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- 2021-05-13 发布
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针对性训练-----几何探究题
1.如图 1,在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP=AB,PB=PC,连结 AC、PD.
(1)求证:△APB≌△DPC;(2)求证:∠PAC= ∠BAP;(3)若将原题中的正方形 ABCD
变为等腰梯形 ABCD(如图 2),AD∥BC,且 BA=AD=DC,形内一点 P 仍满足 AP=AB,PB=PC,试问(2)
中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.
2
1
A
B
D
C
P
图
1
P
C
DA
B
图
2②
2.如图 1,在 中, 为锐角,点 为射线 上一点,联结 ,以 为
一边且在 的右侧作正方形 .
(1)如果 , ,
①当点 在线段 上时(与点 不重合),如图 2,线段 所在直线的位置关
系为 __________ ,线段 的数量关系为 ;
②当点 在线段 的延长线上时,如图 3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果 , 是锐角,点 在线段 上,当 满足什么条件
时, (点 不重合),并说明理由.
(3)若 AC=4 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交
于点 P,求线段 CP 长的最大值。
ABC△ ACB∠ D BC AD AD
AD ADEF
AB AC= 90BAC = ∠
D BC B CF BD、
CF BD、
D BC
AB AC≠ BAC∠ D BC ACB∠
CF BC⊥ C F、
2
图 1
A
B D
F
E C
图 2
A
B D
E
C
F
F
D
图 3
A
B DC
E
图 2
B
C
A
D
E
B
C
A G D
F
E
图 1
3.如图 1,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)在图 1 中,若 G 在 AD 上,且∠GCE=45°,则 GE=BE+GD 成立吗?为什么?
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识, 完成下题:
如图 2,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E 是 AB 上
一点,且∠DCE=45°,BE=4,求 DE 的长.
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90º,AB=6,AC=8,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,
点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ⊥BC 于 Q,过点 Q 作 QR∥BA 交 AC
于 R,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ=x,QR=y.
(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长;
(2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)是否存在点 P,使△PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值;若
不存在,请说明理由.
A
B C
D E
R
P
H Q
A
B C
D E
RP
H Q
A
B C
D E
R
P
H Q
A
BCD
E
M
N
图18
A
B
C
D
E
M
N
图19图17
N
M
E
D
C
B
A
5.如图 17,点 A 是△ABC 和△ADE 的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=k·AE,AC
=k·AD,点 M 是 DE 的中点,直线 AM 交直线 BC 于点 N.
⑴探究∠ANB 与∠BAE 的关系,并加以证明.
说明:如果你经过反复探索没解决问题,可以从下面①②中选取一个作为已知条件,再
完成你的证明,选取①比选原题少得 2 分,选取②比选原题少得 5 分.
① 如图 18,k=1;②如图 19,AB=AC.
⑵若△ADE 绕点 A 旋转,其他条件不变,则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化?
如果没有发生变化,请写出一个可以推广的命题;如果有变化,请画出变化后的一个图形,
并直接写出变化后∠ANB 与∠BAE 的关系.
6.已知, 是经过 顶点 的一条直线, . 分别是直线 上两点,
且 .
(1)若直线 经过 的内部,且 在射线 上,请解决下面两个问题:
①如图 9-1,若 , ,
则 ; (填“ ”,“ ”或“ ”);
②如图 9-2,若 ,请添加一个关于 与 关系的条件 ,
使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图 9-3,若直线 经过 的外部, ,请提出
三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
CD BCA∠ C CA CB= E F, CD
BEC CFA α∠ = ∠ = ∠
CD BCA∠ E F, CD
90BCA∠ = 90α∠ =
BE CF EF BE AF− > < =
0 180BCA< ∠ < α∠ BCA∠
CD BCA∠ BCAα∠ = ∠ EF BE AF, ,
A
B
C
E
F D D
A
B
C
E F
A
DF
C
E
B
图 9-1 图 9-2 图 9-3
7.在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N,D 为 外一点,且
, ,BD=DC. 探究:当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时,
BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系.
图 1 图 2 图 3
(I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC、MN 之间的数量
关系是 ; 此时 ;
(II)如图 2,点 M、N 边 AB、AC 上,且当 DM DN 时,猜想(I)问的两个结论还
成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(III) 如图 3,当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时,若 AN= ,则 Q=
(用 、L 表示).
ABC∆ ABC
°=∠ 60MDN °=∠ 120BDC
AMN∆ ABC∆
=
L
Q
≠
x
x
G B D C
E
F
A
参考答案
1. (1)略(2)略
(3)设 ,
得 即
2.(1)①垂直,相等;……………1 分
②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立.………………2 分
由正方形 ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC,
又 AB=AC ,∴△DAB≌△FAC ,
∴CF=BD , ∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90º, AB=AC ,
∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º. 即 CF⊥BD.…………5 分
(2)当∠ACB=45º 时,CF⊥BD(如图). …………6 分
理由:过点 A 作 AG⊥AC 交 CB 或 CB 的延长线于点 G,
则∠GAC=90º, ∵∠ACB=45°,∠AGC=90°—∠ACB=45°,
∴∠ACB=∠AGC,∴AC=AG,
∵点 D 在线段 BC 上,∴点 D 在线段 GC 上,由(1)①可知 CF⊥BD. …7 分
(3)如图:作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4
∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°
∴△ADQ∽△DPC ∴ =
设 CD 为 x(0<x<3)则 DQ=CQ-CD=4-x 则 =
∴PC= (-x2+4x)=- (x-2)2+1≥1 当 x=2 时,PC 最长,此时 PC=1
°=∠°=∠ yBAPxPAC , °−=∠=∠ )60( xDCACAD则 °=∠ yPDC
xyxX −+=+ 6060型得,由 xy 2= BAPPAC ∠=∠
2
1
2
DQ
PC
AQ
CD
x
PC
−4 4
x
4
1
4
1
B
C
A G D
F
E
图
1
3.(1)证明:如图 1,在正方形 ABCD 中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF. ∴CE=CF.…….3 分
(2)GE=BE+GD 成立.理由是:
∵△CBE≌△CDF, ∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°, 又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG. ……..4 分
∴GE=GF ∴GE=DF+GD=BE+GD.…..5 分
(3)解:过 C 作 CG⊥AD,交 AD 延长线于 G.
在直角梯形 ABCD 中,∵AD∥BC ∴∠A=∠B=90°.
又∠CGA=90°,AB=BC, ∴四边形 ABCG 为正方形. ………6 分
∴AG=BC=12. 已知∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,ED=BE+DG... 7 分
设 DE=x,则 DG=x-4, ∴AD=AG-DG=12-(x-4)=16-x.
在 Rt△AED 中, ∵ ,即 .
解这个方程,得:x=10. ∴DE=10.
4. ( 1 ) , , , . 点 为 中 点 ,
. , . ,
, .---------------2 分
(2) , . , ,
, ,即 关于 的函数关系式为: . -------5 分
(3)存在,分三种情况:
①当 时,过点 作 于 ,则 .
, , .
RtA∠ = ∠ 6AB = 8AC = 10BC∴ = D AB
1 32BD AB∴ = = 90DHB A∠ = ∠ = B B∠ = ∠ BHD BAC∴△ ∽△
DH BD
AC BC
∴ = 3 12810 5
BDDH ACBC
∴ = = × =
QR AB ∥ 90QRC A∴∠ = ∠ = C C∠ = ∠ RQC ABC∴△ ∽△
RQ QC
AB BC
∴ = 10
6 10
y x−∴ = y x 3 65y x= − +
PQ PR= P PM QR⊥ M QM RM=
1 2 90∠ + ∠ = 2 90C∠ + ∠ = 1 C∴∠ = ∠
222 AEADDE += ( ) 222 816 +−= xx
B
C
A
D
E
G
A
B C
D E
R
P
H Q
M
2
1
, ,
, . --------8 分
②当 时, , . -------10 分
③当 时,则 为 中垂线上的点,
于是点 为 的中点, .
, , . -----13 分
综上所述,当 为 或 6 或 时, 为等腰三角形. -----14 分
5.(1)∠ANB+∠BAE=180º.……1 分
证明:(法一)如图 1,延长 AN 到 F,使 MF=AM,连接 DF、EF. ………………2 分
∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME, ∴四边形 ADFE 是平行四边形 ,……………3 分
∴AD∥EF,AD=EF, ∴∠DAE+∠AEF =180º, ∵∠BAC+∠DAE=180º,
∴∠BAC=∠AEF ,………4 分 ∵AB=kAE,AC=kAD,
∴ , ∴ ……6 分
∴△ABC∽△EAF ∴∠B=∠EAF …………8 分
∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º
即∠ANB+∠BAE=180º,…………10 分
(法二)如图 2,延长 DA 到 F,使 AF=AD,连接 EF.………2 分
∵∠BAC+∠DAE=180º,∠DAE +∠EAF =180º,
∴∠BAC=∠EAF,………………3 分 ∵AB=kAE,AC=kAD,
∴ , ∴ ,………4 分
∴△ABC∽△AEF,………5 分
∴∠B=∠AEF,………6 分 ∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME,
8 4cos 1 cos 10 5C∴ ∠ = = = 4
5
QM
QP
∴ =
1 3 6 42 5
12 5
5
x − + ∴ = 18
5x∴ =
PQ RQ= 3 1265 5x− + = 6x∴ =
PR QR= R PQ
R EC 1 1 22 4CR CE AC∴ = = =
tan QR BAC CR CA
= =
3 6 65
2 8
x− +
∴ = 15
2x∴ =
x
1 8
5
15
2 PQR△
AD
AC
AE
AB =
EF
AC
AE
AB =
AD
AC
AE
AB =
AF
AC
AE
AB =
A
B C
D E
RP
H Q
A
B C
D E
R
P
H Q
M
A
D
N
EB C
F
图 1
M
A
D
N EB C
F
K
H
图 2
又∵AF=AD, ∴AM 是△DEF 的中位线,
∴AM∥EF,……7 分 ∴∠NAE=∠AEF,
∴∠B=∠NAE,……8 分 ∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º,
∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º,
即∠ANB+∠BAE=180º.………10 分
(2)变化.如图 3(仅供参考),∠ANB=∠BAE.……12 分
选取(ⅰ),如图 4.
证明:延长 AM 到 F,使 MF=AM,连接 DF、EF.
∵点 M 是 DE 的中点,∴DM=ME
∴四边形 ADFE 是平行四边形,…………4 分
∴AD∥FE,AD=EF, ∴∠DAE+∠AEF =180º,
∵∠BAC+∠DAE=180º, ∴∠BAC=∠DAE, ………6 分
∵AB=kAE,AC=kAD, , ∴AB=AE ,AC=AD,
∴AC=EF,……7 分 ∴△ABC≌△EAF, ∴∠B=∠EAF, …8 分
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º, ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º.……10 分
选取(ⅱ),如图 5.
证明:∵AB=AC,∴∠B= (180º-∠BAC),…………3 分
∵∠BAC+∠DAE=180º, ∴∠DAE=180º-∠BAC,
∴∠B= ∠DAE, ∵AB=kAE,AC=kAD,
∴AE=AD, ∵AM 是△ADE 的中线,AB=AC,
∴∠EAM= ∠DAE, ∴∠B=∠EAM,………4 分
∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º, ∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º,
即∠ANB+∠BAE=180º.…5 分
1=k
2
1
2
1
2
1
A
B C
D
E
M
N
F
图 4
A
B C
D M
N
图 5
E
图 3
A
B C
D
E
M
N
6.(1)① ; ; 2 分 ②所填的条件是: . 4 分
证明:在 中, .
, .
又 , .
又 , , .
, . 又 , . 7 分
(2) .
7.(I)如图 1, BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN .此时 .
(II)猜想:结论仍然成立.
证明:如图,延长 AC 至 E,使 CE=BM,连接 DE.
,且 . .
又 是等边三角形, .
在 与 中:
(SAS) .
DM=DE,
在 与 中:
(SAS) MN=NE=NC+BM
的周长 Q=AM+AN+MN=AB+AC =2AB
而等边 的周长 L=3AB .
(III)如图 3,当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时,若 AN= ,
则 Q=2 + (用 、L 表示).
= = 180BCAα∠ + ∠ =
BCE△ 180 180CBE BCE BEC α∠ + ∠ = − ∠ = − ∠
180BCA α∠ = − ∠ CBE BCE BCA∴∠ + ∠ = ∠
ACF BCE BCA∠ + ∠ = ∠ CBE ACF∴∠ = ∠
BC CA= BEC CFA∠ = ∠ ( )BCE CAF AAS∴△ ≌△
BE CF∴ = CE AF= EF CF CE= − EF BE AF∴ = −
EF BE AF= +
3
2=
L
Q
CDBD = 120=∠BDC ∴ 30=∠=∠ DCBDBC
ABC∆ ∴ 90MBD NCD∠ = ∠ =
MBD∆ ECD∆
=
∠=∠
=
DCBD
ECDMBD
CEBM
∴ ≅∆MBD ECD∆
∴ CDEBDM ∠=∠
∴ 60=∠−∠=∠ MDNBDCEDN MDN∆ EDN∆
=
∠=∠
=
DNDN
EDNMDN
DEDM
∴ ≅∆MDN EDN∆ ∴
AMN∆
ABC∆ ∴
3
2
3
2 ==
AB
AB
L
Q
x
x L3
2 x
G
HD
24--2
E
Q
P
N
A
F
M
BC
8.如图 24-1,正方形 ABCD 和正方形 QMNP, M 是正方形 ABCD 的对称中心,MN 交 AB 于 F,
QM 交 AD 于 E.
(1)猜想:ME 与 MF 的数量关系
(2)如图 24-2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且∠M =∠B,其它条件不变,
探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系,并加以证明.
(3)如图 24-3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且 AB:BC=1:2,其它条件不变,
探索线段 ME 与线段 MF 的数量关系,并说明理由.
(4)如图 24-4,若将原题中的“正方形”改为平行四边形,且∠M =∠B ,
AB:BC = m,其它条件不变,求出 ME:MF 的值。(直接写出答案)
8.(1)ME=MF ……………1 分 (2)ME=MF. ………… 2 分
证明:过点 M 作 MH⊥AD 于 H,MG⊥AB 于 G,连结 AM.
∵M 是菱形 ABCD 的对称中心,∴O 是菱形 ABCD 对角线的交点,
∴AM 平分∠BAD,∴MH=MG
∵∠M=∠B,∴∠M+∠BAD=180º,又∠MHA=∠MGF=90º,
∴∠HMG+∠BAD=180º.∴∠EMF=∠HMG,
∴∠EMH=∠FMG.∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF.……4 分
(3)ME:MF=1:2.…………………………5 分
证明:过点 M 作 MH⊥AD 于 H,MG⊥AB 于 G,
∵∠M=∠B,∴∠A=∠EMF=90º,又∵∠MHA=∠MGA=90º,
∴∠HMG=90º.∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE∽△MGF
,∴ . --------6 分ME MH
MF MG
=
24--1
Q
P
N
F
E
D
C B
M
A
24--3
D E
Q
P
A
N
F
B
M
C
D
24--2
E
Q
P
N
A
F
M
BC
F
E
Q
M
D
N
P
B
A
C
G
H
24--3
D
E
Q
P
A
NF
B
M
C
又∵M 是矩形 ABCD 的对称中心,∴O 是矩形 ABCD 对角线的中点,
又∵MG⊥AB,∴MG∥BC,∴
同理可得 ,∴ME:MF=1:2. …………7 分
(4) ME:MF=m ……………………8 分
9.在△ABC 中,AC=BC=2,∠C=90o,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P
处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交射线 AC,CB 于 D,E 两点,如图 1,2,3 是
旋转三角板得到的图形中的 3 种情况,,研究:
⑴三角板绕点 P 旋转,观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系?并结合图 2 加以证明。
⑵三角板绕点 P 旋转,△PBE 是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE
为等腰三角形时 CE 的长);若不能,请说明理由。
⑶若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处,且 AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线
段 MD 和 ME 之间有什么数量关系?并结合图 4 加以证明。
9、(1)PD=PE (提示:连结 PC,证△PDC≌△PEB 可得)
(2)能,CE 的长: (3)MD:ME=1:3
10.图 1 是边长分别为 4 3和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 C′D′E′叠放在一起(C
与 C′重合)。
(1)操作:固定△ABC,将△C′D′E′绕点 C 顺时针旋转 30°得到△CDE,连结
AD、BE,CE 的延长线交 AB 于 F(图 2);
探究:在图 2 中,线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论。
(2)操作:将图 2 中的△CDE,在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移,
1
2MG BC=
1
2MH AB=
2210 ±或或
P
图 1
A
BC
D
E
P
图 2
A
BC
D
E
P
图 3
A
BC
D
E
M
图 4
A
B C
D
E
平移后的△CDE 设为△PQR(图 3);
请问:经过多少时间,△PQR 与△ABC 重叠部分的面积恰好等于 ?
(3)操作:图 1 中△C′D′E′固定,将△ABC 移动,使顶点 C 落在 C′E′的中点,
边 BC 交 D′E′于点 M,边 AC 交 D′C′于点 N,设∠AC C′=α(30°<α<90,图
4);
探究:在图 4 中,线段 C N·E M 的值是否随α的变化而变化?如果没有变化,请你求
出 C N·E M 的值,如果有变化,请你说明理由。
10.(1)BE=AD
证明:∵△ABC 与△DCE 是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB,CE=CD
∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ∴ BE=AD(也可用旋转方法证明 BE=AD)
(2)设经过 x 秒重叠部分的面积是 ,如图在△CQT 中
∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ
∴QT=QC=x∴ RT=3-x ∵∠RTS+∠R=90° ∴∠RST=90°
由已知得 ×32 - (3-x)2= x =1,x =5,因为 0≤x≤3,所以 x=1
(3)C′N·E′M 的值不变
证明:∵∠ACB=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°
7 3
4
7 3
4
3
4
3
8
7 3
4 1 2
Q
P
R
A
B C
F
图3
T
S
∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′
∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN
∴ ∴C′N·E′M=C′C·E′C= × =
11.请阅读下列材料:
已知:如图(1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB = AC,点 D、E 分别为线段 BC 上
两动点,若∠DAE=45°.探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABE′,连结 E′D,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想 BD、DE、EC 三条线段之间存在的数
量关系式,直接写出你的猜想; 图(1)
(2)当动点 E 在线段 BC 上,动点 D 运动在线
段 CB 延长线上时,如图(2),其它条件
不变,(1)中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明. 图(2)
(3)已知:如图(3),等边三角形 ABC 中,点 D、E 在边 AB 上,且∠DCE=30°,请你找出
一个条件,使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶
角的度数;
11.(1) DE2=BD2+EC2 ……1 分
图(3)
(2)关系式 DE2=BD2+EC2 仍然成立 ………5 分
证明:将△ADB 沿直线 AD 对折,
得△AFD,连 FE
∴ △AFD≌△ABD ……………6 分
∴AF=AB,FD=DB
/ /
/ /
E M E C
C C C N
= 3
2
3
2
9
4
∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD
又∵AB=AC,∴AF=AC
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB
∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE ∴△AFE≌△ACE
∴ FE=EC , ∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°…………7 分
∴在 Rt△DFE 中 DF2+FE2=DE2 即 DE2=BD2+EC2 ……8 分
(2)当 AD=BE 时,线段 DE、AD、EB 能
构成一个等腰三角形.
如图②,与(1)类似,以 CE 为一边,作
∠ECF=∠ECB,在 CF 上截取 CF=CB,可得
△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.
∴AD=DF,EF=BE. 图②
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°. ……………………………………5 分
若使△DFE 为等腰三角形,只需 DF=EF,即 AD=BE.
∴当 AD=BE 时,线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形. ……………6 分
且顶角∠DFE 为 120°.
京模 12.如图 1,在△ACB 和△AED 中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点 E 在
AB 上, F 是线段 BD 的中点,连结 CE、FE.
(1)请你探究线段 CE 与 FE 之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转,使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC
在同一条直线上(如图 2),连结 BD,取 BD 的中点 F,问(1)中的结论是否仍
然成立,并说明理由;
(3)将图 1 中的△AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度(如图 3),连结 BD,取 BD 的
中点 F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
12
F
ED
C
A B
B
P
M
N
D
C
E
A
图3
F
图2
B
D
C
F
E
G
A
12.(1)线段 CE 与 FE 之间的数量关系是 CE= FE.………2 分
(2)(1)中的结论仍然成立.
如图 2,连结 CF,延长 EF 交 CB 于点 G.
∵ ∴ DE∥BC . ∴ ∠ EDF= ∠ GBF.
又∵ ,DF=BF,∴ △EDF≌△GBF.
∴ EF=GF,BG=DE=AE. ∵ AC=BC, ∴ CE=CG.
∴∠EFC=90°,CF=EF. ∴ △CEF 为等腰直角三角形.
∴∠CEF=45°.∴CE= FE ………5 分
(3)(1)中的结论仍然成立.
如图 3,取 AD 的中点 M,连结 EM,MF,取 AB 的中点 N,连结 FN,CN,
CF.
∵DF=BF, ∴
∵AE=DE,∠AED=90°, ∴AM=EM,∠AME=90°.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴ ,∠ANC=90°.
∴ ,FM=AN =CN.
∴四边形 MFNA 为平行四边形.
∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA.
∴∠EMF=∠FNC. ∴△EMF≌△FNC.
∴FE = CF,∠EFM=∠FCN.
由 ,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°.
∴∠FCN+∠PFC=90°. ∴∠EFM+∠PFC=90°.
图1 图2
F CC B
D
B
E
F
E
D
B
A
图3
E
AA
F
C
D
2
90 ,ACB AED∠ = ∠ = °
EFD GFB∠ = ∠
2
1// , .2FM AB FM AB=且
1
2CN AN AB= =
//MF AN
//MF AN
∴∠EFC=90°. ∴ △CEF 为等腰直角三角形.
∴∠CEF=45°. ∴ CE= FE.……………8 分
另法:延长 CF 至 G, 使 FG=CF, 连结 EG 与 DG. 证△DFG≌△FBC. 从而
DG=CB=AC, 再证△ACE≌△DEG
13.如图①,已知△ABC 中,AB=AC,点 P 是 BC 上的一点,PN⊥AC 于点 N,PM⊥AB 于点 M,CG
⊥AB 于点 G,则 CG=PM+PN.
(1)如图②,若点P在BC的延长线上, 则PM、PN、CG三者是否还有上述关系,
若有,请说明理由,若没有,猜想三者之间又有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)如图③,AC 是正方形 ABCD 的对角线,AE=AB, 点 P 是 BE 上任一点, PN⊥AB 于点 N,
PM⊥AC 于点 M,猜想PM、PN、AC有什么关系;(直接写出结论)
(3)观察图①、②、③的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有PM、P
N、CG这样的线段,并满足图①或图②的结论,写出相关题设的条件和结论.
13.(1)猜想CG=PM-PN.
证明:过 C 点作 CE⊥PM 于 E. ∵PN⊥AB,CG⊥AB,∴四边形 CGME 是矩形.
∴ME=CG,CE∥AB. ∴∠B=∠ECP. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠PCN.
∴∠ECP=∠PCN. ∵∠PNC=∠PEC=90°,PC=PC,∴△PNC≌△PEC. ∴PN=PE .
∴CG= ME=PM-PE=PM-PN . ………4 分
2
图 2图 1
(2)PM+PN= AC . 证明:连接 BD,交 AC 于 O,过点 P 作 PF⊥BD 于 F.
∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠COB=90°,OB=OC= AC.
∵PM⊥AC,∴四边形 PFOM 为矩形. ∴MP=OF,PF∥AC.∴∠OEP=∠FPB.
∵AE=AB,∴∠OEP=∠ABP. ∴∠ABP=∠FPB.
∵PB=PB,∠PFB=∠PNB=90°,∴△PFB≌△BNP.
∴BF=PN.∴OB=OF+FB= PM+PN= AC. ………………8 分
(3)点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点,点 P 到两腰的距离的和(或差)
等于这个等腰三角形腰上的高.如图③,④都有 BG=PM+PN.
如图⑤CG=PM-PN. ………………10 分