2014备考 志鸿优化设计中考总复习数学人教版湖南专用单元检测四附答案含解析 5页

单元检测四　图形初步与三角形 ‎(时间：120分钟　总分：120分)‎ 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎1．如图所示，l∥m，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为(　　)‎ A．25° B．30° C．20° D．35°‎ ‎2．如图，直线AB，CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT等于(　　) ‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是(　　) ‎ A．125° B．135° C．145° D．155°‎ ‎5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A的值为(　　) ‎ A．2 B． C． D． ‎6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　) ‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　) ‎ A．2 B．‎4 C．3 D．4 ‎8．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为(　　) ‎ A．13 B．‎14 C．15 D．16‎ ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于(　　) ‎ A．5 B．‎5 C．13 D．9 ‎10．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是(　　) ‎ A．4 B．‎5 C．6 D．8‎ 二、填空题(每小题3分，共24分)‎ ‎11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝__________.‎ ‎12．如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是__________(写出一个即可)．‎ ‎13．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是__________．‎ ‎14．边长为‎6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为__________．‎ ‎15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝‎14 cm，则阴影部分的面积是__________ cm2. ‎ ‎16．如图，等边△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝__________.‎ ‎17．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B，C，连接AC，BC．若∠ABC＝67°，则∠1＝__________.‎ ‎18．如图，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠ACB＝100°，则∠CBD＝________°.‎ 三、解答题(共66分)‎ ‎19．(6分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如图所示的图形，并写下了四个等式：‎ ‎①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠DCE. ‎ 要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可) ‎ 已知：‎ 求证：△AED是等腰三角形．‎ 证明：‎ ‎20．(6分)已知：如图，锐角△ABC的两条高CD，BE相交于点O，且OB＝OC，‎ ‎(1)求证：△ABC是等腰三角形；[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．‎ ‎21．(8分)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．‎ ‎(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；‎ ‎(2)求证：CF＝EF.‎ ‎22．(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度．(≈1.7)‎ ‎23．(9分)阅读下面材料：‎ 问题：如图(1)，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC＝2.求BD的长．‎ 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．‎ ‎(1)请你回答：图中BD的长为________；‎ ‎(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB的长．‎ ‎24．(9分)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系．‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．‎ ‎(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC的度数为______，点E落在________________，容易得出BE与DE之间的数量关系为__________；‎ ‎(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．‎ ‎25．(10分)如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．‎ ‎(1)求证：AB∥CQ.‎ ‎(2)AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ与CQ不能互相垂直，请说明理由．‎ ‎26．(10分)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图(1)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE. ‎ ‎(2)把两个含有30°角的直角三角板如图(2)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．‎ 参考答案 一、1.A　2.C　3.C ‎4．B　∵∠BOD＝45°，∴∠AOC＝45°.‎ ‎∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝135°.‎ ‎5．B　6.A　7.B ‎8．A　由题意得AB＝AC＝×(21－5)＝8.‎ ‎∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.‎ ‎∴BE＋BC＋CE＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8＋5＝13.‎ ‎9．B　在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2＝132＝169，①‎ 由三角形面积法可得，AC·BC＝CD·AB，‎ 即‎2AC·BC＝156，②‎ ‎①＋②，得(AC＋BC)2＝325，‎ 所以AC＋BC＝5.‎ ‎10．C　如图，连接PD，由题知∠POD＝60°，OP＝OD，‎ ‎∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A＋∠APO＝180°，‎ ‎∴∠2＝∠APO.‎ 同理∠1＝∠CDO.‎ ‎∴△APO≌△COD.‎ ‎∴AP＝OC＝AC－AO＝9－3＝6.‎ 故选C.‎ 二、11.80°‎ ‎12．AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)　由已知条件，根据SAS(AAS，ASA)定理，确定可补充的条件为AC＝AE(或∠C＝∠E或∠B＝∠D)．‎ ‎13．115°　‎14.3 cm　15.　16.　17.46°　18.10‎ 三、19.解：本题答案不唯一：已知：①③.‎ 证明：在△ABE和△DCE中，‎ ‎∵ ‎∴△ABE≌△DCE，‎ ‎∴AE＝DE，即△AED是等腰三角形．‎ ‎20．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.‎ ‎∵CD，BE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.‎ 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB.‎ ‎∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎(2)解：点O是在∠BAC的平分线上．连接AO，‎ ‎∵△BDC≌△CEB，∴DC=EB.‎ ‎∵OB=OC，∴OD=OE.‎ ‎∵∠BDC=∠CEB=90°，‎ ‎∴点O是在∠BAC的平分线上．‎ ‎21．(1)解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.‎ ‎(2)证明：如图，连接CE.‎ ‎∵Rt△ABC≌Rt△ADE，‎ ‎∴AC＝AE.‎ ‎∴∠ACE＝∠AEC.‎ 又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，‎ ‎∴∠ACB＝∠AED.‎ ‎∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，即∠BCE＝∠DEC.‎ ‎∴CF＝EF.‎ ‎22．解：由题意得AC＝60×＝30(海里)，∠ACB＝30°，∠BAC＝90°.[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 在Rt△ABC中，∵tan 30°＝，‎ ‎∴AB＝AC×tan 30°＝30×＝10≈10×1.7＝17(海里)．‎ ‎∴乙船的速度是17÷＝34(海里/时)．‎ 答：乙船的速度约为‎34海里/时．‎ ‎23．解：(1)BD＝2 ‎(2)如图，把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，‎ ‎∴△ADC≌△AEC.‎ ‎∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC.‎ ‎∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，‎ ‎∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.‎ ‎∴△CDE为等边三角形．‎ ‎∴DC=DE.‎ 在AE上截取AF=AB，连接DF，‎ ‎∴△ABD≌△AFD.‎ ‎∴BD=DF.‎ 在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，‎ ‎∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°.‎ ‎∴∠AFD=105°.‎ ‎∴∠DFE=75°.‎ ‎∴∠DFE=∠DEF.‎ ‎∴DF=DE.‎ ‎∴BD=DC=2.‎ 作BG⊥AD于点G，‎ ‎∴在Rt△BDG中，BG=.‎ ‎∴在Rt△ABG中，AB=2.‎ ‎24．解：(1)60°　AB的中点处　BE＝DE　图形如下．‎ ‎(2)完成画图如下图所示．‎ ‎[来源:1]‎ 猜想：BE=DE.‎ 证明：取AB的中点F，连接EF.‎ ‎∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，‎ ‎∴∠1=60°，CF=AF=AB.‎ ‎∴△ACF是等边三角形．‎ ‎∴AC=AF.‎ ‎∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.‎ ‎∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，‎ 即∠CAD=∠FAE.‎ ‎∴△ACD≌△AFE(SAS)．‎ ‎∴∠ACD=∠AFE=90°.‎ ‎∵F是AB的中点，‎ ‎∴EF是AB的垂直平分线．‎ ‎∴BE=AE.[来源:1ZXXK][来源:1ZXXK]‎ ‎∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴DE=AE.∴BE=DE.‎ ‎25．(1)证明：∵△ABC和△APQ都为等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，‎ ‎∴∠BAP＝∠CAQ，‎ ‎∴△ACQ≌△ABP(SAS)，‎ ‎∴∠ACQ＝∠ABP＝60°.‎ 又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ，‎ ‎∴AB∥CQ.‎ ‎(2)解：当点P在BC边的中点时，∠AQC＝90°.‎ 证明：∵P是BC的中点，‎ ‎∴∠PAC＝∠BAC＝30°.‎ ‎∵∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAQ－∠PAC＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ＝60°，‎ ‎∴∠AQC＝90°，∴AQ与CQ互相垂直．‎ ‎26．解：(1)证明：在△ACD和△BCE中，‎ ‎∵AC＝BC，∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴∠DAC＝∠EBC.‎ ‎∵∠ADC＝∠BDF，‎ ‎∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°.‎ ‎∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.‎ ‎(2)AF⊥BE.‎ 理由：∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，‎ ‎∴＝＝tan 60°.‎ ‎∴△DCA∽△ECB.∴∠DAC＝∠EBC.‎ ‎∵∠ADC＝∠BDF，‎ ‎∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC＝90°.‎ ‎∴∠BFD＝90°.∴AF⊥BE.‎