• 700.00 KB
  • 2021-05-13 发布

中考针对性训练——几何探究压轴题有答案详解

  • 20页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
针对性训练-----几何探究题 1.如图 1,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP=AB,PB=PC,连结 AC、PD. (1)求证:△APB≌△DPC;(2)求证:∠PAC= ∠BAP;(3)若将原题中的正方形 ABCD 变为等腰梯形 ABCD(如图 2),AD∥BC,且 BA=AD=DC,形内一点 P 仍满足 AP=AB,PB=PC,试问(2) 中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由. 2 1 A B D C P 图 1 P C DA B 图 2② 2.如图 1,在 中, 为锐角,点 为射线 上一点,联结 ,以 为 一边且在 的右侧作正方形 . (1)如果 , , ①当点 在线段 上时(与点 不重合),如图 2,线段 所在直线的位置关 系为 __________ ,线段 的数量关系为 ; ②当点 在线段 的延长线上时,如图 3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由; (2)如果 , 是锐角,点 在线段 上,当 满足什么条件 时, (点 不重合),并说明理由. (3)若 AC=4 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交 于点 P,求线段 CP 长的最大值。 ABC△ ACB∠ D BC AD AD AD ADEF AB AC= 90BAC = ∠ D BC B CF BD、 CF BD、 D BC AB AC≠ BAC∠ D BC ACB∠ CF BC⊥ C F、 2 图 1 A B D F E C 图 2 A B D E C F F D 图 3 A B DC E 图 2 B C A D E B C A G D F E 图 1 3.如图 1,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE. (1)求证:CE=CF; (2)在图 1 中,若 G 在 AD 上,且∠GCE=45°,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么? (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识, 完成下题: 如图 2,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E 是 AB 上 一点,且∠DCE=45°,BE=4,求 DE 的长. 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90º,AB=6,AC=8,D,E 分别是边 AB,AC 的中点, 点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q,过点 Q 作 QR∥BA 交 AC 于 R,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ=x,QR=y. (1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点 P,使△PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值;若 不存在,请说明理由. A B C D E R P H Q A B C D E RP H Q A B C D E R P H Q A BCD E M N 图18 A B C D E M N 图19图17 N M E D C B A 5.如图 17,点 A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC =k·AD,点 M 是 DE 的中点,直线 AM 交直线 BC 于点 N. ⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系,并加以证明. 说明:如果你经过反复探索没解决问题,可以从下面①②中选取一个作为已知条件,再 完成你的证明,选取①比选原题少得 2 分,选取②比选原题少得 5 分. ① 如图 18,k=1;②如图 19,AB=AC. ⑵若△ADE 绕点 A 旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化? 如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形, 并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系. 6.已知, 是经过 顶点 的一条直线, . 分别是直线 上两点, 且 . (1)若直线 经过 的内部,且 在射线 上,请解决下面两个问题: ①如图 9-1,若 , , 则 ; (填“ ”,“ ”或“ ”); ②如图 9-2,若 ,请添加一个关于 与 关系的条件 , 使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立. (2)如图 9-3,若直线 经过 的外部, ,请提出 三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明). CD BCA∠ C CA CB= E F, CD BEC CFA α∠ = ∠ = ∠ CD BCA∠ E F, CD 90BCA∠ =  90α∠ =  BE CF EF BE AF− > < = 0 180BCA< ∠ <  α∠ BCA∠ CD BCA∠ BCAα∠ = ∠ EF BE AF, , A B C E F D D A B C E F A DF C E B 图 9-1 图 9-2 图 9-3 7.在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N,D 为 外一点,且 , ,BD=DC. 探究:当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时, BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系. 图 1 图 2 图 3 (I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量 关系是 ; 此时 ; (II)如图 2,点 M、N 边 AB、AC 上,且当 DM DN 时,猜想(I)问的两个结论还 成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图 3,当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时,若 AN= ,则 Q= (用 、L 表示). ABC∆ ABC °=∠ 60MDN °=∠ 120BDC AMN∆ ABC∆ = L Q ≠ x x G B D C E F A 参考答案 1. (1)略(2)略 (3)设 , 得 即 2.(1)①垂直,相等;……………1 分 ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立.………………2 分 由正方形 ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º. ∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC, 又 AB=AC ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD , ∠ACF=∠ABD. ∵∠BAC=90º, AB=AC , ∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º. 即 CF⊥BD.…………5 分 (2)当∠ACB=45º 时,CF⊥BD(如图). …………6 分 理由:过点 A 作 AG⊥AC 交 CB 或 CB 的延长线于点 G, 则∠GAC=90º, ∵∠ACB=45°,∠AGC=90°—∠ACB=45°, ∴∠ACB=∠AGC,∴AC=AG, ∵点 D 在线段 BC 上,∴点 D 在线段 GC 上,由(1)①可知 CF⊥BD. …7 分 (3)如图:作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC ∴ = 设 CD 为 x(0<x<3)则 DQ=CQ-CD=4-x 则 = ∴PC= (-x2+4x)=- (x-2)2+1≥1 当 x=2 时,PC 最长,此时 PC=1 °=∠°=∠ yBAPxPAC , °−=∠=∠ )60( xDCACAD则 °=∠ yPDC xyxX −+=+ 6060型得,由 xy 2= BAPPAC ∠=∠ 2 1 2 DQ PC AQ CD x PC −4 4 x 4 1 4 1 B C A G D F E 图 1 3.(1)证明:如图 1,在正方形 ABCD 中, ∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, ∴△CBE≌△CDF. ∴CE=CF.…….3 分 (2)GE=BE+GD 成立.理由是: ∵△CBE≌△CDF, ∴∠BCE=∠DCF. ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°, 又∠GCE=45°, ∴∠GCF=∠GCE=45°. ∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴△ECG≌△FCG. ……..4 分 ∴GE=GF ∴GE=DF+GD=BE+GD.…..5 分 (3)解:过 C 作 CG⊥AD,交 AD 延长线于 G. 在直角梯形 ABCD 中,∵AD∥BC ∴∠A=∠B=90°. 又∠CGA=90°,AB=BC, ∴四边形 ABCG 为正方形. ………6 分 ∴AG=BC=12. 已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG... 7 分 设 DE=x,则 DG=x-4, ∴AD=AG-DG=12-(x-4)=16-x. 在 Rt△AED 中, ∵ ,即 . 解这个方程,得:x=10. ∴DE=10. 4. ( 1 ) , , , . 点 为 中 点 , . , . , , .---------------2 分 (2) , . , , , ,即 关于 的函数关系式为: . -------5 分 (3)存在,分三种情况: ①当 时,过点 作 于 ,则 . , , .  RtA∠ = ∠ 6AB = 8AC = 10BC∴ =  D AB 1 32BD AB∴ = = 90DHB A∠ = ∠ =  B B∠ = ∠ BHD BAC∴△ ∽△ DH BD AC BC ∴ = 3 12810 5 BDDH ACBC ∴ = = × = QR AB ∥ 90QRC A∴∠ = ∠ =  C C∠ = ∠ RQC ABC∴△ ∽△ RQ QC AB BC ∴ = 10 6 10 y x−∴ = y x 3 65y x= − + PQ PR= P PM QR⊥ M QM RM= 1 2 90∠ + ∠ =  2 90C∠ + ∠ =  1 C∴∠ = ∠ 222 AEADDE += ( ) 222 816 +−= xx B C A D E G A B C D E R P H Q M 2 1 , , , . --------8 分 ②当 时, , . -------10 分 ③当 时,则 为 中垂线上的点, 于是点 为 的中点, . , , . -----13 分 综上所述,当 为 或 6 或 时, 为等腰三角形. -----14 分 5.(1)∠ANB+∠BAE=180º.……1 分 证明:(法一)如图 1,延长 AN 到 F,使 MF=AM,连接 DF、EF. ………………2 分 ∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME, ∴四边形 ADFE 是平行四边形 ,……………3 分 ∴AD∥EF,AD=EF, ∴∠DAE+∠AEF =180º, ∵∠BAC+∠DAE=180º, ∴∠BAC=∠AEF ,………4 分 ∵AB=kAE,AC=kAD, ∴ , ∴ ……6 分 ∴△ABC∽△EAF ∴∠B=∠EAF …………8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º 即∠ANB+∠BAE=180º,…………10 分 (法二)如图 2,延长 DA 到 F,使 AF=AD,连接 EF.………2 分 ∵∠BAC+∠DAE=180º,∠DAE +∠EAF =180º, ∴∠BAC=∠EAF,………………3 分 ∵AB=kAE,AC=kAD, ∴ , ∴ ,………4 分 ∴△ABC∽△AEF,………5 分 ∴∠B=∠AEF,………6 分 ∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME, 8 4cos 1 cos 10 5C∴ ∠ = = = 4 5 QM QP ∴ = 1 3 6 42 5 12 5 5 x − +  ∴ = 18 5x∴ = PQ RQ= 3 1265 5x− + = 6x∴ = PR QR= R PQ R EC 1 1 22 4CR CE AC∴ = = = tan QR BAC CR CA = = 3 6 65 2 8 x− + ∴ = 15 2x∴ = x 1 8 5 15 2 PQR△ AD AC AE AB = EF AC AE AB = AD AC AE AB = AF AC AE AB = A B C D E RP H Q A B C D E R P H Q M A D N EB C F 图 1 M A D N EB C F K H 图 2 又∵AF=AD, ∴AM 是△DEF 的中位线, ∴AM∥EF,……7 分 ∴∠NAE=∠AEF, ∴∠B=∠NAE,……8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º, ∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º, 即∠ANB+∠BAE=180º.………10 分 (2)变化.如图 3(仅供参考),∠ANB=∠BAE.……12 分 选取(ⅰ),如图 4. 证明:延长 AM 到 F,使 MF=AM,连接 DF、EF. ∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME ∴四边形 ADFE 是平行四边形,…………4 分 ∴AD∥FE,AD=EF, ∴∠DAE+∠AEF =180º, ∵∠BAC+∠DAE=180º, ∴∠BAC=∠DAE, ………6 分 ∵AB=kAE,AC=kAD, , ∴AB=AE ,AC=AD, ∴AC=EF,……7 分 ∴△ABC≌△EAF, ∴∠B=∠EAF, …8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º, ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º, 即∠ANB+∠BAE=180º.……10 分 选取(ⅱ),如图 5. 证明:∵AB=AC,∴∠B= (180º-∠BAC),…………3 分 ∵∠BAC+∠DAE=180º, ∴∠DAE=180º-∠BAC, ∴∠B= ∠DAE, ∵AB=kAE,AC=kAD, ∴AE=AD, ∵AM 是△ADE 的中线,AB=AC, ∴∠EAM= ∠DAE, ∴∠B=∠EAM,………4 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º, ∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º, 即∠ANB+∠BAE=180º.…5 分 1=k 2 1 2 1 2 1 A B C D E M N F 图 4 A B C D M N 图 5 E 图 3 A B C D E M N 6.(1)① ; ; 2 分 ②所填的条件是: . 4 分 证明:在 中, . , . 又 , . 又 , , . , . 又 , . 7 分 (2) . 7.(I)如图 1, BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN .此时 . (II)猜想:结论仍然成立. 证明:如图,延长 AC 至 E,使 CE=BM,连接 DE. ,且 . . 又 是等边三角形, . 在 与 中: (SAS) . DM=DE, 在 与 中: (SAS) MN=NE=NC+BM 的周长 Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB 而等边 的周长 L=3AB . (III)如图 3,当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时,若 AN= , 则 Q=2 + (用 、L 表示). = = 180BCAα∠ + ∠ =  BCE△ 180 180CBE BCE BEC α∠ + ∠ = − ∠ = − ∠  180BCA α∠ = − ∠ CBE BCE BCA∴∠ + ∠ = ∠ ACF BCE BCA∠ + ∠ = ∠ CBE ACF∴∠ = ∠ BC CA= BEC CFA∠ = ∠ ( )BCE CAF AAS∴△ ≌△ BE CF∴ = CE AF= EF CF CE= − EF BE AF∴ = − EF BE AF= + 3 2= L Q  CDBD = 120=∠BDC ∴ 30=∠=∠ DCBDBC ABC∆ ∴ 90MBD NCD∠ = ∠ =  MBD∆ ECD∆    = ∠=∠ = DCBD ECDMBD CEBM ∴ ≅∆MBD ECD∆ ∴ CDEBDM ∠=∠ ∴ 60=∠−∠=∠ MDNBDCEDN MDN∆ EDN∆    = ∠=∠ = DNDN EDNMDN DEDM ∴ ≅∆MDN EDN∆ ∴ AMN∆ ABC∆ ∴ 3 2 3 2 == AB AB L Q x x L3 2 x G HD 24--2 E Q P N A F M BC 8.如图 24-1,正方形 ABCD 和正方形 QMNP, M 是正方形 ABCD 的对称中心,MN 交 AB 于 F, QM 交 AD 于 E. (1)猜想:ME 与 MF 的数量关系 (2)如图 24-2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M =∠B,其它条件不变, 探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系,并加以证明. (3)如图 24-3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且 AB:BC=1:2,其它条件不变, 探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系,并说明理由. (4)如图 24-4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M =∠B , AB:BC = m,其它条件不变,求出 ME:MF 的值。(直接写出答案) 8.(1)ME=MF ……………1 分 (2)ME=MF. ………… 2 分 证明:过点 M 作 MH⊥AD 于 H,MG⊥AB 于 G,连结 AM. ∵M 是菱形 ABCD 的对称中心,∴O 是菱形 ABCD 对角线的交点, ∴AM 平分∠BAD,∴MH=MG ∵∠M=∠B,∴∠M+∠BAD=180º,又∠MHA=∠MGF=90º, ∴∠HMG+∠BAD=180º.∴∠EMF=∠HMG, ∴∠EMH=∠FMG.∵∠MHE=∠MGF, ∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF.……4 分 (3)ME:MF=1:2.…………………………5 分 证明:过点 M 作 MH⊥AD 于 H,MG⊥AB 于 G, ∵∠M=∠B,∴∠A=∠EMF=90º,又∵∠MHA=∠MGA=90º, ∴∠HMG=90º.∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG. ∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE∽△MGF ,∴ . --------6 分ME MH MF MG = 24--1 Q P N F E D C B M A 24--3 D E Q P A N F B M C D 24--2 E Q P N A F M BC F E Q M D N P B A C G H 24--3 D E Q P A NF B M C 又∵M 是矩形 ABCD 的对称中心,∴O 是矩形 ABCD 对角线的中点, 又∵MG⊥AB,∴MG∥BC,∴ 同理可得 ,∴ME:MF=1:2. …………7 分 (4) ME:MF=m ……………………8 分 9.在△ABC 中,AC=BC=2,∠C=90o,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交射线 AC,CB 于 D,E 两点,如图 1,2,3 是 旋转三角板得到的图形中的 3 种情况,,研究: ⑴三角板绕点 P 旋转,观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系?并结合图 2 加以证明。 ⑵三角板绕点 P 旋转,△PBE 是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE 为等腰三角形时 CE 的长);若不能,请说明理由。 ⑶若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处,且 AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线 段 MD 和 ME 之间有什么数量关系?并结合图 4 加以证明。 9、(1)PD=PE (提示:连结 PC,证△PDC≌△PEB 可得) (2)能,CE 的长: (3)MD:ME=1:3 10.图 1 是边长分别为 4 3和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 C′D′E′叠放在一起(C 与 C′重合)。 (1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点 C 顺时针旋转 30°得到△CDE,连结 AD、BE,CE 的延长线交 AB 于 F(图 2); 探究:在图 2 中,线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论。 (2)操作:将图 2 中的△CDE,在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移, 1 2MG BC= 1 2MH AB= 2210 ±或或 P 图 1 A BC D E P 图 2 A BC D E P 图 3 A BC D E M 图 4 A B C D E 平移后的△CDE 设为△PQR(图 3); 请问:经过多少时间,△PQR 与△ABC 重叠部分的面积恰好等于 ? (3)操作:图 1 中△C′D′E′固定,将△ABC 移动,使顶点 C 落在 C′E′的中点, 边 BC 交 D′E′于点 M,边 AC 交 D′C′于点 N,设∠AC C′=α(30°<α<90,图 4); 探究:在图 4 中,线段 C N·E M 的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求 出 C N·E M 的值,如果有变化,请你说明理由。 10.(1)BE=AD 证明:∵△ABC 与△DCE 是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD(也可用旋转方法证明 BE=AD) (2)设经过 x 秒重叠部分的面积是 ,如图在△CQT 中 ∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴ RT=3-x ∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90° 由已知得 ×32 - (3-x)2= x =1,x =5,因为 0≤x≤3,所以 x=1 (3)C′N·E′M 的值不变 证明:∵∠ACB=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120° 7 3 4 7 3 4 3 4 3 8 7 3 4 1 2 Q P R A B C F 图3 T S ∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN ∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C= × = 11.请阅读下列材料: 已知:如图(1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB = AC,点 D、E 分别为线段 BC 上 两动点,若∠DAE=45°.探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是:把△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABE′,连结 E′D, 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题: (1)猜想 BD、DE、EC 三条线段之间存在的数 量关系式,直接写出你的猜想; 图(1) (2)当动点 E 在线段 BC 上,动点 D 运动在线 段 CB 延长线上时,如图(2),其它条件 不变,(1)中探究的结论是否发生改变? 请说明你的猜想并给予证明. 图(2) (3)已知:如图(3),等边三角形 ABC 中,点 D、E 在边 AB 上,且∠DCE=30°,请你找出 一个条件,使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶 角的度数; 11.(1) DE2=BD2+EC2 ……1 分 图(3) (2)关系式 DE2=BD2+EC2 仍然成立 ………5 分 证明:将△ADB 沿直线 AD 对折, 得△AFD,连 FE ∴ △AFD≌△ABD ……………6 分 ∴AF=AB,FD=DB / / / / E M E C C C C N = 3 2 3 2 9 4 ∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC,∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE ∴△AFE≌△ACE ∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°…………7 分 ∴在 Rt△DFE 中 DF2+FE2=DE2 即 DE2=BD2+EC2 ……8 分 (2)当 AD=BE 时,线段 DE、AD、EB 能 构成一个等腰三角形. 如图②,与(1)类似,以 CE 为一边,作 ∠ECF=∠ECB,在 CF 上截取 CF=CB,可得 △CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA. ∴AD=DF,EF=BE. 图② ∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°. ……………………………………5 分 若使△DFE 为等腰三角形,只需 DF=EF,即 AD=BE. ∴当 AD=BE 时,线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6 分 且顶角∠DFE 为 120°. 京模 12.如图 1,在△ACB 和△AED 中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点 E 在 AB 上, F 是线段 BD 的中点,连结 CE、FE. (1)请你探究线段 CE 与 FE 之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由); (2)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转,使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC 在同一条直线上(如图 2),连结 BD,取 BD 的中点 F,问(1)中的结论是否仍 然成立,并说明理由; (3)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度(如图 3),连结 BD,取 BD 的 中点 F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由. 12 F ED C A B B P M N D C E A 图3 F 图2 B D C F E G A 12.(1)线段 CE 与 FE 之间的数量关系是 CE= FE.………2 分 (2)(1)中的结论仍然成立. 如图 2,连结 CF,延长 EF 交 CB 于点 G. ∵ ∴ DE∥BC . ∴ ∠ EDF= ∠ GBF. 又∵ ,DF=BF,∴ △EDF≌△GBF. ∴ EF=GF,BG=DE=AE. ∵ AC=BC, ∴ CE=CG. ∴∠EFC=90°,CF=EF. ∴ △CEF 为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°.∴CE= FE ………5 分 (3)(1)中的结论仍然成立. 如图 3,取 AD 的中点 M,连结 EM,MF,取 AB 的中点 N,连结 FN,CN, CF. ∵DF=BF, ∴ ∵AE=DE,∠AED=90°, ∴AM=EM,∠AME=90°. ∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴ ,∠ANC=90°. ∴ ,FM=AN =CN. ∴四边形 MFNA 为平行四边形. ∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA. ∴∠EMF=∠FNC. ∴△EMF≌△FNC. ∴FE = CF,∠EFM=∠FCN. 由 ,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°. ∴∠FCN+∠PFC=90°. ∴∠EFM+∠PFC=90°. 图1 图2 F CC B D B E F E D B A 图3 E AA F C D 2 90 ,ACB AED∠ = ∠ = ° EFD GFB∠ = ∠ 2 1// , .2FM AB FM AB=且 1 2CN AN AB= = //MF AN //MF AN ∴∠EFC=90°. ∴ △CEF 为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°. ∴ CE= FE.……………8 分 另法:延长 CF 至 G, 使 FG=CF, 连结 EG 与 DG. 证△DFG≌△FBC. 从而 DG=CB=AC, 再证△ACE≌△DEG 13.如图①,已知△ABC 中,AB=AC,点 P 是 BC 上的一点,PN⊥AC 于点 N,PM⊥AB 于点 M,CG ⊥AB 于点 G,则 CG=PM+PN.   (1)如图②,若点P在BC的延长线上, 则PM、PN、CG三者是否还有上述关系, 若有,请说明理由,若没有,猜想三者之间又有怎样的关系,并证明你的猜想;   (2)如图③,AC 是正方形 ABCD 的对角线,AE=AB, 点 P 是 BE 上任一点, PN⊥AB 于点 N, PM⊥AC 于点 M,猜想PM、PN、AC有什么关系;(直接写出结论)   (3)观察图①、②、③的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有PM、P N、CG这样的线段,并满足图①或图②的结论,写出相关题设的条件和结论.  13.(1)猜想CG=PM-PN.   证明:过 C 点作 CE⊥PM 于 E.  ∵PN⊥AB,CG⊥AB,∴四边形 CGME 是矩形.   ∴ME=CG,CE∥AB.   ∴∠B=∠ECP.   ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠PCN.   ∴∠ECP=∠PCN.  ∵∠PNC=∠PEC=90°,PC=PC,∴△PNC≌△PEC. ∴PN=PE .   ∴CG= ME=PM-PE=PM-PN . ………4 分 2 图 2图 1   (2)PM+PN= AC .   证明:连接 BD,交 AC 于 O,过点 P 作 PF⊥BD 于 F.   ∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠COB=90°,OB=OC= AC.   ∵PM⊥AC,∴四边形 PFOM 为矩形. ∴MP=OF,PF∥AC.∴∠OEP=∠FPB.   ∵AE=AB,∴∠OEP=∠ABP.   ∴∠ABP=∠FPB.   ∵PB=PB,∠PFB=∠PNB=90°,∴△PFB≌△BNP.   ∴BF=PN.∴OB=OF+FB= PM+PN= AC. ………………8 分   (3)点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点,点 P 到两腰的距离的和(或差) 等于这个等腰三角形腰上的高.如图③,④都有 BG=PM+PN.   如图⑤CG=PM-PN. ………………10 分