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- 2021-05-13 发布
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2011年烟台市初中学生学业考试
数 学 试 题
说明:
1.本试题分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题.考试时间120分钟,满分150分.
2.答题前将密封线内的项目填写清楚.
3.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验.
第Ⅰ卷
注意事项:
请考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如要改动,必须用橡皮擦干净,再选涂其它答案.
一、选择题(本题共12个小题,每小题4分,共48分)每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的.
1. (2011山东烟台,1,4分) (-2)0的相反数等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】B
【思路分析】(-2)0=1,1的相反数是-1,故选B.
【方法规律】此题考查实数的基础知识. 任何非零数的零次幂为1;互为相反数两数符号相反,绝对值相同.
【易错点分析】对零次幂的意义把握不牢,可致错.
【关键词】实数:零次幂,相反数
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
2. (2011山东烟台,2,4分) 从不同方向看一只茶壶,你认为是俯视效果图的是( )
A
B
C
D
【答案】A
【思路分析】俯视图是从上面看到的平面图形,也是在水平投影面上的正投影. 易判断选A.
【方法规律】此题考查三视图的判断. 试题选材生活,给试卷平添亮点,具有一定的
吸引力.解此类题需具有将立体图形与平面图形相互转化的能力. 画物体的三视图时,应遵循这样的画图规则:“主、俯两图长对正,主、左两图高平齐,左、俯两图宽相等”. 另外要注意看得见部分的轮廓线画成实线,看不见部分的轮廓线画成虚线.
【易错点分析】易忽略应有的轮廓线.
【关键词】三视图
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题,新题
3. (2011山东烟台,3,4分)下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B. a6÷a3=a2
C. 4x2-3x2=1 D.(-2x2y)3=-8 x6y3
【答案】D
【思路分析】A不能合并;B结果应为a3 ;C 结果应为x2 ;D正确. 故选D
【方法规律】此题考查整式运算的基础知识,需全面掌握合并同类项、幂的运算等整式运算的基础知识.
【易错点分析】A、B、C三个选项都有可能误选.
【关键词】整式运算:合并同类项,幂的运算性质.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
4. (2011山东烟台,4,4分)不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( )
A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【思路分析】解不等式得x≤2,其非负整数解为0,1,2,故选C.
【方法规律】此题考查一元一次不等式的解法及特殊解的判断. 需会解一元一次不等式,会判断其特殊解.
【易错点分析】易忽略0,误选B.
【关键词】一元一次不等式解法,特殊解
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
5. (2011山东烟台,5,4分)如果,则( )
A.a< B. a≤ C. a> D. a≥
【答案】B
【思路分析】因为二次根式具有非负性,所以1-2a≥0,解得a≤,故选B.
【方法规律】此题考查二次根式性质及其应用,同时考查不等式的解法. 当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.此题可直接利用非负性列不等式求解. 具有非负思想是解此类题的关键.
【易错点分析】对知识掌握不灵活,错列不等式,误选B.
【关键词】二次根式的非负性
【难度】★★☆☆☆
【题型】常规题,易错题
6. (2011山东烟台,6,4分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点. 已知两底差是6,两腰和是12,则△EFG的周长是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
A
B
C
D
E
F
G
(第6题图)
【答案】B
【思路分析】连BF与DC相交,易证EF等于两底差的一半;由三角形中位线定理,可得EG+FG等于两腰和的一半. 这样可得△EFG的周长是9,故选B.
【方法规律】此题考查三角形中位线定理,及梯形知识. 灵活添加辅助线,得到“两对角线中点的连线是两底差的一半”是解此题关键,另外具有整体思想,也是解此类题所必不可少的思想方法.
【易错点分析】因不会解致错.
【关键词】三角形中位线,梯形
【难度】★★☆☆☆
【题型】常规题
7. (2011山东烟台,7,4分)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是( )
A2m B.3m
C.6m D.9m
O
(第7题图)
【答案】C
【思路分析】此题可转化为求三角形内切圆的半径. 由勾股定理可得斜边为10,设内切圆半径为r,则利用面积法可得:r(6+8+10)=×6×8,解得r=2. 从而管道为2×3=6(m),故选C.
【方法规律】命题者独具匠心,试题设计新颖别致,为试卷又一亮点. 解此题需具有一定的数学功底,能够进行数学建模,并巧用面积法解题,或利用切线长定理解决.
【易错点分析】因不会致错.
【关键词】三角形内切圆,勾股定理
【难度】★★☆☆☆
【题型】新题
8. (2011山东烟台,8,4分)体育课上测量立定跳远,其中一组六个人的成绩(单位:米)分别是:1.0,1.3,2.2,2.0,1.8,1.6,,则这组数据的中位数和极差分别是( )
A.2.1,0.6 B. 1.6,1.2 C.1.8,1.2 D.1.7,1.2
【答案】D
【思路分析】将数据按顺序排列:1.0,1.3,1.6,1.8,2.0,2.2,易判断中位数为=1.7; 极差为2.2-1.0=1.2. 故选D.
【方法规律】此题考查统计量的计算. 掌握中位数、极差的概念即可获解.
【易错点分析】易忽略将数据按大小顺序排列,误选A.
【关键词】统计量:中位数,极差
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
9. (2011山东烟台,9,4分)如果△ABC中,sinA=cosB=,则下列最确切的结论是( )
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
【答案】C
【思路分析】因为sinA=cosB=,所以∠A=∠B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.
【方法规律】此题考查特殊角的三角函数,及三角形的分类. 掌握特殊角的三角函数值即可获解.
【易错点分析】易判断不全面,可能误选A或B.
【关键词】特殊角的三角函数,三角形分类.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
10. (2011山东烟台,10,4分)如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( )
A.m=n,k>h B.m=n ,k<h
C.m>n,k=h D.m<n,k=h
(第10题图)
【答案】A
【思路分析】由两抛物线的解析式可判断其顶点坐标,再根据坐标意义即可判断答案选A
【方法规律】此题主要考查二次函数的基础知识,会根据顶点式判断出顶点坐标便易获解.
【易错点分析】有可能混淆横、纵坐标,误选D.
【关键词】二次函数
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
11. (2011山东烟台,11,4分)在全民健身环城越野赛中,甲乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示.有下列说法:①起跑后1小时内,甲在乙的前面;②第1小时两人都跑了10千米;③甲比乙先到达终点;④两人都跑了20千米.
其中正确的说法有( )
A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个
(第11题图)
20
【答案】C
【思路分析】利用图象可判断①②④正确,③错误,故选C.
【方法规律】此题赋常规题以新背景,体现了数学与现实生活的紧密联系性. 试题考查函数图象的识别. 解题关键是能够将实际问题情境与函数图象相互转换,能够从图象的横、纵两个方向分别获取信息,判断相应的实际意义.
【易错点分析】误判①错误,从而错选B.
【关键词】函数图象
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
12. (2011山东烟台,12,4分) 如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”,其中,,,,,,……的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为l1,l2,l3,l4,l5,l6,…….当AB=1时,l2 011等于( )
A. B. C. D.
(第12题图)
A
B
C
D
E
F
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
【答案】B
【思路分析】可以发现规律:每段弧的度数都等于60°,的半径为n,所以l2 011
==.
【方法规律】此题考查弧长计算,正六边形知识,以及规律探索的能力,为本卷亮点试题. 从简单的特殊情形中探索得到变化规律是解此类题的关键.
【易错点分析】规律归纳错误
【关键词】弧长计算,规律探索
【难度】★☆☆☆☆
【题型】新题,规律探索题
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共6个小题,每小题4分,满分24分).
13. (2011山东烟台,13,4分)微电子技术的不断进步,使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积大约为0.000 000 7平方毫米,用科学记数法表示为 平方毫米.
【答案】7×10-7
【思路分析】0.000 000 7=7×10-7,故填7×10-7.
【方法规律】此题考查科学记数法. 此类试题一般背景新颖,与时俱进,解题需掌握科学记数法的形式,及a的取值范围,n的确定方法.
【易错点分析】可能忽略指数中的负号,误写成7×107
【关键词】实数:科学记数法
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
14. (2011山东烟台,14,4分)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 .
【答案】4或6
【思路分析】此题应分两种情况讨论,4可能为底边,也可能为腰长,且两种情况都成立.
【方法规律】此题考查等腰三角形的概念,三角形三边关系,及分类讨论思想.
解题关键明确此类题需分类讨论,且注意检验各情况是否成立.
【易错点分析】忽略4是底边的情况,只填6.
【关键词】等腰三角形,三角形三边关系.
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
15. (2011山东烟台,15,4分)如图,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,则飞镖落在黑色区域的概率是 .
O
x
y
B
C
A
(第16题图)
(第15题图)
【答案】
【思路分析】易判断黑色部分的面积为大圆的一半,故填.
【方法规律】此题考查概率的简单计算. 对于此类几何概型问题,按照公式:计算即可.
【易错点分析】一般不会出错.
【关键词】概率
【难度】★☆☆☆☆
【题型】常规题
16. (2011山东烟台,16,4分)如图,△ABC的外心坐标是__________.
【答案】(-2,-1)
【思路分析】三角形的外心为三边垂直平分线的交点,观察图形,画出AB、BC的垂直平分线,即可获解.
【方法规律】此题综合考查三角形外心、平面直角坐标系等的知识. 解题关键是掌握三角形的外心为三边(任选两边)垂直平分线的交点,能利用网格特点,画出两边的垂直平分线.
【易错点分析】对外心概念不掌握致错.
【关键词】三角形的外心
【难度】★☆☆☆☆
【题型】操作题
17. (2011山东烟台,17,4分)如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .
(第17题图)
【答案】2
【思路分析】正方形为旋转对称图形,绕中心旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的,这样可得答案填2.
【方法规律】此题考查正方形的旋转对称性. 解题关键是掌握正n边形旋转与自身重合.
【易错点分析】不掌握其中规律,不会做.
【关键词】正方形
【难度】★★★☆☆
【题型】运动变换题
18. (2011山东烟台,18,4分)通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律,在空白处的横线上填上恰当的图形.
【答案】
【思路分析】观察图形,可发现规律:每个图形都是由两个英文大写字母构成的轴对称图形,且按顺序排列,其中奇数位置上下对称,偶数位置为左右对称.
【方法规律】此题同12题,都是典型题变式而来,都属规律探索题. 考查规律探索能力,及轴对称的知识. 发现其中变化规律是解题关键.
【易错点分析】因发现不了其中规律,或归纳规律不全面而致错.
【关键词】探索规律 轴对称
【难度】★★★★☆
【题型】探索规律
三、解答题(本大题共8各小题,满分78分).
19. (2011山东烟台,19,6分)先化简再计算:
,其中x是一元二次方程的正数根.
【解】原式===.
解方程得得,
,.
所以原式==(或).
【思路分析】应先进行分式的化简运算,再解一元二次方程,求出其正解,最后代值计算.
【方法规律】此题综合考查分式计算,一元二次方程的解法,代数式的求值. 掌握相关计算方法即可获解.
【易错点分析】“-”号处理错误,导致分式化简,解方程错误. 最易出错是
的化简.
【关键词】分式计算,解一元二次方程,代数式求值
【难度】★★☆☆☆
【题型】计算题
20. (2011山东烟台,20,8分)
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米,下坡路每分钟走80米 ,上坡路每分钟走40米,从家里到学校需10分钟,从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远?
【解】设平路有x米,坡路有y米
解这个方程组,得
所以x+y=700.
所以小华家离学校700米.
【思路分析】由题目中的两个等量关系“从家里到学校需10分钟,从学校到家里需15分钟”可列二元一次方程组求解.
【方法规律】此题考查利用列方程解决实际问题. 找到等量关系,并明确基础数量关系:时间=路程/速度,便可列出方程组解决.
【易错点分析】不会列方程组
【关键词】二元一次方程组的应用
【难度】★★☆☆☆
【题型】实际应用题
21. (2011山东烟台,21,8分)
综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段,两岸AB∥CD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan72°≈3.08)
A
B
C
D
E
F
M
N
R
α
β
【解】过点F作FG∥EM交CD于G.
则MG=EF=20米.
∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50-20=30(米).
在Rt△FNR中,
FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29(米).
【思路分析】观察图形,此题需添加辅助线,将EM平移至点F处,构造直角三角形,从而利用解直角三角形的知识解决.
【方法规律】此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线,构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系,证明等腰三角形,从而简化了计算.
【易错点分析】不会灵活添加辅助线,解不出
【关键词】解直角三角形 三角函数
【难度】★★☆☆☆
【题型】实际应用题
22. (2011山东烟台,22,8分)
如图,已知反比例函数(k1>0)与一次函数相交于A、B两点,AC⊥x轴于点C. 若△OAC的面积为1,且tan∠AOC=2 .
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式;
(2)请直接写出B点的坐标,并指出当x为何值时,反比例函数y1的值大于一次函数y2的值?
【解】(1)在Rt△OAC中,设OC=m.
∵tan∠AOC==2,∴AC=2×OC=2m.
∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1,∴m2=1. ∴m=1(负值舍去).
∴A点的坐标为(1,2).
把A点的坐标代入中,得k1=2.
∴反比例函数的表达式为.
把A点的坐标代入中,得k2+1=2,∴k2=1.
∴一次函数的表达式.
(2)B点的坐标为(-2,-1).
当0<x<1和x<-2时,y1>y2.
【思路分析】(1)由“△OAC的面积为1,且tan∠AOC=2”可求得点A的坐标,从而利用待定系数法求出两函数的关系式. (2)联立两函数关系式,通过解方程组可求得点B的坐标;反比例函数y1的值大于一次函数y2的值时的x值,即y1在y2的上方是时,所对应图象上点的横坐标的取值范围. 注意分象限讨论.
【方法规律】此题主要考查一次函数与反比例函数,及其与方程、不等式的关系. 解答此题需全面掌握相关知识. 尤其是能够数形结合地观察图象,能从纵、横两个角度观察两函数图象的关系,知道上、下对应y值的大、小;左,右对应x值的小、大.
【易错点分析】不会数形结合地观察图象,或忽略分类讨论,从而错找或找不全(2)
题中x的取值范围.
【关键词】一次函数,反比例函数
【难度】★★★☆☆
【题型】常规题
23. (2011山东烟台,23,12分)
“五·一”假期,某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游,公司按定额购买了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题:
(1)若去D地的车票占全部车票的10%,请求出D地车票的数量,并补全统计图;
(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票,每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀),那么员工小胡抽到去A地的概率是多少?
(3)若有一张车票,小王、小李都想要,决定采取抛掷一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:“每人各抛掷一次,若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小,车票给小王,否则给小李”.试用“列表法或画树状图”的方法分析,这个规则对双方是否公平?
【解】(1)设D地车票有x张,则x=(x+20+40+30)×10%
解得x=10.
即D地车票有10张.
补全统计图如图所示.
(2)小胡抽到去A地的概率为=.
(3)以列表法说明
小李掷得数字
小王掷
得数字
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
或者画树状图法说明(如图)
由此可知,共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为=.
则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为=.
所以这个规则对双方不公平.
【思路分析】(1)由统计图,可得其A、B、C三地的具体车票数量,根据“去D地的车票占全部车票的10%”列方程即可求解;(2)去A地的概率=A地车票数/车票总数;(3)先列表或画树状图列举出所有等可能结果,再进行判断.
【方法规律】此题综合考查统计与概率的基础知识. 掌握并灵活运用相关知识即可获解.
【易错点分析】较简单,一般不会出错.
【关键词】统计 概率
【难度】★★☆☆☆
【题型】综合题,常规题
24. (2011山东烟台,24,10分)
已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
A
B
C
D
E
【解】(1)证明:连接AC.
∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2,
∴AB=BC.
(2)证明:过C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形. ∴CD=EF.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF. ∴AE=BF.
∴BE=BF+EF =AE+CD.
【思路分析】(1)题目中存在直角,垂直,含线段平方的等式,因此考虑连接AC,构造直角三角形,利用勾股定理证明;(2)可采用“截长”法证明,过点C作CF⊥BE于F,易证CD=EF,只需再证明AE=BF即可,这一点又可通过全等三角形获证.
【方法规律】此题主要考查推理证明能力,涉及勾股定理、全等三角形、矩形等知识. 灵活添加辅助线,构造所需图形是证明关键所在.
【易错点分析】不会添加辅助线,不会证明.
【关键词】勾股定理,全等三角形,矩形
【难度】★★★☆☆
【题型】证明题
25. (2011山东烟台,25,12分)
已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OP=r2
(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
A
B
C
D
E
F
P
.
O
G
(图1)
.
A
B
C
D
E
.
O
G
(图2)
【解】(1)证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.
∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°. ∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF.
∴.∴OE·OP=OF2=r2.
(2)解:(1)中的结论成立.
理由:如图2,依题意画出图形,连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°,∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE.
∴,∴OE·OP=OF2=r2.
【思路分析】(1)要证等积式,需要将其化为比例式,再利用相似证明. 观察图形,此题显然要连半径OF,构造OE、OP所在的三角形, 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF了. 而要证明△FOE∽△POF,由于已经存在一个公共角,因此只需再证明另一角对应相等即可,这一点利用圆周角定理及其推论可获证,且方法不惟一;(2)同(1)类似.
【方法规律】此题综合考查圆的性质及相似的知识,解题关键是辅助线的灵活添加.
值得注意的是(2)问是(1)知识的变式,能开拓视野,提高思维深度、灵敏性,其证明同(1)类似,可不必证明.
【易错点分析】(1)不会添加辅助线;(2)证不出相似所需一角对应相等的条件.
【关键词】圆,圆周角定理,相似.
【难度】★★★★☆
【题型】证明题.
26. (2011山东烟台,26,14分)
如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-x+,点A、D的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点P自A点出发,在AB上匀速运行.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△OPQ的面积为s(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求s随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时s有最大值?并求出最大值.
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
(备用图2)
90
O
x
y
A
B
C
D
O
x
y
A
B
C
D
(备用图1)
90
【解】(1)把y=4代入y=-x+,得x=1.
∴C点的坐标为(1,4).
当y=0时,-x+=0,
∴x=4.∴点B坐标为(4,0).
(2)作CM⊥AB于M,则CM=4,BM=3.
∴BC===5.
∴sin∠ABC==.
①当0<t<4时,作QN⊥OB于N,
则QN=BQ·sin∠ABC=t.
∴S=OP·QN=(4-t)×t =-t2+t(0<t<4).
②当4<t≤5时,(如备用图1),
连接QO,QP,作QN⊥OB于N.
同理可得QN=t.
∴S=OP·QN=×(t-4)×t.
=t2-t(4<t≤5).
③当5<t≤6时,(如备用图2),
连接QO,QP.
S=×OP×OD=(t-4)×4.
=2t-8(5<t≤6).
(3)①在0<t<4时,
当t==2时,
S最大==.
②在4<t≤5时,对于抛物线S=t2-t,当t=-=2时,
S最小=×22-×2=-.
∴抛物线S=t2-t的顶点为(2,-).
∴在4<t≤5时,S随t的增大而增大.
∴当t=5时,S最大=×52-×5=2.
③在5<t≤6时,
在S=2t-8中,∵2>0,∴S随t的增大而增大.
∴当t=6时,S最大=2×6-8=4.
∴综合三种情况,当t=6时,S取得最大值,最大值是4.
(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ,③中的底边OP和高CD都大于②中的底边OP和高.所以③中的△OPQ面积一定大于②中的△OPQ的面积.)
【思路分析】(1)点B、C的横、纵坐标分别已知,将其代入直线CB的表达式y=-x+,可求出点B、C的坐标. (2)根据三角形面积公式列函数关系式,注意需分三种情况讨论. (3)按(2)中的三种情况,结合所列函数的性质分别求出最大值,最后加以综合,得出结论.
【方法规律】此题综合考查一次函数、二次函数、三角函数等知识,较以往压轴题难度降低,一改往年抛物线上架构几何图形的压轴题特点,令人耳目一新,也更实用. 解题关键是结合图形特征分类讨论;能灵活应用一次函数、二次函数的性质,结合自变量取值范围的限制条件求最值.
【易错点分析】考虑问题不全面,只讨论其中一种或二种情况.
【关键词】一次函数,二次函数
【难度】★★★★☆
【题型】压轴题
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