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  • 2021-05-13 发布

中考数学专题复习——反比例函数稍难题精选

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‎2015中考数学专题复习——反比例函数(稍难题精选)‎ ‎1、(2014•江苏盐城,第8题3分)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(﹣1,1),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,在y轴的正半轴上取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上,则t的值是( A )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2、(2014•广西贺州,第10题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是( B )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎3、(2014年天津市,第9 题3分)已知反比例函数y=,当1<x<2时,y的取值范围是( C )A. 0<y<5 B. 1<y<‎2 ‎‎ ‎C. 5<y<10 D. y>10‎ ‎4、( 2014•广西玉林市、防城港市,第18题3分)如图,OABC是平行四边形,对角线OB在轴正半轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上,分别过点A、C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:‎ ‎①=;‎ ‎②阴影部分面积是(k1+k2);‎ ‎③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;‎ ‎④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.‎ 其中正确的结论是 ①④ (把所有正确的结论的序号都填上).‎ ‎5、(2014山东济南,第21题,3分)如图,和都是等腰直角三角形,,反比例函数在第一象限的图象经过点B,若,则的值为________.‎ D C A O x y B 第21题图 ‎6、(2014•山东聊城,第17题,3分)如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,…,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P1,P2,P3,P4,…Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,…,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 . .‎ ‎7、(2014•武汉,第15题3分)如图,若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为 .‎ ‎8、(2014•孝感,第17题3分)如图,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=经过斜边OA的中点C,与另一直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为 6 .‎ ‎9、(2014•山东淄博,第16题4分)关于x的反比例函数y=的图象如图,A、P为该图象上的点,且关于原点成中心对称.△PAB中,PB∥y轴,AB∥x轴,PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12,则关于x的方程(a﹣1)x2﹣x+=0的根的情况是 没有实数根 .‎ ‎10、(2014•浙江湖州,第15题4分)如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为  .‎ 分析:设OC=a,根据点D在反比例函数图象上表示出CD,再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC,然后根据中点的定义表示出点B的坐标,再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系,然后用a表示出点B的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答.‎ 解:设OC=a,∵点D在y=上,∴CD=,‎ ‎∵△OCD∽△ACO,∴=,∴AC==,∴点A(a,),‎ ‎∵点B是OA的中点,∴点B的坐标为(,),∵点B在反比例函数图象上,‎ ‎∴=,解得,a2=2k,∴点B的坐标为(,a),‎ 设直线OA的解析式为y=mx,则m•=a,解得m=2,所以,直线OA的解析式为y=2x.‎ 故答案为:y=2x.‎ ‎11、2014•四川泸州,第16题,3分)图,矩形AOBC的顶点坐标分别为A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),动点F在边BC上(不与B、C重合),过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E,直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题:‎ ‎①若k=4,则△OEF的面积为;‎ ‎②若,则点C关于直线EF的对称点在x轴上;‎ ‎③满足题设的k的取值范围是0<k≤12;‎ ‎④若DE•EG=,则k=1.‎ 其中正确的命题的序号是 ②④ (写出所有正确命题的序号).‎ ‎12、(2014•菏泽,第13题3分)如图,Rt△ABO中,∠AOB=90°,点A在第一象限、点B在第四象限,且AO:BO=1:,若点A(x0,y0)的坐标x0,y0满足y0=,则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为 y=﹣.‎ ‎13、2014•济宁,第14题3分)如图,四边形OABC是矩形,ADEF是正方形,点A、D在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,点F在AB上,点B、E在反比例函数y=的图象上,OA=1,OC=6,则正方形ADEF的边长为 2 .‎ ‎14、( 2014•福建泉州,第26题14分)如图,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).‎ ‎(1)求该反比例函数的关系式;‎ ‎(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′;‎ ‎①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;‎ ‎②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sin∠BMC=.‎ 解:(1)设反比例函数的关系式y=.‎ ‎∵点P(2,1)在反比例函数y=的图象上,‎ ‎∴k=2×1=2.‎ ‎∴反比例函数的关系式y=.‎ ‎(2)①过点C作CD⊥AB,垂足为D,如图1所示.‎ 当x=0时,y=0+3=3,‎ 则点B的坐标为(0,3).OB=3.‎ 当y=0时,0=﹣x+3,解得x=3,‎ 则点A的坐标为(3,0),OA=3.‎ ‎∵点A关于y轴的对称点为A′,‎ ‎∴OA′=OA=3.‎ ‎∵PC⊥y轴,点P(2,1),‎ ‎∴OC=1,PC=2.‎ ‎∴BC=2.‎ ‎∵∠AOB=90°,OA′=OB=3,OC=1,‎ ‎∴A′B=3,A′C=.‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2.‎ ‎∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD,‎ ‎∴BC•A′O=A′B•CD.‎ ‎∴2×3=3×CD.‎ ‎∴CD=.‎ ‎∵CD⊥A′B,‎ ‎∴sin∠BA′C=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2,sin∠BA′C的值为.‎ ‎②当1<m<2时,‎ 作经过点B、C且半径为m的⊙E,‎ 连接CE并延长,交⊙E于点P,连接BP,‎ 过点E作EG⊥OB,垂足为G,‎ 过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2①所示.‎ ‎∵CP是⊙E的直径,‎ ‎∴∠PBC=90°.‎ ‎∴sin∠BPC===.‎ ‎∵sin∠BMC=,‎ ‎∴∠BMC=∠BPC.‎ ‎∴点M在⊙E上.‎ ‎∵点M在x轴上 ‎∴点M是⊙E与x轴的交点.‎ ‎∵EG⊥BC,‎ ‎∴BG=GC=1.‎ ‎∴OG=2.‎ ‎∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°,‎ ‎∴四边形OGEH是矩形.‎ ‎∴EH=OG=2,EG=OH.‎ ‎∵1<m<2,‎ ‎∴EH>EC.‎ ‎∴⊙E与x轴相离.‎ ‎∴x轴上不存在点M,使得sin∠BMC=.‎ ‎②当m=2时,EH=EC.‎ ‎∴⊙E与x轴相切.‎ Ⅰ.切点在x轴的正半轴上时,如图2②所示.‎ ‎∴点M与点H重合.‎ ‎∵EG⊥OG,GC=1,EC=m,‎ ‎∴EG=‎ ‎=.‎ ‎∴OM=OH=EG=.‎ ‎∴点M的坐标为(,0).‎ Ⅱ.切点在x轴的负半轴上时,‎ 同理可得:点M的坐标为(﹣,0).‎ ‎③当m>2时,EH<EC.‎ ‎∴⊙E与x轴相交.‎ Ⅰ.交点在x轴的正半轴上时,‎ 设交点为M、M′,连接EM,如图2③所示.‎ ‎∵∠EHM=90°,EM=m,EH=2,‎ ‎∴MH=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∵EH⊥MM′,‎ ‎∴MH=M′H.‎ ‎∴M′H═.‎ ‎∵∠EGC=90°,GC=1,EC=m,‎ ‎∴EG=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎∴OH=EG=.‎ ‎∴OM=OH﹣MH=﹣,‎ ‎∴OM′=OH+HM′=+,‎ ‎∴M(﹣,0)、M′(+,0).‎ Ⅱ.交点在x轴的负半轴上时,‎ 同理可得:M(﹣+,0)、M′(﹣﹣,0).‎ 综上所述:当1<m<2时,满足要求的点M不存在;‎ 当m=2时,满足要求的点M的坐标为(,0)和(﹣,0);‎ 当m>2时,满足要求的点M的坐标为(﹣,0)、(+,0)、(﹣+,0)、(﹣﹣,0).‎ ‎15、(2014•浙江宁波,第22题10分)如图,点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,AO=CD=2,AB=DA=,反比例函数y=(k>0)的图象过CD的中点E.‎ ‎(1)求证:△AOB≌△DCA;‎ ‎(2)求k的值;‎ ‎(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,是判断点G是否在反比例函数的图象上,并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴,‎ ‎∴∠AOB=∠DCA=90°,‎ 在Rt△AOB和Rt△DCA中 ‎,‎ ‎∴Rt△AOB≌Rt△DCA;‎ ‎(2)解:在Rt△ACD中,CD=2,AD=,‎ ‎∴AC==1,‎ ‎∴OC=OA+AC=2+1=3,‎ ‎∴D点坐标为(3,2),‎ ‎∵点E为CD的中点,‎ ‎∴点E的坐标为(3,1),‎ ‎∴k=3×1=3;‎ ‎(3)解:点G是否在反比例函数的图象上.理由如下:‎ ‎∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,‎ ‎∴△BFG≌△DCA,‎ ‎∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,‎ 而OB=AC=1,‎ ‎∴OF=OB+BF=1+2=3,‎ ‎∴G点坐标为(1,3),‎ ‎∵1×3=3,‎ ‎∴G(1,3)在反比例函数y=的图象上.‎ ‎16、(2014山东济南,第26题,9分)(本小题满分9分)如图1,反比例函数的图象经过点A(,1),射线AB与反比例函数图象交与另一点B(1,),射线AC与轴交于点C,轴,垂足为D.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值及直线AC的解析式;‎ ‎(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线轴,与AC相交于N,连接CM,求面积的最大值. ‎ 第26题图1‎ A B C D O x y 第26题图2‎ A B C D O x y M N l ‎(1)由反比例函数的 图象经过点A(,1),得;‎ (2) 由反比例函数得 点B的坐标为(1,),于是有 ‎,,‎ AD=,则由可得CD=2,C点纵坐标是-1,直线AC的截距是-1,而且过点A(,1)则直线解析式为.‎ ‎(3)设点M的坐标为,‎ 则点N的坐标为,于是面积为 ‎,‎ 所以,当时,面积取得最大值.‎ ‎17、(2014•四川内江,第21题,9分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,且AC=BC.‎ ‎(1)求一次函数、反比例函数的解析式;‎ ‎(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.‎ 解:(1)∵AC=BC,CO⊥AB,A(﹣4,0),‎ ‎∴O为AB的中点,即OA=OB=4,‎ ‎∴P(4,2),B(4,0),‎ 将A(﹣4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得:,‎ 解得:k=,b=1,‎ ‎∴一次函数解析式为y=x+1,‎ 将P(4,2)代入反比例解析式得:m=8,即反比例解析式为y=;‎ ‎(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形,如图所示,‎ 对于一次函数y=x+1,令x=0,得到y=1,即C(0,1),‎ ‎∴直线BC的斜率为=﹣,‎ 设过点P,且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣(x﹣4),即y=,‎ 与反比例解析式联立得:,‎ 消去y得:=,‎ 整理得:x2﹣12x+32=0,即(x﹣4)(x﹣8)=0,‎ 解得:x=4(舍去)或x=8,‎ 当x=8时,y=1,‎ ‎∴D(8,1),‎ 此时PD==,BC==,即PD=BC,‎ ‎∵PD∥BC,‎ ‎∴四边形BCPD为平行四边形,‎ ‎∵PC==,即PC=BC,‎ ‎∴四边形BCPD为菱形,满足题意,‎ 则反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时D坐标为(8,1).‎ ‎18、(2014•泰州,第26题,14分)平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=(x>0)与y2=﹣(x<0)的图象上,A、B的横坐标分别为 a、b.‎ ‎(第1题图)‎ ‎(1)若AB∥x轴,求△OAB的面积;‎ ‎(2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;‎ ‎(3)作边长为3的正方形ACDE,使AC∥x轴,点D在点A的左上方,那么,对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点,请说明理由.‎ 解:(1)如图1,AB交y轴于P,‎ ‎∵AB∥x轴,‎ ‎∴S△OAC=×|4|=2,S△OBC=×|﹣4|=2,‎ ‎∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4;‎ ‎(2)∵A、B的横坐标分别为a、b,‎ ‎∴A、B的纵坐标分别为、﹣,‎ ‎∴OA2=a2+()2,OB2=b2+(﹣)2,‎ ‎∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形,‎ ‎∴OA=OB,‎ ‎∴a2+()2=b2+(﹣)2,‎ ‎∴a2﹣b2+()2﹣()2=0,‎ ‎∴a2﹣b2+=0,‎ ‎∴(a+b)(a﹣b)(1﹣)=0,‎ ‎∵a+b≠0,a>0,b<0,‎ ‎∴1﹣=0,‎ ‎∴ab=﹣4;‎ ‎(3)∵a≥4,‎ 而AC=3,‎ ‎∴直线CD在y轴的右侧,直线CD与函数y1=(x>0)的图象一定有交点,‎ 设直线CD与函数y1=(x>0)的图象交点为F,如图2,‎ ‎∵A点坐标为(a,),正方形ACDE的边长为3,‎ ‎∴C点坐标为(a﹣3,),‎ ‎∴F点的坐标为(a﹣3,),‎ ‎∴FC=﹣,‎ ‎∵3﹣FC=3﹣(﹣)=,‎ 而a≥4,‎ ‎∴3﹣FC≥0,即FC≤3,‎ ‎∵CD=3,‎ ‎∴点F在线段DC上,‎ 即对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数y1=(x>0)的图象都有交点.‎ ‎19、(2013年潍坊市)设点和是反比例函数图象上的两个点,当<<时,<,则一次函数的图象不经过的象限是( ).‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:A.‎ ‎20、(2013•南宁)如图,直线y=与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=(k>0,x>0)交于点B,若OA=3BC,则k的值为( D )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎6‎ C.‎ D.‎ ‎21、(13年安徽省4分、9)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是( B )‎ A、当x=3时,EC<EM ‎ B、当y=9时,EC>EM C、当x增大时,EC·CF的值增大。 ‎ D、当y增大时,BE·DF的值不变。‎ ‎22、(2013浙江省温州市,16,5分)如图,已知动点A在函数的图象上,轴于点B,轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC。直线DE分别交轴于点P,Q。当时,图中阴影部分的面积等于_______‎ ‎23、(2013•自贡)如图,在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1,点P1的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn,则S1= 4 ,Sn=  .(用含n的代数式表示)‎ ‎24、(2013•遵义)如图,已知直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,点B的坐标为(﹣4,﹣2),C为双曲线y=(k>0)上一点,且在第一象限内,若△AOC的面积为6,则点C的坐标为 (2,4) .‎ ‎25、(2013•宁波)如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 (,) .‎ ‎26、(2013•泸州)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P‎2A1A2,△P‎3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A‎1A2、A‎2A3,…,An﹣1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是 (+,﹣) ;点Pn的坐标是 (+,﹣) (用含n的式子表示).‎ ‎27、(2013年武汉)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB,A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数的图象上,则的值等于 -12 .‎ ‎28、(2013浙江丽水)如图,点P是反比例函数图象上的点,PA垂直轴于点A(-1,0),点C的坐标为(1,0),PC交轴于点B,连结AB,已知AB=‎ ‎(1)的值是__________;‎ ‎(2)若M(,)是该反比例函数图象上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则的取值范围是__________‎ ‎29、(2013年广州市)如图11,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),反比例函数(x>0,k≠0)的图像经过线段BC的中点D.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点D重合),过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q,记四边形CQPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围。‎ 解:(1)∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),‎ ‎∴C(0,2),‎ ‎∵D是BC的中点,‎ ‎∴D(1,2),‎ ‎∵反比例函数(x>0,k≠0)的图象经过点D,‎ ‎∴k=2;‎ ‎(2)当D在直线BC的上方时,即0<x<1,‎ 如图1,∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动,‎ ‎∴y=,‎ ‎∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•(﹣2)=2﹣2x(0<x<1),‎ 如图2,同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•(2﹣)=2x﹣2(x>1),‎ 综上S=.‎ ‎30、(2013•泸州)如图,已知函数y=x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A.将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B,与x轴交于点C.‎ ‎(1)求点C的坐标;‎ ‎(2)若=2,求反比例函数的解析式.‎ 解:(1)∵y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B,与x轴交于点C,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x﹣6,‎ 把y=0代入得x﹣6=0,解得x=,‎ ‎∴C点坐标为(,0);‎ ‎(2)作AE⊥x轴于E点,BF⊥x轴于F点,如图,‎ ‎∵OA∥BC,‎ ‎∴∠AOB=∠BCF,‎ ‎∴Rt△OAE∽△RtCBF,‎ ‎∴===2,‎ 设A点坐标为(a,a),则OE=a,AE=a,‎ ‎∴CF=a,BF=a,‎ ‎∴OF=OC+CF=+a,‎ ‎∴B点坐标为(+a,a),‎ ‎∵点A与点B都在y=的图象上,‎ ‎∴a•a=(+a)•a,解得a=3,‎ ‎∴点A的坐标为(3,4),‎ 把A(3,4)代入y=得k=3×4=12,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=.‎ ‎31、(2013•湖州压轴题)如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin∠AOB=,反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.‎ ‎(1)若OA=10,求反比例函数解析式;‎ ‎(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;‎ ‎(3)在(2)中的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)过点A作AH⊥OB于H,‎ ‎∵sin∠AOB=,OA=10,‎ ‎∴AH=8,OH=6,‎ ‎∴A点坐标为(6,8),根据题意得:‎ ‎8=,可得:k=48,‎ ‎∴反比例函数解析式:y=(x>0);‎ ‎(2)设OA=a(a>0),过点F作FM⊥x轴于M,‎ ‎∵sin∠AOB=,‎ ‎∴AH=a,OH=a,‎ ‎∴S△AOH=•aa=a2,‎ ‎∵S△AOF=12,‎ ‎∴S平行四边形AOBC=24,‎ ‎∵F为BC的中点,‎ ‎∴S△OBF=6,‎ ‎∵BF=a,∠FBM=∠AOB,‎ ‎∴FM=a,BM=a,‎ ‎∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2,‎ ‎∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2,‎ ‎∵点A,F都在y=的图象上,‎ ‎∴S△AOH=k,‎ ‎∴a2=6+a2,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴OA=,‎ ‎∴AH=,OH=2,‎ ‎∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24,‎ ‎∴OB=AC=3,‎ ‎∴C(5, );‎ ‎(3)存在三种情况:‎ 当∠APO=90°时,在OA的两侧各有一点P,分别为:P1(, ),P2(﹣, ),‎ 当∠PAO=90°时,P3(, ),‎ 当∠POA=90°时,P4(﹣, ).‎ ‎32、(2013•资阳)如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.‎ ‎(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):‎ ‎①分别求出直线l与双曲线的解析式;‎ ‎②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?‎ ‎(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.‎ 解:(1)①把D(4,1)代入y=得a=1×4=4,‎ 所以反比例函数解析式为y=(x>0);‎ 设直线l的解析式为y=kx+t,‎ 把D(4,1),E(1,4)代入得,‎ 解得.‎ 所以直线l的解析式为y=﹣x+5;‎ ‎②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=﹣x=5﹣m,‎ 当方程组只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,‎ 化为关于x的方程得x2+(5﹣m)x+4=0,‎ ‎△=(m﹣5)2﹣4×4=0,解得m1=1,m2=9,‎ 而m=9时,解得x=﹣2,故舍去,‎ 所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;‎ ‎(2)作DF⊥x轴,如图,‎ ‎∵点D为线段AB的n等分点,‎ ‎∴DA:AB=1:n,‎ ‎∵DF∥OB,‎ ‎∴△ADF∽△ABO,‎ ‎∴==,即==,‎ ‎∴AF=,DF=,‎ ‎∴OF=a﹣,‎ ‎∴D点坐标为(a﹣,),‎ 把D(a﹣,)代入y=得(a﹣)•=a,‎ 解得b=.‎ ‎33、(2013山东省临沂市,12,3分)如图,若点M是x轴正半轴上的任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数(x>0)和(x>0)的图象于点P和Q,连接OP、OQ,则下列结论正确的是( D )‎ A.∠POQ不可能等于900 B. ‎ C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是 ‎34、(2013湖北随州,10,4分) 如图,直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点,交x轴的正半轴于C点,若AB:BC=(m-1):1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为( B )‎ A. B. C. D.‎ ‎35、(2013安徽,21,12分)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“慢200减‎100”‎的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;……,乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。‎ ‎(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?‎ ‎(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x<600)元,优惠后得到商家的优惠率为p(p=),写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;‎ ‎(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲乙两商场的标价都是x(200≤x<400)元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由。‎ 解:(1)510-200=310(元)‎ ‎(2);∴p随x的增大而减小;‎ ‎(3)购x元(200≤x<400)在甲商场的优惠额是100元,乙商场的优惠额是x-0.6x=0.4x 当0.4x<100,即200≤x<250时,选甲商场优惠;‎ 当0.4x=100,即x=250时,选甲乙商场一样优惠;‎ 当0.4x>100,即250<x<4000时,选乙商场优惠;‎ ‎36、(2012湖北武汉,15,3分)如图,点A在双曲线y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x轴与点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为3,则k的值为________.‎ ‎37、(2012甘肃兰州,20,4分)如图,M为双曲线上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线于D、C两点,若直线与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD·BC的值为 。‎ 第20题图 ‎ ‎ ‎38、(2012江苏苏州,17,3分)如图,已知第一象限内的图象是反比例函数y=图象的一个分支,第二象限内的图象是反比例函数y=﹣图象的一个分支,在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D.若四边形ABCD的周长为8且AB<AC,则点A的坐标为 (,3) .‎ ‎39、(2012年广西玉林市,25,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.(1)填空:双曲线的另一支在第 象限,k的取值范围是 ;‎ ‎(2)若点C的坐标为(2,2),当点E在什么位置时?阴影部分面积S最小?‎ ‎(3)若,,求双曲线的解析式.‎ 解:(1)三,k>0;‎ ‎(2)∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,而点C的坐标标为(2,2),‎ ‎∴A点的纵坐标为2,E点的横坐标为2,B点坐标为(2,0),把y=2代入得x= ;把x=2代入得y=,∴A点的坐标为(,2),E点的坐标为(2, ),‎ ‎∴=,‎ 当k-2=0,即k=2时,S阴影部分最小,最小值为;‎ ‎∴E点的坐标为(2,1),即E点为BC的中点,∴当点E在BC的中点时,阴影部分的面积S最小;‎ ‎(3)设D点坐标为(a, ),∵,∴OD=DC,即D点为OC的中点,∴C 点坐标为(2a,),把y= 代入 得x= ,确定A点坐标为(,),∵,∴×=1,解得k=.‎ ‎40、、(2013年湖北荆州模拟6)如图,已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C匀速运动,终点为C.过点P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致为( ▲ )‎ A B C D 答案:A ‎41、(2013浙江台州二模)15.如图,直线与双曲线()交于点.将直线向右平移个单位后,与双曲线()交于点,与轴交于点,若,则 .‎ ‎(第1题)‎ O x y A B C ‎【答案】12 ‎ ‎42、(2013浙江台州二模)16.阅读材料,完成填空:‎ 在平面直角坐标系中,当函数的图像产生平移,则函数的解析式会产生有规律的变化;反之,我们可以通过分析不同解析式的变化规律,推想到相应的函数图像间彼此的位置和形状的关联。不妨约定,把函数图像先往左侧平移2个单位,再往上平移1各单位,则不同类型函数解析式的变化可举例如下:‎ y=3x2→y=3(x+2)2+1;y=3x3→y=3(x+2)3+1;y=3→y=3+1;y=3→y=3+1;y=→y=+1;……‎ ‎⑴若把函数y=+1图像再往 平移 个单位,所得函数图像的解析式为y= +1;‎ ‎⑵分析下列关于函数y= +1图像性质的描述:①图像关于(1,1)点中心对称;②图像必不经过第二象限;③图像与坐标轴共有2个交点;④当x>0时,y随着x取值的变大而减小﹒其中正确的是: ﹒(填序号)‎ ‎【答案】⑴右、3,⑵①③﹒‎ ‎43、(2013年广西钦州市四模)如图7所示,点、、在轴上,且,分别过点、、作轴的平行线,与反比例函数的图象分别交于点、、,分别过点作轴的平行线,分别与轴交于点,连接,那么图中阴影部分的面积之和为___________.‎ 图7‎ 答案:   ‎ ‎44、(2013沈阳一模)(12分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1 至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间 满足的函数关系如下表:‎ ‎ 7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水 ‎ 的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:,该企业自身处理每吨污水的 ‎ 费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:;7至12月,污水厂处 ‎ 理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.‎ ‎ (1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;‎ ‎ (2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用;‎ ‎ (3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时 ‎ 每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a﹣30)%,为鼓励节能降耗,减轻企业负担,财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18 000元,请计算出a的整数值.‎ ‎ (参考数据:≈15.2,≈20.5,≈28.4)‎ 解:(1)根据表格中数据可以得出xy=定值,‎ 则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系:。‎ 将(1,12000)代入得:k=1×12000=12000,‎ ‎∴(1≤x≤6,且x取整数)。‎ 根据图象可以得出:图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax2+c得:‎ ‎,解得:。‎ ‎∴y2=x2+10000(7≤x≤12,且x取整数)。‎ ‎(2)当1≤x≤6,且x取整数时:‎ ‎ ‎ ‎=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000(x﹣5)2+2200。‎ ‎∵a=﹣1000<0, 1≤x≤6,∴当x=5时,W最大=22000(元)。‎ 当7≤x≤12时,且x取整数时:‎ W=2×(12000﹣y1)+1.5y2=2×(12000﹣x2﹣10000)+1.5(x2+10000)=﹣x2+1900。‎ ‎∵a=﹣<0,对称轴为x=0,当7≤x≤12时,W随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=7时,W最大=18975.5(元)。‎ ‎∵22000>18975.5,‎ ‎∴去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。‎ ‎(3)由题意得:12000(1+a%)×1.5×[1+(a﹣30)%]×(1﹣50%)=18000,‎ 设t=a%,整理得:10t2+17t﹣13=0,解得:。‎ ‎∵≈28.4,∴t1≈0.57,t2≈﹣2.27(舍去)。‎ ‎∴a≈57。‎ 答:a整数值是57.‎ ‎45、(2013郑州外国语预测卷)已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC∥x轴交双曲线于点E,交BD于点C. ‎ ‎(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值.‎ ‎(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.‎ ‎(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.‎ 解:(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入中,得y=-2.‎ ‎∴B点坐标为(-8,-2).而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2).‎ 从而. ‎ ‎(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,‎ ‎∴,B(-‎2m,-),C(-‎2m,-n),E(-m,-n). ‎ ‎ S矩形DCNO,S△DBO=,S△OEN =, ‎ ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO-S△DBO- S△OEN=k.∴. ‎ 由直线及双曲线,得A(4,1),B(-4,-1),‎ ‎∴C(-4,-2),M(2,2). ‎ 设直线CM的解析式是,由C、M两点在这条直线上,得 ‎ 解得.‎ ‎∴直线CM的解析式是. ‎ ‎(3)如图,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1.‎ ‎(第28题)‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a.于是 ‎.‎ 同理, ‎ ‎∴.‎ ‎46、(2012浙江省义乌市)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数 在第一象限内的图象经过点D、E,‎ O A B C F D G H y x E 且 .‎ ‎(1)求边AB的长;‎ ‎(2)求反比例函数的解析式和n的值;‎ ‎(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩 形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正 半轴交于点H、G,求线段OG的长.‎ 解:(1)在Rt△BOA中 ∵OA=4 ‎ ‎∴AB=OA×tan∠BOA=2 ..……2分 ‎(2)∵点D为OB的中点,点B(4,2)∴点D(2,1) ‎ 又∵点D在 的图象上 ∴ ‎ ‎∴k=2 ∴ ‎ O A B C F D G H y x E 又∵点E在 图象上 ∴4n=2 ∴ n= ‎ ‎(3)设点F(a,2)∴‎2a=2 ∴CF=a=1 ‎ ‎ 连结FG,设OG=t,则OG=FG=t CG=2-t ‎ 在Rt△CGF中,GF2=CF2+CG2 ‎ ‎∴t2=(2-t)2+12 ‎ 解得t = ∴OG=t= . ‎ ‎47、(2012历下区一模) 正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= (x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P‎3A2B2,顶点P3在反比例函数y= (x>0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为 ‎ ‎ ‎ 答案:(+1,﹣1).‎ ‎48、如图,双曲线y=(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3).‎ ‎(1)确定k的值;(2分)‎ ‎(2)若点D(3,m)在双曲线上,求直线AD的解析式;(3分)‎ ‎(3)计算△OAB的面积.(3分)‎ ‎ ‎ 解:(1)将点A(2,3)代入解析式y=,得:k=6;‎ ‎(2)将D(3,m)代入反比例解析式y=,得:m==2,‎ ‎∴点D坐标为(3,2),‎ 设直线AD解析式为y=kx+b,‎ 将A(2,3)与D(3,2)代入得:,‎ 解得:k=﹣1,b=5,‎ 则直线AD解析式为y=﹣x+5;‎ ‎(3)过点C作CN⊥y轴,垂足为N,延长BA,交y轴于点M,‎ ‎∵AB∥x轴,‎ ‎∴BM⊥y轴,‎ ‎∴MB∥CN,‎ ‎∴△OCN∽△OBM,‎ ‎∵C为OB的中点,即=,‎ ‎∴=()2,‎ ‎∵A,C都在双曲线y=上,‎ ‎∴S△OCN=S△AOM=3,‎ 由=,得到S△AOB=9,‎ 则△AOB面积为9.‎ ‎49、(2015桂花九义校模拟6)如图,一次函数的图象与反比例函数y1= – ( x<0)的图象相交于A点,与y轴、x轴分别相交于B、C两点,且C(2,0).当x<–1时,一次函数值大于反比例函数的值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值.‎ ‎(1)求一次函数的解析式;(4分)‎ ‎(2)设函数y2= (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象关于y轴对称.在y2= (x>0)的图象上取一点P(P点的横坐标大于2),过P作PQ⊥x轴,垂足是Q,若四边形BCQP的面积等于2,求P点的坐标.(4分)‎ ‎(3)在(2)的条件下,过原点O作直线交线段BQ于点M,若BM:MQ=4:5,在双曲线y2= (x>0)上,是否存在点P′,使点P′与点P关于直线OM对称?若存在,请直接写出点P′的坐标;若不存在,请说明理由.(2分)‎ 解:(1)∵x< –1时,一次函数值大于反比例函数值,当x>–1时,一次函数值小于反比例函数值. ∴A点的横坐标是–1,∴A(–1,3) ‎ ‎ 设一次函数解析式为y= kx+b,因直线过A、C ‎ 则 ,解之得: ,‎ ‎ ∴一次函数解析式为y= –x+2 ‎ ‎(2)∵y2 = (x>0)的图象与y1= – (x<0)的图象y轴对称, ‎ ‎∴y2 = (x>0) ‎ ‎ ∵B点是直线y= –x+2与y轴的交点,‎ ‎∴B (0,2) ‎ ‎ 设P(n, ),n>2 S四边形BCQP –S△BOC =2, ‎ ‎∴( 2+ )n– ´2´2 = 2,n = , ∴P(,)‎ ‎(3)存在,P′(,).‎ 提示:根据双曲线的对称性,点P关于直线y=x的对称点P′必在此双曲线上,因此,只需计算直线OM是否为第一、三象限的角平分线.过点M作MN⊥x轴于N,利用相似可得MN=ON=10/9.‎ ‎50、(2014•德阳)如图,已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形的对称中心E,且与边BC交于点D.‎ ‎(1)求反比例函数的解析式和点D的坐标;‎ ‎(2)若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3:5的两部分,求此直线的解析式.‎ 解:(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标是(4,2),E是矩形ABCD的对称中心,‎ ‎∴点E的坐标为(2,1),‎ 代入反比例函数解析式得,=1,‎ 解得k=2,‎ ‎∴反比例函数解析式为y=,‎ ‎∵点D在边BC上,‎ ‎∴点D的纵坐标为2,‎ ‎∴y=2时,=2,‎ 解得x=1,‎ ‎∴点D的坐标为(1,2);‎ ‎(2)如图,设直线与x轴的交点为F,‎ 矩形OABC的面积=4×2=8,‎ ‎∵矩形OABC的面积分成3:5的两部分,‎ ‎∴梯形OFDC的面积为×8=3,‎ 或×8=5,‎ ‎∵点D的坐标为(1,2),‎ ‎∴若(1+OF)×2=3,‎ 解得OF=2,‎ 此时点F的坐标为(2,0),‎ 若(1+OF)×2=5,‎ 解得OF=4,‎ 此时点F的坐标为(4,0),与点A重合,‎ 当D(1,2),F(2,0)时,,‎ 解得,‎ 此时,直线解析式为y=﹣2x+4,‎ 当D(1,2),F(4,0)时,,‎ 解得,‎ 此时,直线解析式为y=﹣x+,‎ 综上所述,直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+.‎