高考数学理科模拟试卷三本试卷分第Ⅰ卷和 17页

‎2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)‎ ‎(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)‎ 第Ⅰ卷(选择题　满分60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)‎ A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)‎ ‎2．[2016·西安市八校联考]设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－＝(　　)‎ A．i B．2－i C．1－i D．0‎ ‎3．[2017·福建质检]已知sin＝，则cosx＋cos－x的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎4．[2016·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)‎ A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 ‎6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2，b＝，c＝sinxdx，则实数a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a ‎7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于(　　)‎ A．17‎ B．16‎ C．15‎ D．13‎ ‎8．[2017·湖北武汉调研]已知x，y满足如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数m的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D．(－∞，0]‎ ‎9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是(　　)‎ A．110 B．116 C．118 D．120‎ ‎10．[2017·山西太原质检]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ ‎11．[2017·河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若＝(＋)，2＝2，且2·＝a2＋b2，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2 ‎12．[2017·山西联考]已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题　满分90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．[2017·济宁检测]已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为________．‎ ‎14．[2017·惠州一调]已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，n∈N*，则b2017＝________.‎ ‎15．[2017·河北正定统考]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．‎ ‎16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f(x)＝x＋sin2x.给出以下四个命题：‎ ‎①∀x>0，不等式f(x)<2x恒成立；‎ ‎②∃k∈R，使方程f(x)＝k有四个不相等的实数根；‎ ‎③函数f(x)的图象存在无数个对称中心；‎ ‎④若数列{an}为等差数列，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a2＝π.‎ 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC，b＝1.‎ ‎(1)若A＝90°，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求a，c.‎ ‎18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排(单位：周)‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．‎ ‎19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．‎ ‎(1)证明DF⊥AE；‎ ‎(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1,0)、F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，且满足·＝？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，g(x)＝(x＋1)ln (x＋1)－x＋(a－1)x2＋x3(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若当x≥0时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，M(－2,0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ)为曲线C上一点，B，|BM|＝1.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求|OA|2＋|MA|2的取值范围．‎ ‎23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T.‎ ‎(1)求集合T；‎ ‎(2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．‎ 参考答案(三)‎ 第Ⅰ卷(选择题　满分60分)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　　)‎ A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)‎ 答案　D 解析　集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．‎ ‎2．[2016·西安市八校联考]设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－＝(　　)‎ A．i B．2－i C．1－i D．0‎ 答案　D 解析　因为－＝－1＋i＝－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D.‎ ‎3．[2017·福建质检]已知sin＝，则cosx＋cos－x的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　因为sin＝sinx＋cosx＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝，故选B.‎ ‎4．[2016·天津高考]设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件，选C.‎ ‎5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)‎ A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案　D 解析　由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D错误．‎ ‎6．[2017·江西南昌统考]已知a＝2，b＝，c＝sinxdx，则实数a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案　C 解析　因为a＝2＝＝，b＝ ＝3－＝＝，所以a>b，排除B、D；c＝sinxdx＝－cosx＝－(cosπ－cos0)＝＝，所以b>c，所以a>b>c，选C.‎ ‎7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于(　　)‎ A．17‎ B．16‎ C．15‎ D．13‎ 答案　A 解析　当n>10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n＝17，故选A.‎ ‎8．[2017·湖北武汉调研]已知x，y满足如果目标函数z＝的取值范围为[0,2)，则实数m的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D．(－∞，0]‎ 答案　C 解析　由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z＝的几何意义为可行域内的点(x，y)与A(m，－1)连线的斜率，由 得即B(2，－1)．由题意知m＝2不符合题意，故点A与点B不重合，因而当连接AB时，斜率取到最小值0.由y＝－1与2x－y－2＝0，得交点C，在点A由点C向左移动的过程中，可行域内的点与点A连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z∈[0,2)，则m<，故选C.‎ ‎9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是(　　)‎ A．110 B．116 C．118 D．120‎ 答案　D 解析　如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，Q，N，连接PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.故选D.‎ ‎10．[2017·山西太原质检]设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析　利用平面向量的线性运算法则求解.＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，故选A.‎ ‎11．[2017·河南郑州检测]已知点F2、P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若＝(＋)，2＝2，且2·＝a2＋b2，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2 答案　A 解析　设双曲线的左焦点为F1，依题意知，|PF2|＝2c，因为＝(＋)，所以点M为线段PF2的中点．因为2·＝a2＋b2，所以·＝，所以c·c·cos∠PF2x＝c2，所以cos∠PF2x＝，所以∠PF2x＝60°，所以∠PF2F1＝120°，从而|PF1|＝2c，根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，所以2c－2c＝2a，所以e＝＝＝，故选A.‎ ‎12．[2017·山西联考]已知函数f(x)＝(3x＋1)ex＋1＋mx(m≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由f(x)≤0，得(3x＋1)·ex＋1＋mx≤0，即mx≤－(3x＋1)ex＋1，设g(x)＝mx，h(x)＝－(3x＋1)ex＋1，则h′(x)＝－[3ex＋1＋(3x＋1)ex＋1]＝－(3x＋4)ex＋1，由h′(x)>0，得－(3x＋4)>0，即x<－，由h′(x)<0，‎ 得－(3x＋4)<0，即x>－，故当x＝－时，函数h(x)取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y＝h(x)，y＝g(x)的大致图象如图所示，当m≥0时，满足g(x)≤h(x)的整数解超过两个，不满足条件；当m<0 时，要使g(x)≤h(x)的整数解只有两个，则需满足即 即即－≤m<－，即实数m的取值范围是－，－，故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　满分90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．[2017·济宁检测]已知(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋…＋a11的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　令x＝1，可得2×(－1)＝a0，即a0＝－2；‎ 令x＝2，可得(22＋1)×0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，‎ 即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝0，‎ 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.‎ ‎14．[2017·惠州一调]已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，n∈N*，则b2017＝________.‎ 答案　 解析　∵an＋bn＝1，a1＝，∴b1＝，∵bn＋1＝，∴bn＋1＝＝，∴－＝－1，又b1＝，∴＝－2，∴数列是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－n－1，∴bn＝.故b2017＝.‎ ‎15．[2017·河北正定统考]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶3，则实数a的值为________．‎ 答案　 解析　依题意得焦点F的坐标为，设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|∶|MN|＝1∶3，所以|KN|∶|KM|＝2∶1，又kFN＝＝，kFN＝－＝－2，所以＝2，解得a＝.‎ ‎16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f(x)＝x＋sin2x.给出以下四个命题：‎ ‎①∀x>0，不等式f(x)<2x恒成立；‎ ‎②∃k∈R，使方程f(x)＝k有四个不相等的实数根；‎ ‎③函数f(x)的图象存在无数个对称中心；‎ ‎④若数列{an}为等差数列，f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a2＝π.‎ 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号)‎ 答案　③④‎ 解析　f′(x)＝1＋2cos2x，则f′(x)＝0有无数个解，再结合f(x)是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f(x)的大致图象为：‎ ‎(1)令g(x)＝2x－f(x)＝x－sin2x，则g′(x)＝1－2cos2x，令g′(x)＝0，则x＝＋kπ(k∈Z)，则g＝－<0，即存在x＝>0使得f(x)>2x，故①错误；‎ ‎(2)由图象知不存在y＝k的直线和f(x)的图象有四个不同的交点，故②错误；‎ ‎(3)f(a＋x)＋f(a－x)＝2a＋2sin2acos2x，令sin2a＝0，则a＝(k∈Z)，即(a，a)，其中a＝(k∈Z)均是函数的对称中心，故③正确；‎ ‎(4)f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＝3π，则a1＋a2＋a3＋sin2a1＋sin2a2＋sin2a3＝3π，‎ 即3a2＋sin(2a2－2d)＋sin2a2＋sin(2a2＋2d)＝3π，‎ ‎∴3a2＋sin2a2＋2sin2a2cos2d＝3π，‎ ‎∴3a2＋sin2a2(1＋2cos2d)＝3π，‎ ‎∴sin2a2＝－a2，‎ 则问题转化为f(x)＝sin2x与g(x)＝－x的交点个数．‎ 如果直线g(x)要与f(x)有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在，而直线的斜率－的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故a2＝π，④正确．‎ 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC，b＝1.‎ ‎(1)若A＝90°，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若△ABC的面积为，求a，c.‎ 解　(1)a＋＝4cosC＝4×＝，‎ ‎∵b＝1，∴2c2＝a2＋1.(2分)‎ 又∵A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，‎ ‎∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝，a＝，(4分)‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA＝bc＝×1×＝.(6分)‎ ‎(2)∵S△ABC＝absinC＝asinC＝，则sinC＝.‎ ‎∵a＋＝4cosC，sinC＝，‎ ‎∴2＋2＝1，化简得(a2－7)2＝0，‎ ‎∴a＝，从而cosC＝＝，‎ ‎∴c＝＝＝2.(12分)‎ ‎18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排(单位：周)‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望．‎ 解　(1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1＝＝；(2分)‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2＝＝.(4分)‎ ‎(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C＝10(种)，(5分)‎ 其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，‎ 由古典概型概率计算公式得P(A)＝＝.(7分)‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.‎ P(ξ＝29)＝＝0.1，P(ξ＝30)＝＝0.1，P(ξ＝31)＝＝0.2，P(ξ＝32)＝＝0.2，P(ξ＝33)＝‎ ＝0.2，P(ξ＝34)＝＝0.1，P(ξ＝35)＝＝0.1，‎ 因而ξ的分布列为 ξ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ P ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎(10分)‎ 所以E(ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)‎ ‎19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．‎ ‎(1)证明DF⊥AE；‎ ‎(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)证明：因为AE⊥A1B1，A1B1∥AB，所以AE⊥AB.‎ 因为AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，所以AB⊥平面A1ACC1.‎ 因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC.以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则有A(0,0,0)，E，F，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)．(4分)‎ 设D(x1，y1，z1)，＝λ且λ∈[0,1]，即(x1，y1，z1－1)＝λ(1,0,0)，则D(λ，0,1)，所以＝.‎ 因为＝，所以·＝－＝0，所以DF⊥AE.(6分)‎ ‎(2)假设存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.‎ 由题意可知平面ABC的一个法向量为＝(0,0,1)．(8分)‎ 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则 因为＝，＝，‎ 所以即 令z＝2(1－λ)，则n＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF的一个法向量．(10分)‎ 因为平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，所以|cos〈，n〉|＝＝，‎ 即＝，解得λ＝或λ＝(舍去)，所以当D为A1B1的中点时满足要求．‎ 故存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，此时D为A1B1的中点．(12分)‎ ‎20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C的焦点坐标是F1(－1,0)、F2(1,0)，过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点，且|BD|＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，且满足·＝？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)设椭圆的方程是＋＝1(a>b>0)，则c＝1，‎ ‎∵|BD|＝3，∴＝3，‎ 又a2－b2＝1，∴a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.(4分)‎ ‎(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k(x－2)＋1，‎ 由得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，‎ 因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点M、N，设M(x1，y1)、N(x2，y2)，‎ 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)>0，所以k>－.‎ 又x1＋x2＝，x1x2＝，(8分)‎ 因为·＝(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，‎ 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝，‎ 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝，‎ 所以(1＋k2)＝＝.‎ 解得k＝±，因为k>－，所以k＝.‎ 故存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.(12分)‎ ‎21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，g(x)＝(x＋1)ln (x＋1)－x＋(a－1)x2＋x3(a∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若当x≥0时，g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋x2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)‎ 则f′(x)＝>0，所以f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)‎ ‎(2)由(1)知，当x≥0时，有f(x)≥f(0)＝0，‎ 即ln (x＋1)≥x－x2.‎ g′(x)＝ln (x＋1)＋2(a－1)x＋x2≥＋2(a－1)x＋x2＝(2a－1)x.(6分)‎ ‎①当2a－1≥0，即a≥时，且x≥0时，g′(x)≥0，‎ 所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，且g(0)＝0，‎ 所以当x≥0时，g(x)≥0，所以a≥符合题意．(8分)‎ ‎②当a<时，令g′(x)＝ln (x＋1)＋2(a－1)x＋x2＝φ(x)，φ′(x)＝＋2(a－1)＋x＝，(9分)‎ 令x2＋(2a－1)x＋2a－1＝0，则其判别式 Δ＝(2a－1)(2a－5)>0，‎ 两根x1＝<0，‎ x2＝>0，‎ 当x∈(0，x2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)在(0，x2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x∈(0，x2)时，g′(x)1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．‎ 解　(1)||x－1|－|x－2||≤|x－1－(x－2)|＝1，‎ 所以|x－1|－|x－2|≤1，所以t的取值范围为(－∞，1]，‎ 即T＝{t|t≤1}(5分)‎ ‎(2)由(1)知，对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，只需log3m·log3n≥tmax，所以log3m·log3n≥1，‎ 又因为m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，‎ 又1≤log3m·log3n≤2＝(log3m＝log3n时取等号，此时m＝n)，(8分)‎ 所以(log3mn)2≥4，所以log3mn≥2，mn≥9，‎ 所以m＋n≥2≥6，即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．(10分)‎