‎,n2=2+2‎3‎(舍去),‎ 如图3,可知当点D在点E下方时,∠BDC<30°,‎ ‎∴点D的纵坐标yD的取值范围为yD<2﹣2‎3‎.‎ 第28页(共28页)‎