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- 2021-05-13 发布
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2019中考数学试题分类汇编:考点15 反比例函数
一.选择题(共21小题)
1.(2019•玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是( )
A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数
【分析】根据一次函数的定义,可得答案.
【解答】解:设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得
y=﹣x+90°,
故选:B.
2.(2019•怀化)函数y=kx﹣3与y=(k≠0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】根据当k>0、当k<0时,y=kx﹣3和y=(k≠0)经过的象限,二者一致的即为正确答案.
【解答】解:∵当k>0时,y=kx﹣3过一、三、四象限,反比例函数y=过一、三象限,
当k<0时,y=kx﹣3过二、三、四象限,反比例函数y=过二、四象限,
∴B正确;
故选:B.
3.(2019•永州)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b≠0)与二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象大致是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b的值取值范围,进而利用反比例函数的性质得出答案.
54
【解答】解:A、抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a>0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b<0.所以反比例函数y=的图象位于第二、四象限,故本选项错误;
B、抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a>0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b>0.所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
C、抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a<0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b>0.所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误;
D、抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a<0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b>0.所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项正确;
故选:D.
4.(2019•菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a,b,c的取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案.
【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,
∴a>0,
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,
∴a、b异号,即b<0.
∵当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0.
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,
54
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,
故选:B.
5.(2019•大庆)在同一直角坐标系中,函数y=和y=kx﹣3的图象大致是( )
A. B. C. D.
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,k≠0,所以分k>0和k<0两种情况讨论.当两函数系数k取相同符号值,两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案.
【解答】解:分两种情况讨论:
①当k>0时,y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴,过一、三、四象限,反比例函数的图象在第一、三象限;
②当k<0时,y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴,过二、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限.
故选:B.
6.(2019•香坊区)对于反比例函数y=,下列说法不正确的是( )
A.点(﹣2,﹣1)在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而增大 D.当x<0时,y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答.
【解答】解:A、把点(﹣2,﹣1)代入反比例函数y=得﹣1=﹣1,故A选项正确;
B、∵k=2>0,∴图象在第一、三象限,故B选项正确;
C、当x>0时,y随x的增大而减小,故C选项错误;
D、当x<0时,y随x的增大而减小,故D选项正确.
故选:C.
54
7.(2019•衡阳)对于反比例函数y=﹣,下列说法不正确的是( )
A.图象分布在第二、四象限
B.当x>0时,y随x的增大而增大
C.图象经过点(1,﹣2)
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1<x2,则y1<y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、k=﹣2<0,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;
B、k=﹣2<0,当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;
C、∵﹣=﹣2,∴点(1,﹣2)在它的图象上,故本选项正确;
D、点A(x1,y1)、B(x2、y2)都在反比例函数y=﹣的图象上,若x1<x2<0,则y1<y2,故本选项错误.
故选:D.
8.(2019•柳州)已知反比例函数的解析式为y=,则a的取值范围是( )
A.a≠2 B.a≠﹣2 C.a≠±2 D.a=±2
【分析】根据反比例函数解析式中k是常数,不能等于0解答即可.
【解答】解:由题意可得:|a|﹣2≠0,
解得:a≠±2,
故选:C.
9.(2019•德州)给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y=;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是( )
A.①③ B.③④ C.②④ D.②③
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案.
【解答】解:①y=﹣3x+2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;
54
②y=,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;
③y=2x2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
④y=3x,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
故选:B.
10.(2019•嘉兴)如图,点C在反比例函数y=(x>0)的图象上,过点C的直线与x轴,y轴分别交于点A,B,且AB=BC,△AOB的面积为1,则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】根据题意可以设出点A的坐标,从而以得到点C和点B的坐标,再根据△AOB的面积为1,即可求得k的值.
【解答】解:设点A的坐标为(a,0),
∵过点C的直线与x轴,y轴分别交于点A,B,且AB=BC,△AOB的面积为1,
∴点C(﹣a,),
∴点B的坐标为(0,),
∴=1,
解得,k=4,
故选:D.
11.(2019•温州)如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为( )
54
A.4 B.3 C.2 D.
【分析】先求出点A,B的坐标,再根据AC∥BD∥y轴,确定点C,点D的坐标,求出AC,BD,最后根据,△OAC与△ABD的面积之和为,即可解答.
【解答】解:∵点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A,B的横坐标分别为1,2,
∴点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(2,),
∵AC∥BD∥y轴,
∴点C,D的横坐标分别为1,2,
∵点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴点C的坐标为(1,k),点D的坐标为(2,),
∴AC=k﹣1,BD=,
∴S△OAC=(k﹣1)×1=,S△ABD=•×(2﹣1)=,
∵△OAC与△ABD的面积之和为,
∴,
解得:k=3.
故选:B.
12.(2019•宁波)如图,平行于x轴的直线与函数y=(k1>0,x>0),y=(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点,若△ABC的面积为4,则k1﹣k2的值为( )
54
A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4
【分析】设A(a,h),B(b,h),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1,bh=k2.根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,求出k1﹣k2=8.
【解答】解:∵AB∥x轴,
∴A,B两点纵坐标相同.
设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.
∵S△ABC=AB•yA=(a﹣b)h=(ah﹣bh)=(k1﹣k2)=4,
∴k1﹣k2=8.
故选:A.
13.(2019•郴州)如图,A,B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,则△OAB的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A,B两点的横坐标,求出A(2,2),B(4,1).再过A,B两点分别作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2.根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC,得出S△AOB=S梯形ABDC,利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=(BD+AC)•CD=(1+2)×2=3,从而得出S△AOB=3.
54
【解答】解:∵A,B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,
∴当x=2时,y=2,即A(2,2),
当x=4时,y=1,即B(4,1).
如图,过A,B两点分别作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则S△AOC=S△BOD=×4=2.
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC,
∴S△AOB=S梯形ABDC,
∵S梯形ABDC=(BD+AC)•CD=(1+2)×2=3,
∴S△AOB=3.
故选:B.
14.(2019•无锡)已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( )
A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n
【分析】根据反比例函数的性质,可得答案.
【解答】解:y=的k=﹣2<0,图象位于二四象限,
∵a<0,
∴P(a,m)在第二象限,
∴m>0;
∵b>0,
∴Q(b,n)在第四象限,
∴n<0.
∴n<0<m,
54
即m>n,
故D正确;
故选:D.
15.(2019•淮安)若点A(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值是( )
A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6
【分析】根据待定系数法,可得答案.
【解答】解:将A(﹣2,3)代入反比例函数y=,得
k=﹣2×3=﹣6,
故选:A.
16.(2019•岳阳)在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x>0)的图象如图所示,若两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值为( )
A.1 B.m C.m2 D.
【分析】三个点的纵坐标相同,由图象可知y=x2图象上点横坐标互为相反数,则x1+x2+x3=x3,再由反比例函数性质可求x3.
【解答】解:设点A、B在二次函数y=x2图象上,点C在反比例函数y=(x>0)的图象上.因为AB两点纵坐标相同,则A、B关于y轴对称,则x1+x2=0,因为点C(x3,m)在反比例函数图象上,则x3=
∴ω=x1+x2+x3=x3=
故选:D.
54
17.(2019•遵义)如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为( )
A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=,进而得出S△AOD=2,即可得出答案.
【解答】解:过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,
∵∠BOA=90°,
∴∠BOC+∠AOD=90°,
∵∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠BOC=∠OAD,
又∵∠BCO=∠ADO=90°,
∴△BCO∽△ODA,
∴=tan30°=,
∴=,
∵×AD×DO=xy=3,
∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1,
∴S△AOD=2,
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限,
故反比例函数解析式为:y=﹣.
故选:C.
54
18.(2019•湖州)如图,已知直线y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象交于M,N两点.若点M的坐标是(1,2),则点N的坐标是( )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(﹣2,﹣1)
【分析】直接利用正比例函数的性质得出M,N两点关于原点对称,进而得出答案.
【解答】解:∵直线y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象交于M,N两点,
∴M,N两点关于原点对称,
∵点M的坐标是(1,2),
∴点N的坐标是(﹣1,﹣2).
故选:A.
19.(2019•江西)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,直线l2与双曲线y=的关系,下列结论错误的是( )
A.两直线中总有一条与双曲线相交
B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C.当﹣2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧
D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2
【分析】A、由m、m+2不同时为零,可得出:两直线中总有一条与双曲线相交;
54
B、找出当m=1时两直线与双曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式可得出:当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等;
C、当﹣2<m<0时,0<m+2<2,可得出:当﹣2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧;
D、由y与x之间一一对应结合两交点横坐标之差为2,可得出:当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的距离大于2.此题得解.
【解答】解:A、∵m、m+2不同时为零,
∴两直线中总有一条与双曲线相交;
B、当m=1时,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0),
当x=1时,y==3,
∴直线l1与双曲线的交点坐标为(1,3);
当x=3时,y==1,
∴直线l2与双曲线的交点坐标为(3,1).
∵=,
∴当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等;
C、当﹣2<m<0时,0<m+2<2,
∴当﹣2<m<0时,两直线与双曲线的交点在y轴两侧;
D、∵m+2﹣m=2,且y与x之间一一对应,
∴当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的距离大于2.
故选:D.
20.(2019•铜仁市)如图,已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则不等式ax+b<的解集为( )
54
A.x<﹣2或0<x<1 B.x<﹣2 C.0<x<1 D.﹣2<x<0或x>1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标,即可得出不等式的解集.
【解答】解:观察函数图象,发现:当﹣2<x<0或x>1时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,
∴不等式ax+b<的解集是﹣2<x<0或x>1.
故选:D.
21.(2019•聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是( )
A.经过5min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B.室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C.当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D.当室内空气中的含药量低于2mg/m3
54
时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始,需经过59min后,学生才能进入室内
【分析】利用图中信息一一判断即可;
【解答】解:A、正确.不符合题意.
B、由题意x=4时,y=8,∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min,正确,不符合题意;
C、y=5时,x=2.5或24,24﹣2.5=21.5<35,故本选项错误,符合题意;
D、正确.不符合题意,
故选:C.
二.填空题(共9小题)
22.(2019•上海)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是 k<1 .
【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限,故k﹣1<0,求出k的取值范围即可.
【解答】解:∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限,
∴k﹣1<0,
解得k<1.
故答案为:k<1.
23.(2019•齐齐哈尔)已知反比例函数y=的图象在第一、三象限内,则k的值可以是 1 .(写出满足条件的一个k的值即可)
【分析】根据反比例函数的性质:反比例函数y=的图象在第一、三象限内,则可知2﹣k>0,解得k的取值范围,写出一个符合题意的k即可.
【解答】解:由题意得,反比例函数y=的图象在第一、三象限内,
则2﹣k>0,
故k<2,满足条件的k可以为1,
故答案为:1.
54
24.(2019•连云港)已知A(﹣4,y1),B(﹣1,y2)是反比例函数y=﹣图象上的两个点,则y1与y2的大小关系为 y1<y2 .
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小,从而可以解答本题.
【解答】解:∵反比例函数y=﹣,﹣4<0,
∴在每个象限内,y随x的增大而增大,
∵A(﹣4,y1),B(﹣1,y2)是反比例函数y=﹣图象上的两个点,﹣4<﹣1,
∴y1<y2,
故答案为:y1<y2.
25.(2019•南京)已知反比例函数y=的图象经过点(﹣3,﹣1),则k= 3 .
【分析】根据反比例函数y=的图象经过点(﹣3,﹣1),可以求得k的值.
【解答】解:∵反比例函数y=的图象经过点(﹣3,﹣1),
∴﹣1=,
解得,k=3,
故答案为:3.
26.(2019•陕西)若一个反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,﹣1),则这个反比例函数的表达式为 .
【分析】设反比例函数的表达式为y=,依据反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,﹣1),即可得到k的值,进而得出反比例函数的表达式为.
【解答】解:设反比例函数的表达式为y=,
∵反比例函数的图象经过点A(m,m)和B(2m,﹣1),
∴k=m2=﹣2m,
解得m1=﹣2,m2=0(舍去),
∴k=4,
54
∴反比例函数的表达式为.
故答案为:.
27.(2019•东营)如图,B(3,﹣3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为 y= .
【分析】设A坐标为(x,y),根据四边形OABC为平行四边形,利用平移性质确定出A的坐标,利用待定系数法确定出解析式即可.
【解答】解:设A坐标为(x,y),
∵B(3,﹣3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,
∴x+5=0+3,y+0=0﹣3,
解得:x=﹣2,y=﹣3,即A(﹣2,﹣3),
设过点A的反比例解析式为y=,
把A(﹣2,﹣3)代入得:k=6,
则过点A的反比例解析式为y=,
故答案为:y=
28.(2019•成都)设双曲线y=(k>0)与直线y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径“,当双曲线y=(k>0)的眸径为6时,k的值为 .
54
【分析】以PQ为边,作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′,联立直线AB及双曲线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,由PQ的长度可得出点P的坐标(点P在直线y=﹣x上找出点P的坐标),由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:以PQ为边,作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′,如图所示.
联立直线AB及双曲线解析式成方程组,,
解得:,,
∴点A的坐标为(﹣,﹣),点B的坐标为(,).
∵PQ=6,
∴OP=3,点P的坐标为(﹣,).
根据图形的对称性可知:AB=OO′=PP′,
∴点P′的坐标为(﹣+2, +2).
又∵点P′在双曲线y=上,
∴(﹣+2)•(+2)=k,
解得:k=.
故答案为:.
54
29.(2019•安顺)如图,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点,与y=的图象相交于A(﹣2,m)、B(1,n)两点,连接OA、OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b的解集是x<﹣2或0<x<1,其中正确的结论的序号是 ②③④ .
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2>0,故①错误;把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=中得到﹣2m=n故②正确;把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=k1x+b得到y=﹣mx﹣m,求得P(﹣1,0),Q(0,﹣m),根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ;故③正确;根据图象得到不等式k1x+b的解集是x<﹣2或0<x<1,故④正确.
【解答】解:由图象知,k1<0,k2<0,
∴k1k2>0,故①错误;
把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=中得﹣2m=n,
∴m+n=0,故②正确;
54
把A(﹣2,m)、B(1,n)代入y=k1x+b得,
∴,
∵﹣2m=n,
∴y=﹣mx﹣m,
∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点,
∴P(﹣1,0),Q(0,﹣m),
∴OP=1,OQ=m,
∴S△AOP=m,S△BOQ=m,
∴S△AOP=S△BOQ;故③正确;
由图象知不等式k1x+b的解集是x<﹣2或0<x<1,故④正确;
故答案为:②③④.
30.(2019•安徽)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 y=x﹣3 .
【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标,进而得出正比例函数解析式,再利用平移的性质得出答案.
【解答】解:∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),
∴2m=6,
解得:m=3,
54
故A(2,3),
则3=2k,
解得:k=,
故正比例函数解析式为:y=x,
∵AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,
∴B(2,0),
∴设平移后的解析式为:y=x+b,
则0=3+b,
解得:b=﹣3,
故直线l对应的函数表达式是:y=x﹣3.
故答案为:y=x﹣3.
三.解答题(共20小题)
31.(2019•贵港)如图,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B(6,n)两点.
(1)求k和n的值;
(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.
【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值,进而可得出点B的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值;
(2)由k=6>0结合反比例函数的性质,即可求出:当2≤x≤6时,1≤y≤3.
【解答】解:(1)当x=6时,n=﹣×6+4=1,
54
∴点B的坐标为(6,1).
∵反比例函数y=过点B(6,1),
∴k=6×1=6.
(2)∵k=6>0,
∴当x>0时,y随x值增大而减小,
∴当2≤x≤6时,1≤y≤3.
32.(2019•泰安)如图,矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8,E是DC的中点,反比例函数y=的图象经过点E,与AB交于点F.
(1)若点B坐标为(﹣6,0),求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式;
(2)若AF﹣AE=2,求反比例函数的表达式.
【分析】(1)根据矩形的性质,可得A,E点坐标,根据待定系数法,可得答案;
(2)根据勾股定理,可得AE的长,根据线段的和差,可得FB,可得F点坐标,根据待定系数法,可得m的值,可得答案.
【解答】解:(1)点B坐标为(﹣6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,
∴点A(﹣6,8),E(﹣3,4),
函数图象经过E点,
∴m=﹣3×4=﹣12,
设AE的解析式为y=kx+b,
,
解得,
54
一次函数的解析是为y=﹣x;
(2)AD=3,DE=4,
∴AE==5,
∵AF﹣AE=2,
∴AF=7,
BF=1,
设E点坐标为(a,4),则F点坐标为(a﹣3,1),
∵E,F两点在函数y=图象上,
∴4a=a﹣3,解得a=﹣1,
∴E(﹣1,4),
∴m=﹣1×4=﹣4,
∴y=﹣.
33.(2019•岳阳)如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.
【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得;
(2)作AD⊥BC于D,则D(2,b),即可利用a表示出AD的长,然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值,进而求得a的值,根据待定系数法,可得答案.
【解答】解:(1)由题意得,k=xy=2×3=6
54
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)设B点坐标为(a,b),如图,
作AD⊥BC于D,则D(2,b)
∵反比例函数y=的图象经过点B(a,b)
∴b=
∴AD=3﹣.
∴S△ABC=BC•AD
=a(3﹣)=6
解得a=6
∴b==1
∴B(6,1).
设AB的解析式为y=kx+b,
将A(2,3),B(6,1)代入函数解析式,得
,
解得,
直线AB的解析式为y=﹣x+4.
34.(2019•柳州)如图,一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(3,1),B(﹣,n)两点.
(1)求该反比例函数的解析式;
54
(2)求n的值及该一次函数的解析式.
【分析】(1)根据反比例函数y=的图象经过A(3,1),即可得到反比例函数的解析式为y=;
(2)把B(﹣,n)代入反比例函数解析式,可得n=﹣6,把A(3,1),B(﹣,﹣6)代入一次函数y=mx+b,可得一次函数的解析式为y=2x﹣5.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=的图象经过A(3,1),
∴k=3×1=3,
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)把B(﹣,n)代入反比例函数解析式,可得
﹣n=3,
解得n=﹣6,
∴B(﹣,﹣6),
把A(3,1),B(﹣,﹣6)代入一次函数y=mx+b,可得
,
解得,
∴一次函数的解析式为y=2x﹣5.
54
35.(2019•白银)如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
【分析】(1)利用点A在y=﹣x+4上求a,进而代入反比例函数y=求k.
(2)联立方程求出交点,设出点P坐标表示三角形面积,求出P点坐标.
【解答】解:(1)把点A(﹣1,a)代入y=x+4,得a=3,
∴A(﹣1,3)
把A(﹣1,3)代入反比例函数y=
∴k=﹣3,
∴反比例函数的表达式为y=﹣
(2)联立两个函数的表达式得
解得
或
∴点B的坐标为B(﹣3,1)
当y=x+4=0时,得x=﹣4
∴点C(﹣4,0)
设点P的坐标为(x,0)
∵S△ACP=S△BOC
∴
54
解得x1=﹣6,x2=﹣2
∴点P(﹣6,0)或(﹣2,0)
36.(2019•菏泽)如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.
(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;
(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.
【分析】(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标,由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值,进而可得出反比例函数的表达式,再由点A、C的坐标利用待定系数法,即可求出一次函数的表达式;
(2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中,利用根的判别式△<0可得出两函数图象无交点,再观察图形,利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式>kx+b的解集.
【解答】解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,点A(5,0),点B(0,3),
∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,
又∵点C在y轴负半轴,点D在第二象限,
∴点C的坐标为(0,﹣2),点D的坐标为(﹣2,3).
∵点D(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,
∴a=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的表达式为y=﹣.
将A(5,0)、B(0,﹣2)代入y=kx+b,
54
,解得:,
∴一次函数的表达式为y=x﹣2.
(2)将y=x﹣2代入y=﹣,整理得: x2﹣2x+6=0,
∵△=(﹣2)2﹣4××6=﹣<0,
∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.
观察图形,可知:当x<0时,反比例函数图象在一次函数图象上方,
∴不等式>kx+b的解集为x<0.
37.(2019•湘西州)反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象经过点A(1,3)、B(3,m).
(1)求反比例函数的解析式及B点的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.
【分析】(1)先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式;然后把B(3,m)代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标;
54
(2)作A点关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P点,则A′(1,﹣3),利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小,再利用待定系数法求出直线BA′的解析式,然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标.
【解答】解:(1)把A(1,3)代入y=得k=1×3=3,
∴反比例函数解析式为y=;
把B(3,m)代入y=得3m=3,解得m=1,
∴B点坐标为(3,1);
(2)作A点关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P点,则A′(1,﹣3),
∵PA+PB=PA′+PB=BA′,
∴此时此时PA+PB的值最小,
设直线BA′的解析式为y=mx+n,
把A′(1,﹣3),B(3,1)代入得,解得,
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5,
当y=0时,2x﹣5=0,解得x=,
∴P点坐标为(,0).
38.(2019•大庆)如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)求点B的坐标;
54
(3)求△OAP的面积.
【分析】(1)将点A的坐标代入解析式求解可得;
(2)利用勾股定理求得AB=OA=5,由AB∥x轴即可得点B的坐标;
(3)先根据点B坐标得出OB所在直线解析式,从而求得直线与双曲线交点P的坐标,再利用割补法求解可得.
【解答】解:(1)将点A(4,3)代入y=,得:k=12,
则反比例函数解析式为y=;
(2)如图,过点A作AC⊥x轴于点C,
则OC=4、AC=3,
∴OA==5,
∵AB∥x轴,且AB=OA=5,
∴点B的坐标为(9,3);
(3)∵点B坐标为(9,3),
∴OB所在直线解析式为y=x,
54
由可得点P坐标为(6,2),
过点P作PD⊥x轴,延长DP交AB于点E,
则点E坐标为(6,3),
∴AE=2、PE=1、PD=2,
则△OAP的面积=×(2+6)×3﹣×6×2﹣×2×1=5.
39.(2019•枣庄)如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;
(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.
【分析】(1)根据三角形相似,可求出点C坐标,可得一次函数和反比例函数解析式;
(2)联立解析式,可求交点坐标;
(3)根据数形结合,将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系.
【解答】解:(1)由已知,OA=6,OB=12,OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
54
∴点C坐标为(﹣4,20)
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为:y=﹣
把点A(6,0),B(0,12)代入y=kx+b得:
解得:
∴一次函数解析式为:y=﹣2x+12
(2)当﹣=﹣2x+12时,解得
x1=10,x2=﹣4
当x=10时,y=﹣8
∴点E坐标为(10,﹣8)
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
(3)不等式kx+b≤,从函数图象上看,表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得,x≥10,或﹣4≤x<0
40.(2019•杭州)设一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象过A(1,3),B(﹣1,﹣1)两点.
(1)求该一次函数的表达式;
(2)若点(2a+2,a2)在该一次函数图象上,求a的值.
(3)已知点C(x1,y1)和点D(x2,y2)在该一次函数图象上,设m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),判断反比例函数y=的图象所在的象限,说明理由.
【分析】(1)根据一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象过A(1,3),B(﹣1,﹣1)两点,可以求得该函数的表达式;
(2)根据(1)中的解析式可以求得a的值;
(3)根据题意可以判断m的正负,从而可以解答本题.
【解答】解:(1)∵一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象过A(1,3),B(﹣1,﹣1)两点,
54
∴,得,
即该一次函数的表达式是y=2x+1;
(2)点(2a+2,a2)在该一次函数y=2x+1的图象上,
∴a2=2(2a+2)+1,
解得,a=﹣1或a=5,
即a的值是﹣1或5;
(3)反比例函数y=的图象在第一、三象限,
理由:∵点C(x1,y1)和点D(x2,y2)在该一次函数y=2x+1的图象上,m=(x1﹣x2)(y1﹣y2),
假设x1<x2,则y1<y1,此时m=(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
假设x1>x2,则y1>y1,此时m=(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
由上可得,m>0,
∴m+1>0,
∴反比例函数y=的图象在第一、三象限.
41.(2019•杭州)已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v(单位:吨/小时),卸完这批货物所需的时间为t(单位:小时).
(1)求v关于t的函数表达式.
(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨?
【分析】(1)直接利用vt=100进而得出答案;
(2)直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物,进而得出答案.
【解答】解:(1)由题意可得:100=vt,
则v=;
(2)∵不超过5小时卸完船上的这批货物,
∴t≤5,
则v≥=20,
答:平均每小时至少要卸货20吨.
54
42.(2019•河北)如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=(x≥1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5,M,A的水平距离是vt米.
(1)求k,并用t表示h;
(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离;
(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.
【分析】(1)用待定系数法解题即可;
(2)根据题意,分别用t表示x、y,再用代入消元法得出y与x之间的关系式;
(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标,根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙.
【解答】解:(1)由题意,点A(1,18)带入y=
得:18=
∴k=18
设h=at2,把t=1,h=5代入
∴a=5
∴h=5t2
(2)∵v=5,AB=1
∴x=5t+1
∵h=5t2,OB=18
54
∴y=﹣5t2+18
由x=5t+1
则t=
∴y=﹣
当y=13时,13=﹣
解得x=6或﹣4
∵x≥1
∴x=6
把x=6代入y=
y=3
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10(米)
(3)把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=
解得t=1.8或﹣1.8(负值舍去)
∴x=10
∴甲坐标为(10,1.8)恰号落在滑道y=上
此时,乙的坐标为(1+1.8v乙,1.8)
由题意:1+1.8v乙﹣(1+5×1.8)>4.5
∴v乙>7.5
43.(2019•黄冈)如图,反比例函数y=(x>0)过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.
(1)求k的值与B点的坐标;
(2)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有D点的坐标.
54
【分析】(1)将A点的坐标代入反比例函数y=求得k的值,然后将x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值,即得点B的坐标;
(2)使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形,如图所示,找出满足题意D的坐标即可.
【解答】解:(1)把点A(3,4)代入y=(x>0),得
k=xy=3×4=12,
故该反比例函数解析式为:y=.
∵点C(6,0),BC⊥x轴,
∴把x=6代入反比例函数y=,得
y==6.
则B(6,2).
综上所述,k的值是12,B点的坐标是(6,2).
(2)①如图,当四边形ABCD为平行四边形时,AD∥BC且AD=BC.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
∴点D的横坐标为3,yA﹣yD=yB﹣yC即4﹣yD=2﹣0,故yD=2.
所以D(3,2).
②如图,当四边形ACBD′为平行四边形时,AD′∥CB且AD′=CB.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
∴点D的横坐标为3,yD′﹣yA=yB﹣yC即yD﹣4=2﹣0,故yD′=6.
所以D′(3,6).
③如图,当四边形ACD″B为平行四边形时,AC=BD″且AC=BD″.
∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0),
54
∴xD″﹣xB=xC﹣xA即xD″﹣6=6﹣3,故xD″=9.
yD″﹣yB=yC﹣yA即yD″﹣2=0﹣4,故yD″=﹣2.
所以D″(9,﹣2).
综上所述,符合条件的点D的坐标是:(3,2)或(3,6)或(9,﹣2).
44.(2019•黔南州)如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.
(1)点P到达终点O的运动时间是 s,此时点Q的运动距离是 cm;
(2)当运动时间为2s时,P、Q两点的距离为 6 cm;
(3)请你计算出发多久时,点P和点Q之间的距离是10cm;
(4)如图2,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,1cm长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC,与PQ相交于点D,若双曲线y=过点D,问k的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k的值.
【分析】(1)先求出OA,进而求出时间,即可得出结论;
(2)构造出直角三角形,再求出PE,QE,利用勾股定理即可得出结论;
(3)同(2)的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论;
(4)先求出直线AC解析式,再求出点P,Q坐标,进而求出直线PQ解析式,联立两解析式即可得出结论.
54
【解答】解:(1)∵四边形AOCB是矩形,
∴OA=BC=16,
∵动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,
∴t=,此时,点Q的运动距离是×2=cm,
故答案为,;
(2)如图1,由运动知,AP=3×2=6cm,CQ=2×2=4cm,
过点P作PE⊥BC于E,过点Q作QF⊥OA于F,
∴四边形APEB是矩形,
∴PE=AB=6,BE=6,
∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6,
根据勾股定理得,PQ=6,
故答案为6;
(3)设运动时间为t秒时,
由运动知,AP=3t,CQ=2t,
同(2)的方法得,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,
∵点P和点Q之间的距离是10cm,
∴62+(16﹣5t)2=100,
∴t=或t=;
(4)k的值是不会变化,
理由:∵四边形AOCB是矩形,
∴OC=AB=6,OA=16,
∴C(6,0),A(0,16),
∴直线AC的解析式为y=﹣x+16①,
设运动时间为t,
∴AP=3t,CQ=2t,
54
∴OP=16﹣3t,
∴P(0,16﹣3t),Q(6,2t),
∴PQ解析式为y=x+16﹣3t②,
联立①②解得,x=,y=,
∴D(,),
∴k=×=是定值.
45.(2019•达州)矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=(k>0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;
(2)连接EF,求∠EFC的正切值;
(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.
【分析】(1)先确定出点C坐标,进而得出点F坐标,即可得出结论;
(2)先确定出点F的横坐标,进而表示出点F的坐标,得出CF,同理表示出CF,即可得出结论;
(3)先判断出△EHG∽△GBF,即可求出BG,最后用勾股定理求出k,即可得出结论.
54
【解答】解:(1)∵OA=3,OB=4,
∴B(4,0),C(4,3),
∵F是BC的中点,
∴F(4,),
∵F在反比例y=函数图象上,
∴k=4×=6,
∴反比例函数的解析式为y=,
∵E点的坐标为3,
∴E(2,3);
(2)∵F点的横坐标为4,
∴F(4,),
∴CF=BC﹣BF=3﹣=
∵E的纵坐标为3,
∴E(,3),
∴CE=AC﹣AE=4﹣=,
在Rt△CEF中,tan∠EFC==,
(3)如图,由(2)知,CF=,CE=,,
过点E作EH⊥OB于H,
∴EH=OA=3,∠EHG=∠GBF=90°,
∴∠EGH+∠HEG=90°,
由折叠知,EG=CE,FG=CF,∠EGF=∠C=90°,
∴∠EGH+∠BGF=90°,
∴∠HEG=∠BGF,
∵∠EHG=∠GBF=90°,
54
∴△EHG∽△GBF,
∴=,
∴,
∴BG=,
在Rt△FBG中,FG2﹣BF2=BG2,
∴()2﹣()2=,
∴k=,
∴反比例函数解析式为y=.
46.(2019•泰州)平面直角坐标系xOy中,横坐标为a的点A在反比例函数y1═(x>0)的图象上,点A′与点A关于点O对称,一次函数y2=mx+n的图象经过点A′.
(1)设a=2,点B(4,2)在函数y1、y2的图象上.
①分别求函数y1、y2的表达式;
②直接写出使y1>y2>0成立的x的范围;
(2)如图①,设函数y1、y2的图象相交于点B,点B的横坐标为3a,△AA'B的面积为16,求k的值;
(3)设m=,如图②,过点A作AD⊥x轴,与函数y2的图象相交于点D,以AD为一边向右侧作正方形ADEF,试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上.
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【分析】(1)由已知代入点坐标即可;
(2)面积问题可以转化为△AOB面积,用a、k表示面积问题可解;
(3)设出点A、A′坐标,依次表示AD、AF及点P坐标.
【解答】解:(1)①由已知,点B(4,2)在y1═(x>0)的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为(2,4),A′坐标为(﹣2,﹣4)
把B(4,2),A(﹣2,﹣4)代入y2=mx+n
解得
∴y2=x﹣2
②当y1>y2>0时,y1=图象在y2=x﹣2图象上方,且两函数图象在x轴上方
∴由图象得:2<x<4
(2)分别过点A、B作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连BO
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∵O为AA′中点
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为(a,)(3a,)
∴
解得k=6
(3)由已知A(a,),则A′为(﹣a,﹣)
把A′代入到y=
﹣
∴n=
∴A′B解析式为y=﹣
当x=a时,点D纵坐标为
∴AD=
∵AD=AF,
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y1═(x>0)的图象上
47.(2019•湖州)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.
(1)当OB=2时,求点D的坐标;
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;
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(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)如图1中,作DE⊥x轴于E,解直角三角形清楚DE,CE即可解决问题;
(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),由题意CE=1.DE=,可得D(3+a,),点A、D在同一反比例函数图象上,可得2a=(3+a),清楚a即可;
(3)分两种情形:①如图2中,当∠PA1D=90°时.②如图3中,当∠PDA1=90°时.分别构建方程解决问题即可;
【解答】解:(1)如图1中,作DE⊥x轴于E.
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ACB==,
∴∠ACB=60°,
根据对称性可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠CDE=90°﹣60°=30°,
∴CE=1,DE=,
∴OE=OB+BC+CE=5,
54
∴点D坐标为(5,).
(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),
由题意CE=1.DE=,可得D(3+a,),
∵点A、D在同一反比例函数图象上,
∴2a=(3+a),
∴a=3,
∴OB=3.
(3)存在.理由如下:
①如图2中,当∠PA1D=90°时.
∵AD∥PA1,
∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°,
在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2,
∴AA1==4,
在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,
∴PA=,
∴PB=,
设P(m,),则D1(m+7,),
∵P、A1在同一反比例函数图象上,
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∴m=(m+7),
解得m=3,
∴P(3,),
∴k=10.
②如图3中,当∠PDA1=90°时.
∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1,
∴△AKP∽△DKA1,
∴=.
∴=,∵∠AKD=∠PKA1,
∴△KAD∽△KPA1,
∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°,
∴∠APD=∠ADP=30°,
∴AP=AD=2,AA1=6,
设P(m,4),则D1(m+9,),
∵P、A1在同一反比例函数图象上,
∴4m=(m+9),
解得m=3,
∴P(3,4),
∴k=12.
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48.(2019•金华)如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
【分析】(1)①先确定出点A,B坐标,再利用待定系数法即可得出结论;
②先确定出点D坐标,进而确定出点P坐标,进而求出PA,PC,即可得出结论;
(2)先确定出B(4,),进而得出A(4﹣t, +t),即:(4﹣t)(+t)=m,即可得出点D(4,8﹣),即可得出结论.
【解答】解:(1)①如图1,∵m=4,
∴反比例函数为y=,
当x=4时,y=1,
∴B(4,1),
当y=2时,
∴2=,
∴x=2,
∴A(2,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,
54
∴,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3;
②四边形ABCD是菱形,
理由如下:如图2,由①知,B(4,1),
∵BD∥y轴,
∴D(4,5),
∵点P是线段BD的中点,
∴P(4,3),
当y=3时,由y=得,x=,
由y=得,x=,
∴PA=4﹣=,PC=﹣4=,
∴PA=PC,
∵PB=PD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形;
(2)四边形ABCD能是正方形,
理由:当四边形ABCD是正方形,记AC,BD的交点为P,
∴PA=PB=PC=PD,(设为t,t≠0),
当x=4时,y==,
∴B(4,),
∴A(4﹣t, +t),C(4+t, +t),
∴(4﹣t)(+t)=m,
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∴t=4﹣,
∴C(8﹣,4),
∴(8﹣)×4=n,
∴m+n=32,
∵点D的纵坐标为+2t=+2(4﹣)=8﹣,
∴D(4,8﹣),
∴4(8﹣)=n,
∴m+n=32.
54
49.(2019•武汉)已知点A(a,m)在双曲线y=上且m<0,过点A作x轴的垂线,垂足为B.
(1)如图1,当a=﹣2时,P(t,0)是x轴上的动点,将点B绕点P顺时针旋转90°至点C,
①若t=1,直接写出点C的坐标;
②若双曲线y=经过点C,求t的值.
(2)如图2,将图1中的双曲线y=(x>0)沿y轴折叠得到双曲线y=﹣(x<0),将线段OA绕点O旋转,点A刚好落在双曲线y=﹣(x<0)上的点D(d,n)处,求m和n的数量关系.
【分析】(1)①如图1﹣1中,求出PB、PC的长即可解决问题;
②图1﹣2中,由题意C(t,t+2),理由待定系数法,把问题转化为方程解决即可;
(2)分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时,A(a,m),D(d,n),可得m+n=0.
②当点A绕点O旋转90°时,得到D′,D′在y=﹣上,作D′H⊥y轴,则△ABO≌△
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D′HO,推出OB=OH,AB=D′H,由A(a,m),推出D′(m,﹣a),即D′(m,n),由D′在y=﹣上,可得mn=﹣8;
【解答】解:(1)①如图1﹣1中,
由题意:B(﹣2,0),P(1,0),PB=PC=3,
∴C(1,3).
②图1﹣2中,由题意C(t,t+2),
∵点C在y=上,
∴t(t+2)=8,
∴t=﹣4 或2,
(2)如图2中,
①当点A与点D关于x轴对称时,A(a,m),D(d,n),
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∴m+n=0.
②当点A绕点O旋转90°时,得到D′,D′在y=﹣上,
作D′H⊥y轴,则△ABO≌△D′HO,
∴OB=OH,AB=D′H,
∵A(a,m),
∴D′(m,﹣a),即D′(m,n),
∵D′在y=﹣上,
∴mn=﹣8,
综上所述,满足条件的m、n的关系是m+n=0或mn=﹣8.
50.(2019•长沙)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
【分析】(1)想办法证明OC=OD即可解决问题;
(2)设M(a,),由△OPM∽△OCP,推出==,由此构建方程求出a,再分类求解即可解决问题;
(3)不存在分三种情形说明:①当1<x<5时,如图1中;②当x≤1时,如图2中;③当x≥5时,如图3中;
【解答】解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有,
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解得,
∴y=﹣x+m+!,
令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),
令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠OCD=45°.
(2)设M(a,),
∵△OPM∽△OCP,
∴==,
∴OP2=OC•OM,
当m=3时,P(3,1),C(4,0),
OP2=32+12=10,OC=4,OM=,
∴=,
∴10=4,
∴4a4﹣25a2+36=0,
(4a2﹣9)(a2﹣4)=0,
∴a=±,a=±2,
∵1<a<3,
∴a=或2,
当a=时,M(,2),
PM=,CP=,
≠(舍弃),
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当a=2时,M(2,),PM=,CP=,
∴==,成立,
∴M(2,).
(3)不存在.理由如下:
当m=5时,P(5,1),Q(1,5),设M(x,),
OP的解析式为:y=x,OQ的解析式为y=5x,
①当1<x<5时,如图1中,
∴E(,),F(x, x),
S=S矩形OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
=5﹣•x•x﹣••=4.1,
化简得到:x4﹣9x2+25=0,
△<O,
∴没有实数根.
②当x≤1时,如图2中,
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S=S△OGH<S△OAM=2.5,
∴不存在,
③当x≥5时,如图3中,
S=S△OTS<S△OBM=2.5,
∴不存在,
综上所述,不存在.
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