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  • 2021-05-13 发布

河南省南阳信阳等六市高考数学一模试卷理科

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‎2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)已知集合,C=A∩B,则C的子集的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎2.(5分)复数z满足(1﹣i)=|1+i|,则复数z的实部与虚部之和为(  )‎ A. B.﹣ C.1 D.0‎ ‎3.(5分)设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(  )‎ A.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β C.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β ‎4.(5分)给出下列四个结论:‎ ‎①已知X服从正态分布N(0,σ2),且P(﹣2≤X≤2)=0.6,则P(X>2)=0.2;‎ ‎②若命题,则¬p:∀x∈(﹣∞,1),x2﹣x﹣1≥0;‎ ‎③已知直线l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是.‎ 其中正确的结论的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎5.(5分)在△ABC中,,则tanC的值是(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎6.(5分)如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),若输入的m,n分别为495,135,则输出的m=(  )‎ A.0 B.5 C.45 D.90‎ ‎7.(5分)已知z=2x+y,其中实数x,y满足,且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎8.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x﹣)=f(x+)恒成立,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈(﹣2,0)时,函数f(x)的解析式为(  )‎ A.|x﹣2| B.|x+4| C.3﹣|x+1| D.2+|x+1|‎ ‎9.(5分)将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]‎ ‎10.(5分)已知F2、F1是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2‎ 关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(  )‎ A.3 B. C.2 D.‎ ‎11.(5分)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(  )‎ A.π B.3π C.4π D.6π ‎12.(5分)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:‎ ‎①对于任意一个圆O,其“优美函数“有无数个”;‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”;‎ ‎③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;‎ ‎④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量,若,则=  .‎ ‎14.(5分)(2x2+x﹣1)5的展开式中,x3的系数为  .‎ ‎15.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为  .‎ ‎16.(5分)椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题必作题5小题,共60分;选作题2小题,考生任作一题,共10分.)‎ ‎17.(12分)观察下列三角形数表:‎ 假设第n行的第二个数为,‎ ‎(1)归纳出an+1与an的关系式,并求出an的通项公式;‎ ‎(2)设anbn=1(n≥2),求证:b2+b3+…+bn<2.‎ ‎18.(12分)如图所示的几何体中,ABC﹣A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.‎ ‎(1)若AA1=AC,求证:AC1⊥平面A1B1CD;‎ ‎(2)若CD=2,AA1=λAC,二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为,求三棱锥C1﹣A1CD的体积.‎ ‎19.(12分)为了对2016年某校中考成绩进行分析,在60分以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.‎ ‎(1)若规定85分以上为优秀,求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率;‎ ‎(2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 化学分数z ‎67‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;‎ ‎②求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),当某同学的数学成绩为50分时,估计其物理、化学两科的得分.‎ 参考公式:相关系数,‎ 回归直线方程是:,其中,‎ 参考数据:,,,.‎ ‎20.(12分)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;‎ ‎(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(a﹣bx3)ex﹣,且函数f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线x﹣(2e+1)y﹣3=0垂直.‎ ‎(Ⅰ)求a,b;‎ ‎(Ⅱ)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设f(x)=|x﹣1|+|x+1|.‎ ‎(1)求f(x)≤x+2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,求实数x的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)(2017•信阳一模)已知集合,C=A∩B,则C的子集的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎【分析】先利用交集定义求出集合C,由此能求出C的子集的个数.‎ ‎【解答】解:∵集合,‎ ‎∴C=A∩B={(x,y)|}={(,)},‎ ‎∴C的子集的个数是:21=2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查交集的子集个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2017•信阳一模)复数z满足(1﹣i)=|1+i|,则复数z的实部与虚部之和为(  )‎ A. B.﹣ C.1 D.0‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出.‎ ‎【解答】解:∵(1﹣i)=|1+i|,∴(1﹣i)(1+i)=(1+i),∴=+i 则复数z的实部与虚部之和=+=.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2017•信阳一模)设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(  )‎ A.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β C.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β ‎【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:若m∥α,n∥β,m⊥n,则α、β位置关系不确定,故不正确;‎ 若m∥α,则α中存在直线c与m平行,m∥n,n⊥β,则c⊥β,∵c⊂α,∴α⊥β,不正确;‎ 若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α、β可以相交,不正确;‎ 若m⊥α,m∥n,则n⊥α,n⊥β,∴α∥β,正确,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查面面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2017•信阳一模)给出下列四个结论:‎ ‎①已知X服从正态分布N(0,σ2),且P(﹣2≤X≤2)=0.6,则P(X>2)=0.2;‎ ‎②若命题,则¬p:∀x∈(﹣∞,1),x2﹣x﹣1≥0;‎ ‎③已知直线l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是.‎ 其中正确的结论的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【分析】①,已知X服从正态分布N(0,σ2),可得正态曲线关于y轴对称,当P(﹣2≤X≤2)=0.6时,则P(X>2)=0.2;‎ ‎②,若命题,则¬p:∀x∈[1,+∞),x2﹣x﹣1‎ ‎≥0;‎ ‎③,当a=b=0时,l1⊥l2,‎ ‎【解答】解:对于①,已知X服从正态分布N(0,σ2),可得正态曲线关于y轴对称,当P(﹣2≤X≤2)=0.6时,则P(X>2)=0.2,正确;‎ 对于②,若命题,则¬p:∀x∈[1,+∞),x2﹣x﹣1≥0,故错;‎ 对于③,当a=b=0时,l1⊥l2,故错,‎ 故选:B ‎【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2017•信阳一模)在△ABC中,,则tanC的值是(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎【分析】先通过cosB,求得sinB,进而可求得tanB,进而根据tanC=﹣tan(A+B),利用正切的两角和公式求得答案.‎ ‎【解答】解:∵cosB=,‎ ‎∴sinB==,tanB==,‎ ‎∴tanC=﹣tan(A+B)=﹣=﹣1.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用.当进行三角关系变换的时候,要特别注意函数值的正负.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2017•信阳一模)如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),若输入的m,n分别为495,135,则输出的m=(  )‎ A.0 B.5 C.45 D.90‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:第一次执行循环体,r=90,m=135,n=90,不满足退出循环的条件;‎ 第二次执行循环体,r=0,m=45,n=0,满足退出循环的条件;‎ 故输出的m值为45,‎ 故选:C ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2017•信阳一模)已知z=2x+y,其中实数x,y满足,且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是(  )‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍,建立方程关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线的截距最大,‎ 此时z最大,‎ 由 ,解得:,‎ 即A(1,1),此时z=2×1+1=3,‎ 当直线y=﹣2x+z经过点B时,直线的截距最小,‎ 此时z最小,‎ 由 ,解得:,‎ 即B(a,a),此时z=2×a+a=3a,‎ ‎∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍,‎ ‎∴3=4×3a,即a=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2017•信阳一模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x﹣)=f(x+)恒成立,当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈(﹣2,0)时,函数f(x)的解析式为(  )‎ A.|x﹣2| B.|x+4| C.3﹣|x+1| D.2+|x+1|‎ ‎【分析】根据f(x﹣)=f(x+)将x换为x+,再将x换为x+1,得到函数的最小正周期为2,由当x∈[2,3]时,f(x)=x,求出x∈[0,1]的解析式,再由f(x)是定义在R上的偶函数,求出x∈[﹣1,0]的解析式,再将y=f(x),x∈[0,1]的图象向左平移2个单位即得x∈[﹣2,﹣1]的图象,合并并用绝对值表示﹣2<x<0的解析式.‎ ‎【解答】解:∵∀x∈R,f(x﹣)=f(x+),‎ ‎∴f(x+1)=f(x﹣1),f(x+2)=f(x),‎ 即f(x)是最小正周期为2的函数,‎ 令0≤x≤1,则2≤x+2≤3,‎ ‎∵当x∈[2,3]时,f(x)=x,‎ ‎∴f(x+2)=x+2,‎ ‎∴f(x)=x+2,x∈[0,1],‎ ‎∵f(x)是定义在R上的偶函数,‎ ‎∴f(x)=﹣x+2,x∈[﹣1,0],‎ 令﹣2≤x≤﹣1,则0≤x+2≤1,‎ ‎∵f(x)=x+2,x∈[0,1],‎ ‎∴f(x+2)=x+4,‎ ‎∴f(x)=x+4,x∈[﹣2,﹣1],‎ ‎∴当﹣2<x<0时,函数的解析式为:f(x)=3﹣|x+1|.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用,考查解决抽象函数常用的方法:赋值法,正确赋值是解决此类问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2017•信阳一模)将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]‎ ‎【分析】由函数的图象平移求得函数g(x)的解析式,进一步求出函数(x)的单调增区间,结合函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增列关于a的不等式组求解.‎ ‎【解答】解:将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,‎ 得g(x)=2cos2(x﹣)=2cos(2x﹣),‎ 由,得.‎ 当k=0时,函数的增区间为[],当k=1时,函数的增区间为[].‎ 要使函数g(x)在区间[0,]和[2a,]上均单调递增,‎ 则,解得a∈[,].‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象变换,考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2017•信阳一模)已知F2、F1是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为(  )‎ A.3 B. C.2 D.‎ ‎【分析】首先求出F2到渐近线的距离,利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直角三角形MF1F2‎ ‎,运用勾股定理,即可求出双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:由题意,F1(0,﹣c),F2(0,c),‎ 一条渐近线方程为y=x,则F2到渐近线的距离为=b.‎ 设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,‎ ‎∴|MF2|=2b,A为F2M的中点,‎ 又0是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,‎ ‎∴△MF1F2为直角三角形,‎ ‎∴由勾股定理得4c2=c2+4b2‎ ‎∴3c2=4(c2﹣a2),∴c2=4a2,‎ ‎∴c=2a,∴e=2.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线,考查勾股定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2017•信阳一模)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是(  )‎ A.π B.3π C.4π D.6π ‎【分析】由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体.此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为.利用球的表面积计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体.‎ ‎∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为.‎ ‎∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式,考查了推理能力与空间想象能力、计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2017•信阳一模)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:‎ ‎①对于任意一个圆O,其“优美函数“有无数个”;‎ ‎②函数可以是某个圆的“优美函数”;‎ ‎③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;‎ ‎④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.‎ 其中正确的命题是(  )‎ A.①③ B.①③④ C.②③ D.①④‎ ‎【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分,故①正确;‎ 作函数的大致图象,从而判断②的正误;‎ 将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上,则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”;即可判断③的正误;‎ 函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“优美函数”,但函数y=f(x)是“优美函数”时,图象不一定是中心对称图形,作图举反例即可.‎ ‎【解答】解:过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分,‎ 故对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个,故①正确;‎ 函数的大致图象如图1,故其不可能为圆的“优美函数”;∴②不正确;‎ 将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上,‎ 则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”;‎ 故有无数个圆成立,故③正确;‎ 函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“优美函数”,‎ 但函数y=f(x)是“优美函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图2,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了学生的学习能力及数形结合的思想方法应用,命题真假的判断,函数的性质的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)(2017•信阳一模)已知向量,若,则=  .‎ ‎【分析】可先求出向量的坐标,根据条件得到,从而可求出x=1,进而求出向量的坐标,从而求得该向量的长度.‎ ‎【解答】解:∵,且;‎ ‎∴=﹣x2+2x﹣1=0;‎ ‎∴x=1;‎ ‎∴;‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】考查向量坐标的概念,向量垂直的充要条件,以及向量坐标的数乘运算.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2017•信阳一模)(2x2+x﹣1)5的展开式中,x3的系数为 ﹣30 .‎ ‎【分析】先求得二项式展开式的通项公式,再根据通项公式,讨论r的值,即可求得x3项的系数.‎ ‎【解答】解:∵(2x2+x﹣1)5 =[(2x2+x)﹣1]5展开式的通项公式为 Tr+1=•(2x2+x)5﹣r•(﹣1)r,‎ 当r=0或1时,二项式(2x2+x)5﹣r展开式中无x3项;‎ 当r=2时,二项式(2x2+x)5﹣r展开式中x3的系数为1;‎ 当r=3时,二项式(2x2+x)5﹣r展开式中x3的系数为4;‎ 当r=4或5时,二项式(2x2+x)5﹣r,展开式中无x3项;‎ ‎∴所求展开式中x3项的系数为1×+4×(﹣)=﹣30.‎ 故答案为:﹣30.‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2017•信阳一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=c,则ab的最小值为 12 .‎ ‎【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣,C=.根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c,求得c=ab.再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,由此求得ab的最小值.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,‎ 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=﹣,C=.‎ 由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c,∴c=ab.‎ 再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC,整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab,‎ 当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12,‎ 故答案为:12.‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2017•信阳一模)椭圆C:+=1的上、下顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是 [] .‎ ‎【分析】由题意求A1、A2的坐标,设出点P的坐标,代入求斜率,进而求PA1斜率的取值范围 ‎【解答】解:由椭圆的标准方程可知,‎ 上、下顶点分别为A1(0,)、A2(0,﹣),‎ 设点P(a,b)(a≠±2),则+=1.即=﹣‎ 直线PA2斜率k2=,直线PA1斜率k1=.‎ k1k2=•==﹣;‎ k1=﹣‎ ‎∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],即:﹣2≤k2≤﹣1‎ ‎∴直线PA1斜率的取值范围是[].‎ 故答案为:[].‎ ‎【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用,同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力,属于中档题 ‎ ‎ 三、解答题(本题必作题5小题,共60分;选作题2小题,考生任作一题,共10分.)‎ ‎17.(12分)(2017•信阳一模)观察下列三角形数表:‎ 假设第n行的第二个数为,‎ ‎(1)归纳出an+1与an的关系式,并求出an的通项公式;‎ ‎(2)设anbn=1(n≥2),求证:b2+b3+…+bn<2.‎ ‎【分析】(1)利用数列的关系归纳出an+1与an的关系式,利用累加法求解即可.‎ ‎(2)利用放缩法化简通项公式,通过裂项消项法求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)依题意an+1=an+n(n≥2),a2=2,‎ ‎,‎ 所以;‎ ‎(2)因为anbn=1,所以,.‎ ‎【点评】‎ 本题考查数列的应用,放缩法的应用,数列求和以及通项公式的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2017•信阳一模)如图所示的几何体中,ABC﹣A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.‎ ‎(1)若AA1=AC,求证:AC1⊥平面A1B1CD;‎ ‎(2)若CD=2,AA1=λAC,二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为,求三棱锥C1﹣A1CD的体积.‎ ‎【分析】(I)连接A1C交AC1于E,证明AA1⊥AC,CD⊥AC,推出CD⊥平面A1ACC1,然后证明AC1⊥平面A1 B1CD.‎ ‎(II)如图建立直角坐标系,求出相关点的坐标,求出平面 AC1D的法向量,平面C1CD的法向量为,通过向量的数量积求出λ=1,然后利用等体积法求解体积即可.‎ ‎【解答】(I)证明:连接A1C交AC1于E,因为AA1=AC,又A A1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AC,‎ 所以A1ACC1为正方形,所以A1C⊥AC1,…(2分)‎ 在△ACD中,AD=2CD,∠ADC=60°,由余弦定理得 AC2=AD2+CD2﹣2 AC•DCcos60°,‎ 所以,所以AD2=AC2+CD2,‎ 所以CD⊥AC,又AA1⊥CD.所以CD⊥平面A1ACC1,‎ 所以CD⊥AC1,所以AC1⊥平面A1 B1CD.…(6分)‎ ‎(II)如图建立直角坐标系,则D(2,0,0),,,∴,‎ 对平面 AC1D,因为,‎ 所以法向量,‎ 平面C1CD的法向量为,…(8分)‎ 由,得λ=1,…(10分)‎ 所以 A A1=AC,此时,CD=2,,‎ 所以…(12分)‎ ‎【点评】本题考查二面角的平面镜的求法与应用,直线与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2017•信阳一模)为了对2016年某校中考成绩进行分析,在60分以上的全体同学中随机抽出8位,他们的数学分数(已折算为百分制)从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95,物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.‎ ‎(1)若规定85分以上为优秀,求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率;‎ ‎(2)若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表:‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 化学分数z ‎67‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;‎ ‎②求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),当某同学的数学成绩为50分时,估计其物理、化学两科的得分.‎ 参考公式:相关系数,‎ 回归直线方程是:,其中,‎ 参考数据:,,,.‎ ‎【分析】(1)求出从这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的基本事件数,‎ 以及这8位同学的物理分数和数学分数分别对应基本事件数,计算所求的概率值;‎ ‎(2)①变量y与x、z与x的相关系数,得出物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关;‎ ‎②求出y与x、z与x的线性回归方程,由此计算x=50时y与z的值即可.‎ ‎【解答】解:(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀,‎ 则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应,‎ 不同的种数是(或),‎ 然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应,不同的种数是;‎ 根据乘法原理,满足条件的不同种数是;‎ 这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有,‎ 故所求的概率为;‎ ‎(2)①变量y与x、z与x的相关系数分别是 ‎,‎ 可以看出:物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关;‎ ‎②设y与x、z与x的线性回归方程分别是,‎ 根据所给的数据,计算出 ‎,‎ ‎,‎ 所以y与x、z与x的回归方程分别是 ‎、,‎ 当x=50时,,‎ ‎∴当该生的数学为50分时,其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分.‎ ‎【点评】本题考查了古典概型的概率与线性回归方程的应用问题,是基础题目.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2017•信阳一模)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).‎ ‎(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;‎ ‎(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,即可求抛物线C的方程及准线l的方程;‎ ‎(2)把直线AB的方程y=k(x﹣1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,求出k1+k2,k3,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,‎ 准线l的方程为x=﹣1.‎ ‎(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x﹣1),k≠0.‎ 由抛物线准线l:x=﹣1,可知M(﹣1,﹣2k),又Q(1,2),所以,‎ 把直线AB的方程y=k(x﹣1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则,‎ 又Q(1,2),故.因为A,F,B三点共线,所以kAF=kBF=k,‎ 即,‎ 所以,‎ 即存在常数λ=2,使得k1+k2=2k3成立.‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2017•信阳一模)已知函数f(x)=(a﹣bx3)ex﹣,且函数f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线x﹣(2e+1)y﹣3=0垂直.‎ ‎(Ⅰ)求a,b;‎ ‎(Ⅱ)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线x﹣(2e+1)y﹣3=0垂直,求得a,b;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,证f(x)>2,即证2ex﹣exx3>2,构造函数,确定函数的单调性,即可证明结论.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:因为f(1)=e,故(a﹣b)e=e,故a﹣b=1①;‎ 依题意,f′(1)=﹣2e﹣1;又,‎ 故f′(1)=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1,故a﹣4b=﹣2②,‎ 联立①②解得a=2,b=1,…(5分)‎ ‎(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 要证f(x)>2,即证2ex﹣exx3>2; …(7分)‎ 令g(x)=2ex﹣exx3,∴g′(x)=ex(﹣x3﹣3x2+2)=﹣ex(x3+3x2﹣2)=﹣ex(x+1)(x2+2x﹣2),‎ 故当x∈(0,1)时,﹣ex<0,x+1>0;‎ 令p(x)=x2+2x﹣2,因为p(x)的对称轴为x=﹣1,且p(0)•p(1)<0,‎ 故存在x0∈(0,1),使得p(x0)=0;‎ 故当x∈(0,x0)时,p(x)=x2+2x﹣2<0,g′(x)=﹣ex(x+1)(x2+2x﹣2)>0,‎ 即g(x)在(0,x0)上单调递增;‎ 当x∈(x0,1)时,p(x)=x2+2x﹣2>0,故g′(x)=﹣ex(x+1)(x2+2x﹣2)<‎ ‎0,‎ 即g(x)在(x0,1)上单调递减;因为g(0)=2,g(1)=e,‎ 故当x∈(0,1)时,g(x)>g(0)=2,…(10分)‎ 又当x∈(0,1)时,,∴…(11分)‎ 所以2ex﹣exx3>2,即f(x)>2…(12分)‎ ‎【点评】本题考查导数的应用,考查导数的几何意义,考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)(2017•信阳一模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.‎ ‎【分析】(1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得C的直角坐标方程,将直线l的参数消去得出直线l的普通方程.‎ ‎(2)曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ),利用点到直线距离公式,建立关于θ的三角函数式求解.‎ ‎【解答】解:(1)由ρ=4cosθ,得出ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程:x2+y2=4x 即曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4,直线l的方程是:x+y=0…(4分)‎ ‎(2)将曲线C横坐标缩短为原来的 ,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ)‎ 到直线l距离d==.‎ 当sin(θ+α)=0时 到直线l距离的最小值为0.‎ ‎【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.(2017•信阳一模)设f(x)=|x﹣1|+|x+1|.‎ ‎(1)求f(x)≤x+2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,求实数x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)运用绝对值的含义,对x讨论,分x≥1,﹣1<x<1,x≤﹣1,去掉绝对值,得到不等式组,解出它们,再求并集即可得到解集;‎ ‎(2)运用绝对值不等式的性质,可得不等式右边的最大值为3,再由不等式恒成立思想可得f(x)≥3,再由去绝对值的方法,即可解得x的范围.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)≤x+2得:‎ 或或,‎ 即有1≤x≤2或0≤x<1或x∈∅,‎ 解得0≤x≤2,‎ 所以f(x)≤x+2的解集为[0,2]; ‎ ‎(2)=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3,‎ 当且仅当(1+)(2﹣)≤0时,取等号.‎ 由不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立,‎ 可得|x﹣1|+|x+1|≥3,即或或,‎ 解得x≤﹣或x≥,‎ 故实数x的取值范围是(﹣∞,﹣]∪[,+∞).‎ ‎【点评】‎ 本题考查绝对值不等式的解法,同时考查不等式恒成立问题的求法,运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;沂蒙松;lcb001;陈远才;w3239003;豫汝王世崇;刘老师;双曲线;sxs123;刘长柏;qiss;wkl197822;742048;caoqz;minqi5(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2017年3月16日