中考数学阅读理解型押轴题目专练2 3页

‎ 阅读理解型 如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．‎ ‎⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．‎ ‎⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．‎ ‎①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；‎ ‎②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．‎ B B B C C C A A A D P E ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎(第27题)‎ ‎【解题思路】要判断一个点是不是一个三角形的自相似点，只要根据自相似的定义来判断即可；构造一个自相似三角形时，要紧扣定义；因为三角形的内心是角平分线相交形成的，又因为定义既性质，所以可以依据自相似求出各角度数。‎ ‎【答案】⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD．‎ ‎∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．‎ ‎∴E是△ABC的自相似点． ‎ ‎⑵①作图略． ‎ 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；‎ ‎（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．‎ 则P为△ABC的自相似点．‎ ‎②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，．‎ ‎∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．‎ ‎∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，‎ ‎∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．‎ ‎∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．‎ ‎∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、．‎ ‎【点评】本题介绍了一个全新的知识：自相似，能有效的考查同学们运用所学知识解决新问题的能力，能体现学以致用的原则，是数学教学的最高境界，动手做一个自相似图形，又能有效的考查同学们的动手能力，利用自相似的定义求角度，考查了知识的运用能力，是一个形势新颖的好题，难道较较大。‎ ‎1.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：‎ ‎（1）sad60°= .‎ ‎（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 .‎ ‎（3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值.‎ ‎【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．‎ ‎【答案】（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．‎ ‎（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．‎ ‎（3）  如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．‎ 在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，‎ ‎ 则AD=AC= =4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．‎ ‎∴DH=ADsin∠A= k，AH= = k．‎ 则在△CDH中，CH=AC-AH= k，CD= = k．于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．‎ 由正对的定义可得：sadA= = ．‎ ‎【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．难度中等.‎