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2015中考数学专题复习——反比例函数(稍难题精选)
1、(2014•江苏盐城,第8题3分)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( A )
A.
B.
C.
D.
2、(2014•广西贺州,第10题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( B )
A.
B.
C.
D.
3、(2014年天津市,第9 题3分)已知反比例函数y=,当1<x<2时,y的取值范围是( C )A. 0<y<5 B. 1<y<2 C. 5<y<10 D. y>10
4、( 2014•广西玉林市、防城港市,第18题3分)如图,OABC是平行四边形,对角线OB在轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上,分别过点A、C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:
①=;
②阴影部分面积是(k1+k2);
③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;
④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.
其中正确的结论是 ①④ (把所有正确的结论的序号都填上).
5、(2014山东济南,第21题,3分)如图,和都是等腰直角三角形,,反比例函数在第一象限的图象经过点B,若,则的值为________.
D
C
A
O
x
y
B
第21题图
6、(2014•山东聊城,第17题,3分)如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,…,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1,P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 . .
7、(2014•武汉,第15题3分)如图,若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为 .
8、(2014•孝感,第17题3分)如图,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=经过斜边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为 6 .
9、(2014•山东淄博,第16题4分)关于x的反比例函数y=的图象如图,A、P为该图象上的点,且关于原点成中心对称.△PAB中,PB∥y轴,AB∥x轴,PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12,则关于x的方程(a﹣1)x2﹣x+=0的根的情况是 没有实数根 .
10、(2014•浙江湖州,第15题4分)如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为 .
分析:设OC=a,根据点D在反比例函数图象上表示出CD,再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC,然后根据中点的定义表示出点B的坐标,再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系,然后用a表示出点B的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答.
解:设OC=a,∵点D在y=上,∴CD=,
∵△OCD∽△ACO,∴=,∴AC==,∴点A(a,),
∵点B是OA的中点,∴点B的坐标为(,),∵点B在反比例函数图象上,
∴=,解得,a2=2k,∴点B的坐标为(,a),
设直线OA的解析式为y=mx,则m•=a,解得m=2,所以,直线OA的解析式为y=2x.
故答案为:y=2x.
11、2014•四川泸州,第16题,3分)图,矩形AOBC的顶点坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),动点F在边BC上(不与B、C重合),过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题:
①若k=4,则△OEF的面积为;
②若,则点C关于直线EF的对称点在x轴上;
③满足题设的k的取值范围是0<k≤12;
④若DE•EG=,则k=1.
其中正确的命题的序号是 ②④ (写出所有正确命题的序号).
12、(2014•菏泽,第13题3分)如图,Rt△ABO中,∠AOB=90°,点A在第一象限、点B在第四象限,且AO:BO=1:,若点A(x0,y0)的坐标x0,y0满足y0=,则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为 y=﹣.
13、2014•济宁,第14题3分)如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B、E在反比例函数y=的图象上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为 2 .
14、( 2014•福建泉州,第26题14分)如图,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′;
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;
②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sin∠BMC=.
解:(1)设反比例函数的关系式y=.
∵点P(2,1)在反比例函数y=的图象上,
∴k=2×1=2.
∴反比例函数的关系式y=.
(2)①过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图1所示.
当x=0时,y=0+3=3,
则点B的坐标为(0,3).OB=3.
当y=0时,0=﹣x+3,解得x=3,
则点A的坐标为(3,0),OA=3.
∵点A关于y轴的对称点为A′,
∴OA′=OA=3.
∵PC⊥y轴,点P(2,1),
∴OC=1,PC=2.
∴BC=2.
∵∠AOB=90°,OA′=OB=3,OC=1,
∴A′B=3,A′C=.
∴△A′BC的周长为3++2.
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD,
∴BC•A′O=A′B•CD.
∴2×3=3×CD.
∴CD=.
∵CD⊥A′B,
∴sin∠BA′C=
=
=.
∴△A′BC的周长为3++2,sin∠BA′C的值为.
②当1<m<2时,
作经过点B、C且半径为m的⊙E,
连接CE并延长,交⊙E于点P,连接BP,
过点E作EG⊥OB,垂足为G,
过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2①所示.
∵CP是⊙E的直径,
∴∠PBC=90°.
∴sin∠BPC===.
∵sin∠BMC=,
∴∠BMC=∠BPC.
∴点M在⊙E上.
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点.
∵EG⊥BC,
∴BG=GC=1.
∴OG=2.
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°,
∴四边形OGEH是矩形.
∴EH=OG=2,EG=OH.
∵1<m<2,
∴EH>EC.
∴⊙E与x轴相离.
∴x轴上不存在点M,使得sin∠BMC=.
②当m=2时,EH=EC.
∴⊙E与x轴相切.
Ⅰ.切点在x轴的正半轴上时,如图2②所示.
∴点M与点H重合.
∵EG⊥OG,GC=1,EC=m,
∴EG=
=.
∴OM=OH=EG=.
∴点M的坐标为(,0).
Ⅱ.切点在x轴的负半轴上时,
同理可得:点M的坐标为(﹣,0).
③当m>2时,EH<EC.
∴⊙E与x轴相交.
Ⅰ.交点在x轴的正半轴上时,
设交点为M、M′,连接EM,如图2③所示.
∵∠EHM=90°,EM=m,EH=2,
∴MH=
=
=.
∵EH⊥MM′,
∴MH=M′H.
∴M′H═.
∵∠EGC=90°,GC=1,EC=m,
∴EG=
=
=.
∴OH=EG=.
∴OM=OH﹣MH=﹣,
∴OM′=OH+HM′=+,
∴M(﹣,0)、M′(+,0).
Ⅱ.交点在x轴的负半轴上时,
同理可得:M(﹣+,0)、M′(﹣﹣,0).
综上所述:当1<m<2时,满足要求的点M不存在;
当m=2时,满足要求的点M的坐标为(,0)和(﹣,0);
当m>2时,满足要求的点M的坐标为(﹣,0)、(+,0)、(﹣+,0)、(﹣﹣,0).
15、(2014•浙江宁波,第22题10分)如图,点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,AO=CD=2,AB=DA=,反比例函数y=(k>0)的图象过CD的中点E.
(1)求证:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,是判断点G是否在反比例函数的图象上,并说明理由.
(1)证明:∵点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴,
∴∠AOB=∠DCA=90°,
在Rt△AOB和Rt△DCA中
,
∴Rt△AOB≌Rt△DCA;
(2)解:在Rt△ACD中,CD=2,AD=,
∴AC==1,
∴OC=OA+AC=2+1=3,
∴D点坐标为(3,2),
∵点E为CD的中点,
∴点E的坐标为(3,1),
∴k=3×1=3;
(3)解:点G是否在反比例函数的图象上.理由如下:
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,
∴△BFG≌△DCA,
∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,
而OB=AC=1,
∴OF=OB+BF=1+2=3,
∴G点坐标为(1,3),
∵1×3=3,
∴G(1,3)在反比例函数y=的图象上.
16、(2014山东济南,第26题,9分)(本小题满分9分)如图1,反比例函数的图象经过点A(,1),射线AB与反比例函数图象交与另一点B(1,),射线AC与轴交于点C,轴,垂足为D.
(1)求的值;
(2)求的值及直线AC的解析式;
(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线轴,与AC相交于N,连接CM,求面积的最大值.
第26题图1
A
B
C
D
O
x
y
第26题图2
A
B
C
D
O
x
y
M
N
l
(1)由反比例函数的
图象经过点A(,1),得;
(2) 由反比例函数得
点B的坐标为(1,),于是有
,,
AD=,则由可得CD=2,C点纵坐标是-1,直线AC的截距是-1,而且过点A(,1)则直线解析式为.
(3)设点M的坐标为,
则点N的坐标为,于是面积为
,
所以,当时,面积取得最大值.
17、(2014•四川内江,第21题,9分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC.
(1)求一次函数、反比例函数的解析式;
(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.
解:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,A(﹣4,0),
∴O为AB的中点,即OA=OB=4,
∴P(4,2),B(4,0),
将A(﹣4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得:,
解得:k=,b=1,
∴一次函数解析式为y=x+1,
将P(4,2)代入反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=;
(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,
对于一次函数y=x+1,令x=0,得到y=1,即C(0,1),
∴直线BC的斜率为=﹣,
设过点P,且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣(x﹣4),即y=,
与反比例解析式联立得:,
消去y得:=,
整理得:x2﹣12x+32=0,即(x﹣4)(x﹣8)=0,
解得:x=4(舍去)或x=8,
当x=8时,y=1,
∴D(8,1),
此时PD==,BC==,即PD=BC,
∵PD∥BC,
∴四边形BCPD为平行四边形,
∵PC==,即PC=BC,
∴四边形BCPD为菱形,满足题意,
则反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1).
18、(2014•泰州,第26题,14分)平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=(x>0)与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为
a、b.
(第1题图)
(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;
(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;
(3)作边长为3的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点,请说明理由.
解:(1)如图1,AB交y轴于P,
∵AB∥x轴,
∴S△OAC=×|4|=2,S△OBC=×|﹣4|=2,
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4;
(2)∵A、B的横坐标分别为a、b,
∴A、B的纵坐标分别为、﹣,
∴OA2=a2+()2,OB2=b2+(﹣)2,
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,
∴OA=OB,
∴a2+()2=b2+(﹣)2,
∴a2﹣b2+()2﹣()2=0,
∴a2﹣b2+=0,
∴(a+b)(a﹣b)(1﹣)=0,
∵a+b≠0,a>0,b<0,
∴1﹣=0,
∴ab=﹣4;
(3)∵a≥4,
而AC=3,
∴直线CD在y轴的右侧,直线CD与函数y1=(x>0)的图象一定有交点,
设直线CD与函数y1=(x>0)的图象交点为F,如图2,
∵A点坐标为(a,),正方形ACDE的边长为3,
∴C点坐标为(a﹣3,),
∴F点的坐标为(a﹣3,),
∴FC=﹣,
∵3﹣FC=3﹣(﹣)=,
而a≥4,
∴3﹣FC≥0,即FC≤3,
∵CD=3,
∴点F在线段DC上,
即对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点.
19、(2013年潍坊市)设点和是反比例函数图象上的两个点,当<<时,<,则一次函数的图象不经过的象限是( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:A.
20、(2013•南宁)如图,直线y=与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=(k>0,x>0)交于点B,若OA=3BC,则k的值为( D )
A.
3
B.
6
C.
D.
21、(13年安徽省4分、9)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是( B )
A、当x=3时,EC<EM
B、当y=9时,EC>EM
C、当x增大时,EC·CF的值增大。
D、当y增大时,BE·DF的值不变。
22、(2013浙江省温州市,16,5分)如图,已知动点A在函数的图象上,轴于点B,轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。直线DE分别交轴于点P,Q。当时,图中阴影部分的面积等于_______
23、(2013•自贡)如图,在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1,点P1的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn,则S1= 4 ,Sn= .(用含n的代数式表示)
24、(2013•遵义)如图,已知直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,点B的坐标为(﹣4,﹣2),C为双曲线y=(k>0)上一点,且在第一象限内,若△AOC的面积为6,则点C的坐标为 (2,4) .
25、(2013•宁波)如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (,) .
26、(2013•泸州)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是 (+,﹣) ;点Pn的坐标是 (+,﹣) (用含n的式子表示).
27、(2013年武汉)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数的图象上,则的值等于 -12 .
28、(2013浙江丽水)如图,点P是反比例函数图象上的点,PA垂直轴于点A(-1,0),点C的坐标为(1,0),PC交轴于点B,连结AB,已知AB=
(1)的值是__________;
(2)若M(,)是该反比例函数图象上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是__________
29、(2013年广州市)如图11,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),反比例函数(x>0,k≠0)的图像经过线段BC的中点D.
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点D重合),过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q,记四边形CQPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围。
解:(1)∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),
∴C(0,2),
∵D是BC的中点,
∴D(1,2),
∵反比例函数(x>0,k≠0)的图象经过点D,
∴k=2;
(2)当D在直线BC的上方时,即0<x<1,
如图1,∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动,
∴y=,
∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•(﹣2)=2﹣2x(0<x<1),
如图2,同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•(2﹣)=2x﹣2(x>1),
综上S=.
30、(2013•泸州)如图,已知函数y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A.将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B,与x轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若=2,求反比例函数的解析式.
解:(1)∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B,与x轴交于点C,
∴直线BC的解析式为y=x﹣6,
把y=0代入得x﹣6=0,解得x=,
∴C点坐标为(,0);
(2)作AE⊥x轴于E点,BF⊥x轴于F点,如图,
∵OA∥BC,
∴∠AOB=∠BCF,
∴Rt△OAE∽△RtCBF,
∴===2,
设A点坐标为(a,a),则OE=a,AE=a,
∴CF=a,BF=a,
∴OF=OC+CF=+a,
∴B点坐标为(+a,a),
∵点A与点B都在y=的图象上,
∴a•a=(+a)•a,解得a=3,
∴点A的坐标为(3,4),
把A(3,4)代入y=得k=3×4=12,
∴反比例函数的解析式为y=.
31、(2013•湖州压轴题)如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin∠AOB=,反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.
(1)若OA=10,求反比例函数解析式;
(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;
(3)在(2)中的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)过点A作AH⊥OB于H,
∵sin∠AOB=,OA=10,
∴AH=8,OH=6,
∴A点坐标为(6,8),根据题意得:
8=,可得:k=48,
∴反比例函数解析式:y=(x>0);
(2)设OA=a(a>0),过点F作FM⊥x轴于M,
∵sin∠AOB=,
∴AH=a,OH=a,
∴S△AOH=•aa=a2,
∵S△AOF=12,
∴S平行四边形AOBC=24,
∵F为BC的中点,
∴S△OBF=6,
∵BF=a,∠FBM=∠AOB,
∴FM=a,BM=a,
∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2,
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2,
∵点A,F都在y=的图象上,
∴S△AOH=k,
∴a2=6+a2,
∴a=,
∴OA=,
∴AH=,OH=2,
∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24,
∴OB=AC=3,
∴C(5, );
(3)存在三种情况:
当∠APO=90°时,在OA的两侧各有一点P,分别为:P1(, ),P2(﹣, ),
当∠PAO=90°时,P3(, ),
当∠POA=90°时,P4(﹣, ).
32、(2013•资阳)如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.
解:(1)①把D(4,1)代入y=得a=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=(x>0);
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得,
解得.
所以直线l的解析式为y=﹣x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=﹣x=5﹣m,
当方程组只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,
化为关于x的方程得x2+(5﹣m)x+4=0,
△=(m﹣5)2﹣4×4=0,解得m1=1,m2=9,
而m=9时,解得x=﹣2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;
(2)作DF⊥x轴,如图,
∵点D为线段AB的n等分点,
∴DA:AB=1:n,
∵DF∥OB,
∴△ADF∽△ABO,
∴==,即==,
∴AF=,DF=,
∴OF=a﹣,
∴D点坐标为(a﹣,),
把D(a﹣,)代入y=得(a﹣)•=a,
解得b=.
33、(2013山东省临沂市,12,3分)如图,若点M是x轴正半轴上的任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数(x>0)和(x>0)的图象于点P和Q,连接OP、OQ,则下列结论正确的是( D )
A.∠POQ不可能等于900 B.
C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是
34、(2013湖北随州,10,4分) 如图,直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点,交x轴的正半轴于C点,若AB:BC=(m-1):1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为( B )
A. B. C. D.
35、(2013安徽,21,12分)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“慢200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;……,乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x<600)元,优惠后得到商家的优惠率为p(p=),写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲乙两商场的标价都是x(200≤x<400)元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由。
解:(1)510-200=310(元)
(2);∴p随x的增大而减小;
(3)购x元(200≤x<400)在甲商场的优惠额是100元,乙商场的优惠额是x-0.6x=0.4x
当0.4x<100,即200≤x<250时,选甲商场优惠;
当0.4x=100,即x=250时,选甲乙商场一样优惠;
当0.4x>100,即250<x<4000时,选乙商场优惠;
36、(2012湖北武汉,15,3分)如图,点A在双曲线y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x轴与点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为3,则k的值为________.
37、(2012甘肃兰州,20,4分)如图,M为双曲线上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线于D、C两点,若直线与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD·BC的值为 。
第20题图
38、(2012江苏苏州,17,3分)如图,已知第一象限内的图象是反比例函数y=图象的一个分支,第二象限内的图象是反比例函数y=﹣图象的一个分支,在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D.若四边形ABCD的周长为8且AB<AC,则点A的坐标为 (,3) .
39、(2012年广西玉林市,25,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.(1)填空:双曲线的另一支在第 象限,k的取值范围是 ;
(2)若点C的坐标为(2,2),当点E在什么位置时?阴影部分面积S最小?
(3)若,,求双曲线的解析式.
解:(1)三,k>0;
(2)∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,而点C的坐标标为(2,2),
∴A点的纵坐标为2,E点的横坐标为2,B点坐标为(2,0),把y=2代入得x= ;把x=2代入得y=,∴A点的坐标为(,2),E点的坐标为(2, ),
∴=,
当k-2=0,即k=2时,S阴影部分最小,最小值为;
∴E点的坐标为(2,1),即E点为BC的中点,∴当点E在BC的中点时,阴影部分的面积S最小;
(3)设D点坐标为(a, ),∵,∴OD=DC,即D点为OC的中点,∴C
点坐标为(2a,),把y= 代入 得x= ,确定A点坐标为(,),∵,∴×=1,解得k=.
40、、(2013年湖北荆州模拟6)如图,已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C匀速运动,终点为C.过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致为( ▲ )
A B C D
答案:A
41、(2013浙江台州二模)15.如图,直线与双曲线()交于点.将直线向右平移个单位后,与双曲线()交于点,与轴交于点,若,则 .
(第1题)
O
x
y
A
B
C
【答案】12
42、(2013浙江台州二模)16.阅读材料,完成填空:
在平面直角坐标系中,当函数的图像产生平移,则函数的解析式会产生有规律的变化;反之,我们可以通过分析不同解析式的变化规律,推想到相应的函数图像间彼此的位置和形状的关联。不妨约定,把函数图像先往左侧平移2个单位,再往上平移1各单位,则不同类型函数解析式的变化可举例如下:
y=3x2→y=3(x+2)2+1;y=3x3→y=3(x+2)3+1;y=3→y=3+1;y=3→y=3+1;y=→y=+1;……
⑴若把函数y=+1图像再往 平移 个单位,所得函数图像的解析式为y= +1;
⑵分析下列关于函数y= +1图像性质的描述:①图像关于(1,1)点中心对称;②图像必不经过第二象限;③图像与坐标轴共有2个交点;④当x>0时,y随着x取值的变大而减小﹒其中正确的是: ﹒(填序号)
【答案】⑴右、3,⑵①③﹒
43、(2013年广西钦州市四模)如图7所示,点、、在轴上,且,分别过点、、作轴的平行线,与反比例函数的图象分别交于点、、,分别过点作轴的平行线,分别与轴交于点,连接,那么图中阴影部分的面积之和为___________.
图7
答案:
44、(2013沈阳一模)(12分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1 至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间 满足的函数关系如下表:
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水
的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的
费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处
理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;
(3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时
每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18 000元,请计算出a的整数值.
(参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)
解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,
则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。
将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000,
∴(1≤x≤6,且x取整数)。
根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:
,解得:。
∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。
(2)当1≤x≤6,且x取整数时:
=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。
∵a=﹣1000<0, 1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。
当7≤x≤12时,且x取整数时:
W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。
∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,
∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。
∵22000>18975.5,
∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。
(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,
设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。
∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。
∴a≈57。
答:a整数值是57.
45、(2013郑州外国语预测卷)已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.
∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).
从而.
(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,
∴,B(-2m,-),C(-2m,-n),E(-m,-n).
S矩形DCNO,S△DBO=,S△OEN =,
∴S四边形OBCE= S矩形DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴.
由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1),
∴C(-4,-2),M(2,2).
设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,得
解得.
∴直线CM的解析式是.
(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.
(第28题)
y
O
·
A
x
B
M
·
Q
A1
P
M1
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是
.
同理,
∴.
46、(2012浙江省义乌市)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数 在第一象限内的图象经过点D、E,
O
A
B
C
F
D
G
H
y
x
E
且 .
(1)求边AB的长;
(2)求反比例函数的解析式和n的值;
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩
形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正
半轴交于点H、G,求线段OG的长.
解:(1)在Rt△BOA中 ∵OA=4
∴AB=OA×tan∠BOA=2 ..……2分
(2)∵点D为OB的中点,点B(4,2)∴点D(2,1)
又∵点D在 的图象上 ∴
∴k=2 ∴
O
A
B
C
F
D
G
H
y
x
E
又∵点E在 图象上 ∴4n=2 ∴ n=
(3)设点F(a,2)∴2a=2 ∴CF=a=1
连结FG,设OG=t,则OG=FG=t CG=2-t
在Rt△CGF中,GF2=CF2+CG2
∴t2=(2-t)2+12
解得t = ∴OG=t= .
47、(2012历下区一模) 正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= (x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y= (x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为
答案:(+1,﹣1).
48、如图,双曲线y=(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3).
(1)确定k的值;(2分)
(2)若点D(3,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(3分)
(3)计算△OAB的面积.(3分)
解:(1)将点A(2,3)代入解析式y=,得:k=6;
(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=,得:m==2,
∴点D坐标为(3,2),
设直线AD解析式为y=kx+b,
将A(2,3)与D(3,2)代入得:,
解得:k=﹣1,b=5,
则直线AD解析式为y=﹣x+5;
(3)过点C作CN⊥y轴,垂足为N,延长BA,交y轴于点M,
∵AB∥x轴,
∴BM⊥y轴,
∴MB∥CN,
∴△OCN∽△OBM,
∵C为OB的中点,即=,
∴=()2,
∵A,C都在双曲线y=上,
∴S△OCN=S△AOM=3,
由=,得到S△AOB=9,
则△AOB面积为9.
49、(2015桂花九义校模拟6)如图,一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0)的图象相交于A点,与y轴、x轴分别相交于B、C两点,且C(2,0).当x<–1时,一次函数值大于反比例函数的值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.
(1)求一次函数的解析式;(4分)
(2)设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P(P点的横坐标大于2),过P作PQ⊥x轴,垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.(4分)
(3)在(2)的条件下,过原点O作直线交线段BQ于点M,若BM:MQ=4:5,在双曲线y2= (x>0)上,是否存在点P′,使点P′与点P关于直线OM对称?若存在,请直接写出点P′的坐标;若不存在,请说明理由.(2分)
解:(1)∵x< –1时,一次函数值大于反比例函数值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值. ∴A点的横坐标是–1,∴A(–1,3)
设一次函数解析式为y= kx+b,因直线过A、C
则 ,解之得: ,
∴一次函数解析式为y= –x+2
(2)∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称,
∴y2 = (x>0)
∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点,
∴B (0,2)
设P(n, ),n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2,
∴( 2+ )n– ´2´2 = 2,n = , ∴P(,)
(3)存在,P′(,).
提示:根据双曲线的对称性,点P关于直线y=x的对称点P′必在此双曲线上,因此,只需计算直线OM是否为第一、三象限的角平分线.过点M作MN⊥x轴于N,利用相似可得MN=ON=10/9.
50、(2014•德阳)如图,已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形的对称中心E,且与边BC交于点D.
(1)求反比例函数的解析式和点D的坐标;
(2)若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3:5的两部分,求此直线的解析式.
解:(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标是(4,2),E是矩形ABCD的对称中心,
∴点E的坐标为(2,1),
代入反比例函数解析式得,=1,
解得k=2,
∴反比例函数解析式为y=,
∵点D在边BC上,
∴点D的纵坐标为2,
∴y=2时,=2,
解得x=1,
∴点D的坐标为(1,2);
(2)如图,设直线与x轴的交点为F,
矩形OABC的面积=4×2=8,
∵矩形OABC的面积分成3:5的两部分,
∴梯形OFDC的面积为×8=3,
或×8=5,
∵点D的坐标为(1,2),
∴若(1+OF)×2=3,
解得OF=2,
此时点F的坐标为(2,0),
若(1+OF)×2=5,
解得OF=4,
此时点F的坐标为(4,0),与点A重合,
当D(1,2),F(2,0)时,,
解得,
此时,直线解析式为y=﹣2x+4,
当D(1,2),F(4,0)时,,
解得,
此时,直线解析式为y=﹣x+,
综上所述,直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+.