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- 2021-05-13 发布
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(2014•济宁,第22题11分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;
(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)首先求出对称点A′的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A′是否在抛物线上.本问关键在于求出A′的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A′的坐标;
(3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.
解答:
解:(1)∵y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,
∴,解得.∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣.
(2)如答图所示,过点A′作A′E⊥x轴于E,AA′与OC交于点D,
∵点C在直线y=2x上,∴C(5,10)
∵点A和A′关于直线y=2x对称,∴OC⊥AA′,A′D=AD.
∵OA=5,AC=10,
∴OC===.∵S△OAC=OC•AD=OA•AC,∴AD=.∴AA′=,
在Rt△A′EA和Rt△OAC中,∵∠A′AE+∠A′AC=90°,∠ACD+∠A′AC=90°,
∴∠A′AE=∠ACD.又∵∠A′EA=∠OAC=90°,
∴Rt△A′EA∽Rt△OAC.∴,即.
∴A′E=4,AE=8.∴OE=AE﹣OA=3.∴点A′的坐标为(﹣3,4),
当x=﹣3时,y=×(﹣3)2+3﹣=4.所以,点A′在该抛物线上.
(3)存在.理由:设直线CA′的解析式为y=kx+b,
则,解得 ∴直线CA′的解析式为y=x+…(9分)
设点P的坐标为(x,x2﹣x﹣),则点M为(x,x+).
∵PM∥AC,
∴要使四边形PACM是平行四边形,只需PM=AC.又点M在点P的上方,
∴(x+)﹣(x2﹣x﹣)=10.
解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去)
当x=2时,y=﹣.
∴当点P运动到(2,﹣)时,四边形PACM是平行四边形.
点评:
本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问的要点是求对称点A′的坐标,第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.
.(2014•贵州黔西南州, 第26题16分)如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.
第1题图
分析:
(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,则代入求得a,b,c,进而得解析式与顶点D.
(2)由P在AD上,则可求AD解析式表示P点.由S△APE=•PE•yP,所以S可表示,进而由函数最值性质易得S最值.
(3)由最值时,P为(﹣,3),则E与C重合.画示意图,P'过作P'M⊥y轴,设边长通过解直角三角形可求各边长度,进而得P'坐标.判断P′是否在该抛物线上,将xP'坐标代入解析式,判断是否为yP'即可.
解答:
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,
∴,解得 ,∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4, ∴抛物线顶点坐标D为(﹣1,4).
(2)∵A(﹣3,0),D(﹣1,4),
∴设AD为解析式为y=kx+b,有 ,解得 ,∴AD解析式:y=2x+6,
∵P在AD上,∴P(x,2x+6),
∴S△APE=•PE•yP=•(﹣x)•(2x+6)=﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1),
当x=﹣=﹣时,S取最大值.
(3)如图1,设P′F与y轴交于点N,过P′作P′M⊥y轴于点M,
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF,且P(﹣,3),
∴∠PFE=∠P′FE,PF=P′F=3,PE=P′E=,
∵PF∥y轴,∴∠PFE=∠FEN,
∵∠PFE=∠P′FE,∴∠FEN=∠P′FE,∴EN=FN,
设EN=m,则FN=m,P′N=3﹣m.
在Rt△P′EN中,∵(3﹣m)2+()2=m2,∴m=.
∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M,∴P′M=.
在Rt△EMP′中,∵EM==,∴OM=EO﹣EM=,
∴P′(,).
当x=时,y=﹣()2﹣2•+3=≠,
∴点P′不在该抛物线上.
点评:
本题考查了待定系数法求抛物线解析式,二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点,题目考点适中,考法新颖,适合学生练习巩固.
(2014•攀枝花,第24题12分)如图,抛物线y=ax2﹣8ax+12a(a>0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D的坐标为(﹣6,0),且∠ACD=90°.
(1)请直接写出A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小?若存在,求出点P的坐标及周长的最小值;若不存在,说明理由;
(4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动,到点A停止.设直线m与折线DCA的交点为G,与x轴的交点为H(t,0).记△ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围.
分析:
(1)令y=ax2﹣8ax+12a=0,解一元二次方程,求出点A、B的坐标;
(2)由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形,利用勾股定理,列出方程求出a的值,进而求出抛物线的解析式;
(3)△PAC的周长=AC+PA+PC,AC为定值,则当PA+PC取得最小值时,△PAC的周长最小.设点C关于对称轴的对称点为C′,连接AC′与对称轴交于点P,由轴对称的性质可知点P即为所求;
(4)直线m运动过程中,有两种情形,需要分类讨论并计算,避免漏解.
解答:
解:(1)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令y=0,即ax2﹣8ax+12a=0,解得x1=2,x2=6,∴A(2,0),B(6,0).
(2)抛物线的解析式为:y=ax2﹣8ax+12a(a>0),
令x=0,得y=12a,∴C(0,12a),OC=12a.
在Rt△COD中,由勾股定理得:CD2=OC2+OD2=(12a)2+62=144a2+36;
在Rt△COD中,由勾股定理得:AC2=OC2+OA2=(12a)2+22=144a2+4;
在Rt△COD中,由勾股定理得:DC2+AC2=AD2;
即:(144a2+36)+(144a2+4)=82,
解得:a=或a=﹣(舍去),
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x+.
(3)存在.对称轴为直线:x=﹣=4.
由(2)知C(0,),则点C关于对称轴x=4的对称点为C′(8,),
连接AC′,与对称轴交于点P,则点P为所求.此时△PAC周长最小,最小值为AC+AC
′.
设直线AC′的解析式为y=kx+b,则有:
,解得, ∴y=x﹣.
当x=4时,y=,∴P(4,).
过点C′作C′E⊥x轴于点E,则C′E=,AE=6,
在Rt△AC′E中,由勾股定理得:AC′==4;
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC==4.
∴AC+AC′=4+4.
∴存在满足条件的点P,点P坐标为(4,),△PAC周长的最小值为4+4.
(4)①当﹣6≤t≤0时,如答图4﹣1所示.
∵直线m平行于y轴,
∴,即,解得:GH=(6+t)
∴S=S△DGH=DH•GH=(6+t)•(6+t)=t2+2t+6;
②当0<t≤2时,如答图4﹣2所示.
∵直线m平行于y轴,
∴,即,解得:GH=﹣t+2.
∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+(GH+OC)•OH
=×6×2+(﹣t+2+2)•t
=﹣t2+2t+6.
∴S=.
点评:
本题是典型的二次函数压轴题,综合考查二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、相似、勾股定理等知识点,难度不大.第(3)考查最值问题,注意利用轴对称的性质;第(4)问是动线型问题,考查分类讨论的数学思想,注意图形面积的计算.
(2014•山东烟台,第26题12分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
分析:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.
(2)通过△AOC∽△CFB求得OC的值,通过△OCD∽△FCB得出DC=CB,∠OCD=∠FCB,然后得出结论.
(3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标,然后通过解三角函数求得结果.
解答:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,得=a×22﹣2a﹣a,解得a=,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣.
(2)连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,∴∠ACO=∠CBF,
∵∠AOC=∠CFB=90°,∴△AOC∽△CFB,∴=,
设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,解得m=m=1,∴OC=OF=1,
当x=0时y=﹣,∴OD=,∴BF=OD,
∵∠DOC=∠BFC=90°,∴△OCD∽△FCB,∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,
∴点B、C、D在同一直线上,
∴点B与点D关于直线AC对称,
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上.
(3)过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,
解得k=﹣,
∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣.
解得x=2或x=﹣2,
当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×(﹣2)+=,
∴点E的坐标为(﹣2,),∵tan∠EDG===,
∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===,∴∠OAC=30°,
∴∠OAC=∠EDG,∴ED∥AC.
点评:本题考查了待定系数法求解析式,三角形相似的判定及性质,以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握.
(2014年湖北咸宁23.(10分))如图1,P(m,n)是抛物线y=﹣1上任意一点,l是过点(0,﹣2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H.
【探究】
(1)填空:当m=0时,OP= 1 ,PH= 1 ;当m=4时,OP= 5 ,PH= 5 ;
【证明】
(2)对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.
【应用】
(3)如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线y=﹣1上滑动,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.
分析: (1)m记为P点的横坐标.m=0时,直接代入x=0,得P(0,﹣1),则OP,PH长易知.当m=4时,直接代入x=4,得P(4,3),OP可有勾股定理求得,PH=yP﹣(﹣2).
(2)猜想OP=PH.证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点,一般可设(m,﹣1).类似(1)利用勾股定理和PH=yP﹣(﹣2)可求出OP与PH,比较即得结论.
(3)考虑(2)结论,即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离.要求A、B两点到l距离的和,即A、B两点到原点的和,若AB不过点O,则OA+OB>AB=6,若AB过点O,则OA+OB=AB=6,所以OA+OB≥6,即A、B两点到l距离的和≥6,进而最小值即为6.
解答: (1)解:OP=1,PH=1;OP=5,PH=5.
如图1,记PH与x轴交点为Q,
当m=0时,P(0,﹣1).此时OP=1,PH=1.
当m=4时,P(4,3).此时PQ=3,OQ=4,
∴OP==5,PH=yP﹣(﹣2)=3﹣(﹣2)=5.
(2)猜想:OP=PH.
证明:过点P作PQ⊥x轴于Q,
∵P在二次函数y=﹣1上,
∴设P(m,﹣1),则PQ=|﹣1|,OQ=|m|,
∵△OPQ为直角三角形,
∴OP=====,
PH=yP﹣(﹣2)=(﹣1)﹣(﹣2)=,
∴OP=PH.
(3)解:如图2,连接OA,OB,过点A作AC⊥l于C,过点B作BD⊥l于D,此时AC即为A点到l的距离,BD即为B点到l的距离.
则有OB=BD,OA=AC,
在△AOB中,∵OB+OA>AB,∴BD+AC>AB.
当AB过O点时,∵OB+OA=AB,∴BD+AC=AB.综上所述,BD+AC≥AB,
∵AB=6,
∴BD+AC≥6,即A,B两点到直线l的距离之和的最小值为6.
点评: 本题考查了学生对函数与其图象的理解,另外涉及一些点到直线距离,利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点,总体来说难度不高,但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣,非常值得学生练习.
( 2014年河南) (23. 11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE =5EF,求m的值;
(3)若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P,使点E/落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由。
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点,
∴ ∴
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.………3分
(2)点P横坐标为m,
则P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(m,0),
∵点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧,∴ 0<m<5.
PE=-m2+4m+5-(-m+3)= -m2+m+2……4分
分两种情况讨论:
①当点E在点F上方时,EF=-m+3.
∵PE=5EF,∴-m2+m+2=5(-m+3)
即2m2-17m+26=0,解得m1=2,m2=(舍去)……………6分
②当点E在点F下方时,EF=m-3.
∵PE=5EF,∴-m2+m+2=5(m-3),
即m2-m-17=0,解得m3=,m4=(舍去),
∴m的值为2或……………………………………………8分
(3),点P的坐标为P1(-,),P2(4,5), P3(3-,2-3).………11分
【提示】∵E和E/关于直线PC对称,∴∠E/CP=∠ECP;
又∵PE∥y轴,∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC,
又∵CE=CE/,∴.四边形PECE/为菱形.
过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD,∴CE=.
∵PE=CE,∴-m2+m+2=m或-m2+m+2=-m,
解得m1=-,m2=4, m3=3-,m4=3+(舍去)
可求得点P的坐标为P1(-,),P2(4,5), P3(3-,2-3)。
(2014•广州,第24题14分)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线()过点A、B,顶点为C.点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式与顶点C的坐标.
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
(3)若,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t()个单位,点P、C移动后对应的点分别记为、,是否存在t,使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短?若存在,求t值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;
(2)存在性问题,相似三角形;
(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短
【答案】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:
抛物线解析式为
顶点横坐标,将代入抛物线得
(2)如图,当时,设,
则
过作直线轴,
(注意用整体代入法)
解得,
当在之间时,
或时,为钝角.
(3)依题意,且
设移动(向右,向左)
连接则
又的长度不变四边形周长最小,只需最小即可
将沿轴向右平移5各单位到处 沿轴对称为
∴当且仅当、B、三点共线时,最小,且最小为,此时
,设过的直线为,代入
∴ 即
将代入,得:,解得:
∴当,P、C向左移动单位时,此时四边形ABP’C’周长最小。
(2014•四川泸州,第25题,12分)如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣,0).
(1)求二次函数的最大值;
(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程=0的根,求a的值;
(3)若点F、G在图象C′上,长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标.
考点:
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分析:
(1)首先利用待定系数法求出二次函数解析式,然后求出其最大值;
(2)联立y1与y2得,求出点C的坐标为C(,),因此使y2>y1成立的x的取值范围为0<x<,得s=1+2+3=6;将s的值代入分式方程,求出a的值;
(3)第1步:首先确定何时四边形DEFG的面积最大.
如答图1,四边形DEFG是一个梯形,将其面积用含有未知数的代数式表示出来,这个代数式是一个二次函数,根据其最值求出未知数的值,进而得到面积最大时点D、E的坐标;
第2步:利用几何性质确定PD+PE最小的条件,并求出点P的坐标.
如答图2,作点D关于x轴的对称点D′,连接D′E,与x轴交于点P.根据轴对称及两点之间线段最短可知,此时PD+PE最小.利用待定系数法求出直线D′E的解析式,进而求出点P的坐标.
解答:
解:(1)∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B(0,1)与A(2﹣,0),
∴,
解得
∴l:y1=x+1;
C′:y2=﹣x2+4x+1.
y2=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
∴ymax=5;
(2)联立y1与y2得:x+1=﹣x2+4x+1,解得x=0或x=,
当x=时,y1=×+1=,
∴C(,).
使y2>y1成立的x的取值范围为0<x<,
∴s=1+2+3=6.
代入方程得
解得a=;
(3)∵点D、E在直线l:y1=x+1上,
∴设D(p,p+1),E(q,q+1),其中q>p>0.
如答图1,过点E作EH⊥DG于点H,则EH=q﹣p,DH=(q﹣p).
在Rt△DEH中,由勾股定理得:DE2+DH2=DE2,即(q﹣p)2+[(q﹣p)]2=()2,
解得q﹣p=2,即q=p+2.
∴EH=2,E(p+2,p+2).
当x=p时,y2=﹣p2+4p+1,
∴G(p,﹣p2+4p+1),
∴DG=(﹣p2+4p+1)﹣(p+1)=﹣p2+p;
当x=p+2时,y2=﹣(p+2)2+4(p+2)+1=﹣p2+5,
∴F(p+2,﹣p2+5)
∴EF=(﹣p2+5)﹣(p+2)=﹣p2﹣p+3.
S四边形DEFG=(DG+EF)•EH=[(﹣p2+p)+(﹣p2﹣p+3)]×2=﹣2p2+3p+3
∴当p=时,四边形DEFG的面积取得最大值,
∴D(,)、E(,).
如答图2所示,过点D关于x轴的对称点D′,则D′(,﹣);
连接D′E,交x轴于点P,PD+PE=PD′+PE=D′E,
由两点之间线段最短可知,此时PD+PE最小.
设直线D′E的解析式为:y=kx+b,
则有,
解得
∴直线D′E的解析式为:y=x﹣.
令y=0,得x=,
∴P(,0).
(2014•海南,第24题14分)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过A(﹣1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当a=1时,求四边形MEFP的面积的最大值,并求此时点P的坐标;
(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,求a为何值时,四边形PMEF周长最小?请说明理由.
分析:
(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)首先求出四边形MEFP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标;
(3)四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.如答图3所示,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,﹣1);连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
解答:
解:(1)∵对称轴为直线x=2,
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+k.
将A(﹣1,0),C(0,5)代入得:
,解得,
∴y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5.
(2)当a=1时,E(1,0),F(2,0),OE=1,OF=2.
设P(x,﹣x2+4x+5),
如答图2,过点P作PN⊥y轴于点N,则PN=x,ON=﹣x2+4x+5,
∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4.
S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME
=(PN+OF)•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
=(x+2)(﹣x2+4x+5)﹣x•(﹣x2+4x+4)﹣×1×1
=﹣x2+x+
=﹣(x﹣)2+
∴当x=时,四边形MEFP的面积有最大值为,此时点P坐标为(,).
(3)∵M(0,1),C(0,5),△PCM是以点P为顶点的等腰三角形,
∴点P的纵坐标为3.
令y=﹣x2+4x+5=3,解得x=2±.
∵点P在第一象限,∴P(2+,3).
四边形PMEF的四条边中,PM、EF长度固定,因此只要ME+PF最小,则PMEF的周长将取得最小值.
如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度),得M1(1,1);
作点M1关于x轴的对称点M2,则M2(1,﹣1);
连接PM2,与x轴交于F点,此时ME+PF=PM2最小.
设直线PM2的解析式为y=mx+n,将P(2+,3),M2(1,﹣1)代入得:
,解得:m=,n=﹣,
∴y=x﹣.
当y=0时,解得x=.∴F(,0).
∵a+1=,∴a=.
∴a=时,四边形PMEF周长最小.
点评:
本题是二次函数综合题,第(1)问考查了待定系数法;第(2)问考查了图形面积计算以及二次函数的最值;第(3)问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质.试题计算量偏大,注意认真计算.
(2013湖南张家界,25,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
解答:
解:(1)∵C(0,1),OD=OC,∴D点坐标为(1,0).
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),
将C(0,1),D(1,0)代入得:,解得:b=1,k=﹣1,∴直线CD的解析式为:y=﹣x+1.
(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+3,
将C(0,1)代入得:1=a×(﹣2)2+3,解得a=.∴y=(x﹣2)2+3=x2+2x+1.
(3)证明:由题意可知,∠ECD=45°,
∵OC=OD,且OC⊥OD,∴△OCD为等腰直角三角形,∠ODC=45°,
∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥x轴,则点C、E关于对称轴(直线x=2)对称,∴点E的坐标为(4,1).
如答图①所示,设对称轴(直线x=2)与CE交于点F,则F(2,1),
∴ME=CM=QM=2,∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形,∴∠QEC=∠QCE=45°.
又∵△OCD为等腰直角三角形,∴∠ODC=∠OCD=45°,
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°,∴△CEQ∽△CDO.
(4)存在.
如答图②所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.
(证明如下:不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′,在线段QE上取异于点P的任一点P′,连接F′C″,F′P′,P′C′.
由轴对称的性质可知,△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′;
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′,C″之间的折线段,由两点之间线段最短可知:F′C″+F′P′+P′C′>C′C″,即△P′CF′的周长大于△PCE的周长.)
如答图③所示,连接C′E,
∵C,C′关于直线QE对称,△QCE为等腰直角三角形,
∴△QC′E为等腰直角三角形,∴△CEC′为等腰直角三角形,∴点C′的坐标为(4,5);
∵C,C″关于x轴对称,∴点C″的坐标为(﹣1,0).
过点C′作C′N⊥y轴于点N,则NC′=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″===.
综上所述,在P点和F点移动过程中,△PCF的周长存在最小值,最小值为.