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- 2021-05-13 发布
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解密时间:2015年
6月14日上午9:00
秘密
姓名: 准考证号:
成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试
(含成都市初三毕业会考)
数学
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.的倒数是
(A) (B) (C) (D)
【答案】:A
【解析】:根据倒数的定义,很容易得到的倒数是,选A。
2.如图所示的三棱柱的主视图是
(A) (B) (C) (D)
【答案】:B
【解析】:本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图,找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中。从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内,选B。
3.今年月,在成都举行的世界机场城市大会上,成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场
建成后,成都将成为继北京、上海之后,国内第三个拥有双机场的城市,按照远期规划,
新机场将新建的4个航站楼的总面积约为万平方米,用科学计数法表示万为
(A) (B) (C) (D)
【答案】:C
【解析】: 科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数。确定n
的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值>1时,n是正数; 当原数的绝对值<1时,n是负数。 将126万用科学记数法表示1.26×106元,选B。
4.下列计算正确的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】:C
【解析】: A、 与 是同类项,能合并,。故本选项错误。
B、 与 是同底数幂,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
。故本选项错误。
C、根据幂的乘方法则。。故本选项正确。
D、根据完全平方公式。。故本选项错误。
综上,选C。
5.如图,在中,,,,,
则的长为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】:B
【解析】: 根据平行线段的比例关系,,即,,选B。
6.一次函数的图像不经过
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【答案】:D
【解析】: ∵,根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限,不经过第四象限,选D。
7.实数、在数轴上对应的点的位置如图所示,计算的结果为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】:C
【解析】: 根根据数轴上两数的特点判断出a、b的符号及绝对值的大小,再对进行分析即可。
由图可知a<0,b>0。所以a-b<0。为的相反数,选C。
8.关于的一元二次方程有两个不相等实数根,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)且
【答案】:D
【解析】:这是一道一元二次方程的题,首先要是一元二次,则,然后有两个不想等的实数根,则,则有,所以且,因此选择。
9.将抛物线向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的抛物线的函
数表达式为
A、 B、
C、 D、
【答案】:A
【解析】:这个题考的是平移,函数的平移:左加右减,上加下减。向左平移个单位得到:,再向下平移个单位得到: ,选择。
10.如图,正六边形内接于圆,半径为,则这个正六边形的边心距和
弧的长分别为
(A)、 (B)、
(C)、 (D)、
【答案】:D
【解析】:在正六边形中,我们连接、可以得到为等边三角形,边长等于半径。因为为边心距,所以,所以,在边长为的等边三角形中,边上的高。弧所对的圆心角为,由弧长计算公式: ,选D。
第Ⅱ卷(非选择题,共70分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,答案写在答题卡上)
11.因式分解:__________.
【答案】:
【解析】:本题考查了平方差公式,,因此,。
12.如图,直线,为等腰直角三角形,,则________度.
【答案】:
【解析】:本题考查了三线八角,因为为等腰直角三角形,所以
,又,
13.为响应 “书香成都”建设的号召,在全校形成良好的人文阅
读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读
时间,统计结果如图所示,则在本次调查中阅读时间的中位
数是_______小时.
【答案】:1
【解析】:把一组数据按从小到大的数序排列,在中间的一个数字
(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。
此题,显然中位数是1。
14.如图,在平行四边形中,,,将平行四边形沿翻
折后,点恰好与点重合,则折痕的长为__________.
【答案】:3
【解析】:点恰好与点重合,且四边形是平行四边形,
根据翻折的性质, 则,,
在中,由勾股定理得
三、解答题(本大题共6个小题,共54分,解答过程写在答题卡上)
15.(本小题满分12分,每小题6分)
(1)计算:
【答案】:8
【解析】:原式
(2)解方程组:
【答案】:
【解析】: 两式相加得,解得,将代入第一个式子,解得,
所以方程组的解为。
16. (本小题满分6分)
化简:
【答案】:
【解析】: 原式=
17.(本小题满分8分)
如图,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67 ,cos42°≈0.74 , tan42°≈0.90)
【答案】:234m
【解析】:如图所示,缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为,
又∵和均为直角三角形,
∴
18. (本小题满分8分)
国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革,为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:
(1)求获得一等奖的学生人数;
(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
【答案】:(1)30人; (2)
【解析】:
(1)由图可知三等奖占总的25%,总人数为人,
一等奖占,所以,一等奖的学生为
人
(2)这里提供列表法:
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
AB
BC
BD
C
AC
BC
CD
D
AD
BD
CD
从表中我们可以看到总的有12种情况,而AB分到一组的情况有2种,故总的情况为
19. (本小题满分10分)
如图,一次函数的图象与反比例(为常数,且)的图象交于,两点.
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标;
(2)在轴上找一点,使的值最小,求满足条件的点的坐标及的面积.
【答案】:(1),;(2)P ,
【解析】:
(1)由已知可得,,,
∴反比例函数的表达式为,
联立解得或,所以。
(2)如答图所示,把B点关于x轴对称,得到,
连接交x轴于点,连接,则有,
,当P点和点重合时取
到等号。易得直线:,令,
得,∴,即满足条件的P的坐标为,
设交x轴于点C,则,
∴,
即
20.(本小题满分10分)
如图,在中,,的垂直平分线分别与,及的延长线相交于点,,,且.是的外接圆,的平分线交于点,交于点,连接,.
(1)求证:;
(2)试判断与的位置关系,并说明理由;
(3)若,求的值.
【答案】:(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】:
(1)由已知条件易得,,
又,∴()
(2)与相切。
理由:连接,则,
∴,
∴。
(3)连接,,由于为垂直平分线,
∴,
∴,
又∵为角平分线,∴,
∴,∴,∴,
即,∵在等腰中,
∴
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,答案写在答题卡上)
21.比较大小:________.(填,,或)
【答案】:<
【解析】:为黄金数,约等于0.618,,显然前者小于后者。
或者作差法:,所以,前者小于后者。
22.有9张卡片,分别写有这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为a,则关于x的不等式组有解的概率为_________.
【答案】:
【解析】:设不等式有解,则不等式组的解为,那么必须满足条件,,∴满足条件的a的值为6,7,8,9,∴有解的概率为
23.已知菱形A1B1C1D1的边长为2,∠A1B1C1=60°,对角线A1C1,B1D1相交于点O.以点O为坐标原点,分别以OA1,OB1所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1,再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2,再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2,…,按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点A1,A2,A3,…,An,则点An的坐标为____________.
B2
y
B1
C2
C3
A2
A3
A1
O
C1
D1
D2
x
【答案】:(3 n-1,0)
【解析】:由题意,点A1的坐标为(1,0),
点A2的坐标为(3,0),即(3 2-1,0)
点A3的坐标为(9,0),即(3 3-1,0)
点A4的坐标为(27,0),即(3 4-1,0)
………
∴点An的坐标为(3 n-1,0)
24.如图,在半径为5的中,弦,是弦所对的优弧上的动点,连接,过点作 的垂线交射线于点,当是等腰三角形时,线段的长为 .
图(1) 图(2) 图(3)
【答案】:或或
【解析】:(1)当时,如图(1),作于点,延长交于点;
易知,
射影知.
(2)当时,如图(2),延长交于点,易知,,
易知.
(3)当时,如图(3),由.
综上:或或
25.如果关于的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是 .(写出所有正确说法的序号)
①方程是倍根方程;
②若是倍根方程,则;
③若点在反比例函数的图像上,则关于的方程是倍根方程;
④若方程是倍根方程,且相异两点,都在抛物线上,则方程的一个根为.
【答案】②③
【解析】:研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论,设其中一根为,则另一个根为,因此,所以有;我们记,即时,方程为倍根方程;下面我们根据此结论来解决问题:
对于①, ,因此本选项错误;
对于②,,而,因此本选项正确;
对于③,显然,而,因此本选项正确;
对于④,由,知 ,由倍根方程的结论知,从而有,所以方程变为,,因此本选项错误。
综上可知,正确的选项有:②③。
二、解答题(本大题共3个小题,共30分,解答过程写在大题卡上)
26、(本小题满分8分)
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用元够进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的倍,但单价贵了元。
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完利润率不低于(不考虑其它因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?
【答案】:(1)120件;(2)150元。
【解析】:(1)设该商家购进的第一批衬衫是件,则第二批衬衫是件
由题意可得:,解得,经检验是原方程的根。
(2)设每件衬衫的标价至少是元
由(1)得第一批的进价为:(元/件),第二批的进价为:(元/件)
由题意可得:
解得,所以,即每件衬衫的标价至少是元。
27、(本小题满分10分)
已知分别为四边形和的对角线,点在内,。
(1)如图①,当四边形和均为正方形时,连接。
1)求证:∽;2)若,求的长。
(2)如图②,当四边形和均为矩形,且时,若,
求的值;
(3)如图③,当四边形和均为菱形,且时,
设,试探究三者之间满足的等量关系。(直接写出结果,不必写出解答过程)
【答案】:(1)1)见解析,2);(2);(3)
【解析】:(1)1),又,
∽。
2),,由∽可得,
又,,即
由,解得。
(2)连接,同理可得,由,可得
,所以,。
,解得。
(3)连接,同理可得,过作延长线于,
可解得,,
。
28.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax 2-2ax-3a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为 ,求a的值;
(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
x
y
O
A
B
D
l
C
备用图
x
y
O
A
B
D
l
C
E
【答案】:(1)A(-1,0),y=ax+a;
(2)a=- ;
(3)P的坐标为(1,- )或(1,-4)
【解析】:
(1)A(-1,0)
x
y
O
A
B
D
l
C
E
F
∵直线l经过点A,∴0=-k+b,b=k
∴y=kx+k
令ax 2-2ax-3a=kx+k,即ax 2-( 2a+k )x-3a-k=0
∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4
∴-3- =-1×4,∴k=a
∴直线l的函数表达式为y=ax+a
(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F
设E(x,ax 2-2ax-3a),则F(x,ax+a)
EF=ax 2-2ax-3a-( ax+a )=ax 2-3ax-4a
S△ACE =S△AFE - S△CFE
= ( ax 2-3ax-4a )( x+1 )- ( ax 2-3ax-4a )x
= ( ax 2-3ax-4a )= a( x- )2- a
∴△ACE的面积的最大值为- a
∵△ACE的面积的最大值为
∴- a= ,解得a=-
(3)令ax 2-2ax-3a=ax+a,即ax 2-3ax-4a=0
x
y
A
B
D
l
C
Q
P
O
解得x1=-1,x2=4
∴D(4,5a)
∵y=ax 2-2ax-3a,∴抛物线的对称轴为x=1
设P(1,m)
①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a)
m=21a+5a=26a,则P(1,26a)
∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°
∴AD 2+PD 2=AP 2
∴5 2+( 5a )2+( 1-4 )2+( 26a-5a )2=( -1-1 )2+( 26a )2
即a 2= ,∵a<0,∴a=-
∴P1(1,- )
x
y
O
A
B
D
l
C
P
Q
②若AD是矩形的一条对角线
则线段AD的中点坐标为( ,),Q(2,-3a)
m=5a-( -3a )=8a,则P(1,8a)
∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°
∴AP 2+PD 2=AD 2
∴( -1-1 )2+( 8a )2+( 1-4 )2+( 8a-5a )2=5 2+( 5a )2
即a 2= ,∵a<0,∴a=-
∴P2(1,-4)
综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形
点P的坐标为(1,- )或(1,-4)