中考数学压轴题专题六方案设计题 15页

中考数学压轴题专题六 方案设计题 试题特点 方案设计型问题是近年中考数学试卷中的热点和亮点，此类问题要求综合运用已有的知识和经验，经过自主探索以及解决问题方案的设计和选择，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，通过对此类问题的解答能感受“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的基本过程，体会数学知识与现实生活之间的联系，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，产生丰富多彩的研究体验和个性化创造性的表现．因此，此类问题是考查创新意识的重要载体．由于方案设计型问题常常可以设计多种方案，并要进行方案的比较和选择，方案设计型问题能有效考查分类、优化等数学思想方法．‎ 方式趋势 方案设计型问题的命题将更加贴近考生的生活实际，关注数学应用的社会价值，加强对应用意识的考查．涉及的知识还将以方程、函数、不等式、解三角形、统计与概率等为主，以这些知识为载体，突出考查分析问题和解决问题的能力，以及从实际生活中抽象出数学模型的能力，并在其中渗透分类思想和优化思想，以形成学数学、用数学、做数学的良好意识．‎ 热点解析 一、不等式（组）型 ‎【题1】为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台，根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元，其中，收割机的进价和售价见表1：‎ 设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．‎ ‎(1)试写出y与x的函数关系式．‎ ‎(2)该市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？‎ ‎(3)选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？‎ ‎ 【思路】“一次性购进A、B两种型号的收割机共30台”蕴含等量关系，“全部销售后利润不少于15万元”和“资金130万元”蕴含不等关系．利用已知条件，把等量关系或不等关系表示出来．‎ ‎【解答】 (1)y＝(6－5.3)x＋(4－3.6)(30－x)＝0.3x＋12．‎ ‎(2)依题意，有，即，∴10≤x≤12．‎ ‎ ∵x为整数，∴x＝10，11，12．‎ ‎ 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：‎ ‎ 方案1：购A型收割机10台，购B型收割机20台；‎ ‎ 方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台；‎ ‎ 方案3：购A型收割机12台，购B型收割机18台．‎ ‎ (3)∵0.3>0，∴一次函数y随x的增大而增大．‎ ‎ 即当x＝12时，y有最大值，y最大＝0.3×12＋12＝15.6（万元）．‎ ‎ 此时，W＝6×13%×12＋4×13%×18＝18.72（万元）．‎ ‎ 【失分点】 根据“资金130万元”和“不少于15万元”可列，‎ 而不是．‎ ‎ 【反思】以不等式（组）为载体的方案设计型试题在中考数学试卷中最为常见，由于建立的不等式（组）模型的解不唯一，就产生多种解决问题的方案，往往需要从中选择最优方案．‎ ‎ 【牛刀小试】1．（2011山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．‎ ‎ (1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．‎ ‎(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？‎ ‎ （2011重庆江津）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为‎628米，矩形的边长AB＝y米，BC＝x米．(注：取π＝3.14)‎ ‎ (1)试用含x的代数式表示y．‎ ‎ (2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元．‎ ‎ ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式．‎ ‎ ②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？‎ ‎ ③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐 资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之 二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任 务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．‎ 二、方程（组）型 ‎ 【题2] ‎2010年1月1日，全球第三大自贸区——中国一东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易区开始步人“零关税”时代．广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地，先用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖，已知这两种货车的载重量分别为15吨／辆和10吨／辆，运往A地的运费为：大车630元／辆，小车420元／辆；运往B地的运费为：大车750元／辆，小车550元／辆．‎ ‎ (1)求两种货车各用多少辆；‎ ‎ (2)如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的白砂糖不少于115吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．‎ ‎ 【思路】 已知运货的总量、大小车辆总数和运送能力、费用，“大、小两种货车共20辆”、“240吨白砂糖”蕴含等量关系．把总运费用函数表示可求出最少总运费．‎ ‎【解答】(1)设大车用x辆，小车用y辆．依据题意，得 ‎，解得 ‎∴大车用8辆，小车用12辆．‎ ‎ (2)设总运费为W元，调往A地的大车为a辆，小车为(10－a)辆，则调往B地的大车为(8－a)辆，小车（a＋2）辆．根据题意，有 ‎ W＝‎630a＋420(10－a)＋750(8－a)＋550(a＋2)，‎ ‎ 　即W＝‎10a＋11300（0≤a≤8，a为整数）．‎ ‎ 　∵‎15a＋10(10－a)≥115，∴a≥3．‎ ‎ 　 又∵W随a的增大而增大，∴当a＝3时，W最小．‎ ‎ 　 当a＝3时，W＝10×3＋11300＝11330（元）．‎ ‎ 　 因此，应安排3辆大车和7辆小车前往A地；安排5辆大车和5辆小车前往B地．最少运费为11 330元，‎ ‎ 【失分点】a的取值范围确定错误．“的最小值不是0，而应由‎15a＋10（10 －a）≥115，得到a≥3，因此，a应取3，运费最少．‎ ‎ 【反思】(1)还可这样解：‎ ‎ 设大车用x辆，小车用(20－x)辆．依据题意，得15x＋10(20－x)＝240．‎ ‎ 解得x＝8．‎ ‎ ∴20－x＝20－8＝12(辆)．‎ ‎ ∴大车用8辆，小车用12辆．‎ ‎ 【题3】在车站开始检票时，有a(a>0)名旅客在侯车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕，如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？‎ ‎ 【思路】此题已知的常量只有三个时间，未知的量却有四个：字母a；每分钟新增加的旅客的人数x；检票口每分钟检票的人数y；所要求开放的检票口n．题中含有的相等关系或不等关系有：开放一个检票口时，存在等量关系a＋30x＝30y；开放两个检票口时，存在等量关系a＋10x＝2·10y；5分钟检票完毕时，存在不等关系a＋5x≤n·5y．先由两个相等关系式求出x，y，再利用不等关系式求出n的范围，根据a>0，n为正整数来确定n的值．‎ ‎ 【解答】设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口．‎ 根据题意，得 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎②×3－①，得‎2a＝30y，得．‎ 把④代入①，得x＝．‎ 把④、⑤代入③，得，∵a>0，∴n≥．‎ ‎ n取最小的整数，∴n＝4．‎ ‎ 答：至少需要同时开放4个检票口．‎ ‎ 【失分点】由“要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕”，可列不等式a＋5x≤n·5y，而不是方程a＋5x＝n·5y．‎ ‎ 【反思】解决这道中考题的关键是：架桥——引入参数“x、y”，设“x、y”目的是架桥；让“x、y”参加运算，目的是过河；消“x、y”目的是拆桥，求出结果．解法巧妙之处在于利用“x、y”这个参数，巧设巧消妙搭桥．这种“过河拆桥”——设而不求的思维方法，也是解决应用题的一种重要策略．‎ ‎ 【牛刀小试】3．（2010江苏盐城）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一，根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：‎ ‎ (1)降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元，那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？‎ ‎(2)降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装，近期该医院准备从经销商处购进甲、乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？‎ ‎4．（2011四川凉山州）我州盛产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．‎ ‎(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式．‎ ‎(2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．‎ ‎(3)为节约运费，应采用(2)中哪种方案？并求出最少运费．‎ 三、函数型 ‎ 在方案设计型问题中，以函数为载体的试题通过对函数之间关系的研究，选择恰当的解决方案，突出了对分类思想的运用和考查，‎ ‎ 【题4】春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客 往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票 时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票 厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，‎ 每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队 等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图2‎ 所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．‎ ‎ (1)求a的值．‎ ‎ (2)求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数．‎ ‎ (3)若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？‎ ‎ 【思路】(1)由点B坐标可知，当x＝a时，y＝320，列关于a的方程求解．‎ ‎ (2)求出a后，直线AB和BC的关系式可求，可以知道x＝60时，符合AB段还是BC段，把x＝60代入函数关系式即可求出y．‎ ‎ (3)根据“售票数≥初始待购票人数＋购票人数”列不等式．‎ ‎ 【解答】(1)由图象知，400＋‎4a－2×‎3a＝320，所以a＝40(分钟)．‎ ‎(2)设BC的解析式为y＝kx＋b，则把(40，320)和(104，0)代入，得，解得，因此y＝－5x＋520．当x＝60时，y＝220．‎ ‎ 即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人．‎ ‎ (3)设同时开放m个窗口，则由题知‎3m×30≥400＋4×30，解得m≥．因为m为整数，所以m＝6，即至少需要同时开放6个售票窗口．‎ ‎ 【失分点】根据“要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票”可列不等式‎3m×30≥400＋4×30，而不是方程‎3m×30＝400＋4×30．‎ ‎ 【反思】根据已知条件，找出等量关系或者不等关系以及函数关系，再数形结合解决问题．‎ ‎ 【题5】(2011江苏无锡)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)．‎ ‎ (1)求y与x之间的函数关系式；‎ ‎ (2)已知老王种植水果的成本是2 800元／吨，那么张经理的 采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利 润是多少？‎ ‎ 【思路】(1)由图象知00，‎ ‎ ∴最大值为5200×20＝104000；‎ ‎ w＝－200x2＋9200x(20