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- 2021-05-13 发布
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你会“几何中的最值问题”吗?
一、几何中最值问题包括: ①“面积最值” ②“线段(和、差)最值”.
(1)求面积的最值
方法:需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解;
(2)求线段及线段和、差的最值
方法:需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.
一般处理方法:
线段差最大
线段和(周长)最小
平移
对称
旋转
平移
对称
旋转
使点在线同侧
(如下图)
使点在线异侧
(如下图)
三角形三边关系定理
三点共线时取得最值
两点之间,线段最短
垂线段最短
常用定理:
两点之间,线段最短(已知两个定点时)
垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)
三角形三边关系
|PA-PB|最大,
需转化,使点在线同侧
PA+PB最小,
需转化,使点在线异侧
二、精讲精练
1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.
1. 如图,点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,
若∠AOB=45°,OP=3,则△PMN周长的最小值为 .
2. 如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,
若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为 .
3. 如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为
线段BC、CD、BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 .
4. 如图,当四边形PABN的周长最小时,a= .
5. 在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为 .
6. 如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于 .
第5题图 第6题图 第7题图
7. 如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为_________.
1. 如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD,则CD长度的最小值为 .
2. 如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为_________.
第9题图 第10题图
3. 在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N两点分别是边
AB、AC上的动点,将△AMN沿MN翻折,A点的对应
点为A′,连接BA′,则BA′的最小值是_________.
几何中的最值问题(作业)
1. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是__________.
第1题图 第2题图 第3题图
2. 在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________cm(结果不取近似值).
3. 如图,在锐角△ABC中,,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为___________.
1. 圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC= 4cm.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 。
2. 圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC= 4cm.一只蚂蚁从圆柱外面的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点圆柱内侧的P的最短距离是 .
3. 一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=(m<0)的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(-6,2)
(1)求m,k的值;
(2)点P为y轴上的一个动点,当点P在什么位置时|PA-PB|
的值最大?并求出最大值.
4. 已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点,设B(-1,y).
(1)如图1,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式;
(2)如图2,当点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=1.线段EF在x轴上平移,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?求出此时点E的坐标.
图1 图2
【精讲精练参考答案】
1. 15 2.6 3. 4. 5. 6.(,0) 7.5 8.3 9. 10.5 11. ; 12.2
13.(1);(2)
14.
【作业参考答案】
1. 2. 3. 4.4 5.2 6.
7.(1);(2)当点P的坐标为(0,-10)时,|PA-PB|的最大值为;
8.(1);(2).
9.(1);(2);(3)