北京昌平区2014年中考数学二模试题目 14页

北京市昌平区2014年中考二模数学试题 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分，考试时间120分钟。‎ ‎2．在答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5．考试结束，请将答题卡交回。‎ 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．的相反数是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．植树造林可以净化空气、美化环境. 据统计一棵50年树龄的树，以累计计算，除去花、果实与木材价值，总计创值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为 A． B． C． D．‎ ‎3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 ‎ A．三菱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥 ‎4．六边形的内角和为 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，随机转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是 A． B． C． D．‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，‎ 那么∠2的度数为 A．35° ‎ B．45° ‎ ‎ C．55° ‎ ‎ D．65°‎ ‎7．10名同学分成A、B两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：‎ 队员1‎ 队员2‎ 队员3‎ 队员4‎ 队员5‎ A队 ‎177‎ ‎176‎ ‎175‎ ‎172‎ ‎175‎ B队 ‎170‎ ‎175‎ ‎173‎ ‎174‎ ‎183‎ 设A、B两队队员身高的平均数分别为，，身高的方差分别为，，则下列关系中完全正确的是 A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎8．如图1，已知点E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，AD=8. 动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程为x, 点M到矩形的某一个顶点的距离为y, 如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的这个顶点是 ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ A．点A B. 点B C. 点C D. 点D 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ ‎ 9．函数y=中，自变量x的取值范围是 ． ‎ ‎10．如图，⊙O的直径CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠CDB的大小为 ．‎ ‎11．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为 ．‎ ‎ ‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，对△AOB连续作旋转变化，依次得到三角形①、②、③、④、…，则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是 ；第 个三角形的直角顶点的坐标是 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13.计算： ． ‎ ‎14. 解不等式组： ‎ ‎15. 如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC.‎ 求证：DF=DC. ‎ ‎16．已知，求的值．‎ ‎ ‎ ‎17．已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求的值及方程的根．‎ ‎18．如图，已知□ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF.‎ ‎（1）求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE∶AB的值.‎ 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎19．如图，定义：若双曲线与直线y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径．‎ ‎(1)求双曲线的对径；‎ ‎(2)若双曲线的对径是，求k的值．‎ ‎20．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：‎ 册数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 人数 ‎1‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎3‎ ‎（1）这50个样本数据的众数是　　 ，中位数是　　 ；‎ ‎（2）根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数；‎ ‎（3）学校广播站的小记者对被调查的50名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采访，请利用树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．‎ ‎21．如图，已知BC为⊙O的直径， EC是⊙O的切线，C是切点，EP交⊙O于点A，D，交CB延长线于点P. 连接CD，CA，AB.‎ ‎（1）求证：∠ECD=∠EAC；‎ ‎（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长.‎ ‎ ‎ ‎22．如右图，把边长为a=2的正方形剪成四个全等的直角三角形，在下面对应的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出用这四个直角三角形按要求分别拼成的新的多边形（要求全部用上，互不重叠，互不留隙）.‎ ‎（1）矩形（非正方形）；（2）菱形（非正方形）；（3）四边形（非平行四边形）. ‎ 五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分）‎ ‎23．已知抛物线.‎ ‎（1）求证：无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；‎ ‎（2）若抛物线与x轴交于A(m,0)、 B（n,0）两点，m、n、a均为整数，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(n－l，n＋l）、Q(0,a），求一次函数的表达式.‎ ‎24．【探究】如图1，在△ABC中， D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF. 则DE，DF的数量关系为 .‎ ‎【拓展】如图2，在△ A B C中 ，C B = C A ，点 D是AB边的 中点 ，点M在 △ A B C的内部 ，且 ∠‎ MBC =∠MAC . 过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF. 求证：DE=DF；‎ ‎【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.‎ ‎25．如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t.‎ ‎（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；‎ ‎（2）若S△BCD：S△AOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且∠BMD最大，请直接写出点M的坐标.‎ 昌平区2013—2014学年初三第二次统一练习 ‎ 数学试卷参考答案及评分标准 2014．6‎ 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 A ‎ C ‎ D ‎ C B ‎ C B ‎ A ‎ 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 ‎, （各2分）‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13．解：原式= …………………………………………………………………… 4分 ‎ =． ……………………………………………………………………………… 5分 ‎14．解：‎ 由①得，. ………………………………………………………………………… 2分 由②得，. …………………………………………………………………………… 4分 ‎∴原不等式组的解集为：. ………………………………………………………… 5分 ‎15．证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，‎ ‎ ∴‎ ‎ 在和中，∠C=∠C,‎ ‎∴ …………………………………… 1分 在△和△中，‎ ‎ ………………………… 3分 ‎∴△≌△. …………………………………………………………………… 4分 ‎∴DF=DC. ……………………………………………………………………………… 5分 ‎16．解：原式= …………………………………………………………………2分 ‎=. …………………………………………………………………………………3分 ‎ ∵ ， ‎ ‎ ∴. …………………………………………………………………………………4分 ‎ ∴ 原式=. …………………………………………………………… 5分 ‎17.解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，‎ ‎ ∴. ……………………………………………………………1分 ‎ ∴. …………………………………………………………………………………2分 ‎ ∴方程可化为. ……………………………………………………………3分 ‎ ∴.‎ ‎∴. ……………………………………… 5分 ‎ 注：正确求出一个根，扣1分.‎ ‎18. （1）证明：连接对角线AC交对角线BD于点O.‎ ‎ ∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴OA=OC,OB=OD. …………………………… 2分 ‎ ∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF,‎ ‎∴‎ ‎ 即OE=OF. …………………………… 3分 ‎ ∴四边形AECF是平行四边形. ………………………………………………… 4分 ‎ (2) …………………………………………………………………………………………… 5分 四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎19. 解：(1) ∵与 y＝x相交于A、B两点，‎ ‎∴A(1,1),B(-1,-1). …………………………………………………………………… 2分 ‎∴AB=. ……………………………………………………………………………3分 ‎(2) ∵双曲线的对径是，‎ ‎∴AB=.则OA=. …………………………………………………………4分 设,‎ ‎∴m=5.‎ ‎∴k=25. ……………………………………………………………………………5分 ‎20.解：（1）众数为3，中位数为2. …………………………………………………………………2分 ‎（2）在50名学生中，读书多于2本的学生有20名，‎ 所以，300×=120.………………………………………………………………………3分 答：该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有120名.‎ ‎（3）设读书最少的人为A，读书最多的人为B1，B2，B3.‎ A B1‎ B2‎ B3‎ A ‎（A，B1）‎ ‎（A，B2）‎ ‎（A，B3）‎ B1‎ ‎（B1，A）‎ ‎（B1，B2）‎ ‎（B1，B3）‎ B2‎ ‎（B2，A）‎ ‎（B2，B1）‎ ‎（B2，B3）‎ B3‎ ‎（B3，A）‎ ‎（B3，B1）‎ ‎（B3，B2）‎ ‎……………………………………………………………………………4分 被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的情况如下：‎ ‎（B1，B2）、（B1，B3）、（B2，B1）、（B2，B3）、（B3，B1）、（B3，B2），共6种，‎ 所以，被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为P==．…………………5分 ‎21. （1）证明：连接BD.‎ ‎∵BC为⊙O的直径，‎ ‎∴…………………………………………1分 ‎∵EC与⊙O相切,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴ ………………………………2分 ‎∵‎ ‎∴∠ECD=∠EAC. ………………………………………………………………………3分 ‎（2）作DF⊥BC于点F.‎ ‎ 在Rt△CDB中，‎ ‎ ‎ 在Rt△CDF中，‎ ‎∴‎ ‎ 在Rt△DFP中，‎ ‎ ∵‎ ‎∴∽‎ ‎ ∴‎ ‎∴.‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………………………5分 ‎22．解：如图，（1） …………………………………………………………………………………… 1分 ‎ （2） ………………………………………………………………………………………… 3分 ‎ ‎ ‎（3） ……………………………………………………………………………………… 5分 五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8，共22分）‎ ‎23．解：（1）证明：∵△=…………………………………………………… 1分 ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎∴无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点.……………………………… 2分 ‎ ‎（2） 解：∵抛物线与x轴交于A(m,0)、 B（n,0）两点，‎ ‎∴.‎ 令中y=0, ‎ 有:.‎ ‎ 解得：x=2, ………………………………………………………………… 3分 ‎ ∵m、n、a均为整数，‎ ‎ ∴a=-1,m=0,n=2或m=2,n=0. ……………………………………………………… 5分 ‎ ∵一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象经过点P(n－l，n＋l）、Q(0,a），‎ ‎ ∴当a=-1,n=2时,有P(1,3)、Q(0,-1），‎ 解得： …………………………………………………………… 6分 ‎ 当a=-1,n=0时,有P(-1,1)、Q(0,-1），‎ 解得： ……………………………………………………… 7分 ‎24．【探究】DE=DF. …………………………………………………………………………………1分 ‎【拓展】如图2，连接CD.‎ ‎ ∵在△ A B C中 ，C B = C A ，‎ ‎ ∴∠CAB=∠CBA.‎ ‎ ∵∠MBC =∠MAC , ‎ ‎ ∴∠MAB=∠MBA. …………………………… 2分 ‎ ∴AM=BM.‎ ‎ ∵点 D是 边 AB的 中点 ，‎ ‎∴点M在CD上. ……………………………………………………………………… 3分 ‎∴CM平分∠FCE.‎ ‎∴∠FCD=∠ECD.‎ ‎∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，‎ ‎∴MF=ME.‎ 又∵CM=CM,‎ ‎∴△CMF≌△CME.‎ ‎∴CF=CE.‎ ‎ ∵CD=CD，‎ ‎∴△CFD≌△CED.‎ ‎∴DE=DF. ……………………………………………………………………………… 4分 ‎【推广】 DE=DF.‎ 如图3，作AM的中点G,BM的中点H.‎ ‎ ∵点 D是 边 AB的 中点 ，‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理可得：‎ ‎ ∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点，‎ ‎ ∴在Rt△BEM中， ‎ ‎∴DG=HE. ………………………………………………………………………………… 5分 同理可得：‎ ‎∵DG//BM,DH//GM,‎ ‎∴四边形DHMG是平行四边形.‎ ‎∴∠DGM=∠DHM. ‎ ‎∵∠MGF=2∠MAC, ∠MHE=2∠MBC,‎ 又∵∠MBC =∠MAC ,‎ ‎∴∠MGF=∠MHE.‎ ‎∴∠DGM+∠MGF =∠DHM+∠MHE.‎ ‎∴∠DGF=∠DHE. ……………………………………………………………………… 6分 ‎∴△DHE≌△FGD.‎ ‎∴DE=DF. ………………………………………………………………………………… 7分 ‎25．解：(1)如图，∵点A（1，0），B（0，3），‎ ‎ ∴直线AB的解析式为：‎ ‎ ∵OB=3,BD=t,‎ ‎ ∴OD=3-t. ‎ ‎ 设P(x,-3x+3), 作PE⊥AC于E,则OE=x,PE=-3x+3.‎ ‎ ∵PE//y轴，‎ ‎ ∴△COD∽△CEP. ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ …………………………………………………………………… 3分 ‎(2)如图，CD=AB，CD⊥AB.‎ ‎∵ S△BCD：S△AOB=2：1，‎ ‎∴‎ ‎∴BD=2. ‎ ‎∴解得：.‎ ‎∴ ………………………………………………… 4分 ‎ ∵OD=OA=1,OC=OB=3,∠COD=∠BOA=90°，‎ ‎ ∴△COD≌△BOA.‎ ‎∴CD=AB. …………………………………………………………………………… 5分 ‎∵△COD≌△BOA,‎ ‎∴∠OCD=∠ABO.‎ 又∵∠CDO=∠BDP,‎ ‎∴∠BPD=∠COD=90°.‎ ‎∴CD⊥AB. …………………………………………………………………………………… 6分 ‎(3)M，M. …………………………………………………………………… 8分