2015高考数学人教A版本（平面向量）一轮过关测试题 17页

阶段性测试题五(平面向量)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)．若a∥b，则实数m等于(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B. C．± D．0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a∥b，∴1×2－m2＝0，‎ ‎∴m＝±.‎ ‎(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－‎2a平行，则实数x的值是(　　)‎ A．－2 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－‎2a＝(6,4x－2)，a＋b与4b－‎2a平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.‎ ‎2．(2014·威海期中)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|‎2a－b|＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．2 D．8‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由条件知|a|2＝1，|b|2＝4，a·b＝1，‎ ‎∴|‎2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－‎4a·b＝4，∴|‎2a－b|＝2.‎ ‎3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，即1×2×cos〈a，b〉＝－1，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.‎ ‎(理)(2014·营口三中期中)已知a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60°，|b|＝|a|，则cos〈a，b〉等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　设〈a，b〉＝α，∵|b|＝|a|，‎ ‎∴|b|2＝3|a|2，a·b＝|a|2cosα，‎ a·c＝|a|·|c|·cos60°＝|a|·|a＋b|.‎ ‎∵a·c＝－(a＋b)·a＝－|a|2－a·b ‎＝－|a|2－|a|2cosα，‎ ‎|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋‎2a·b ‎＝|a|2＋3|a|2＋2|a|2cosα＝4|a|2＋2|a|2cosα，‎ ‎∴－|a|2－|a|2cosα＝|a|·，‎ ‎∴－cosα－1＝，∴cosα＝－，故选D.‎ ‎4．(2014·泸州市一诊)△ABC中，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵＝2，∴＝＝(－)，‎ ‎∴＝＋＝＋(－)＝＋，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC中，D 是BC的中点，AD＝3，点P在AD上且满足＝3，则·(＋)＝(　　)‎ A．6 B．－6‎ C．－12 D．12‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵AD＝3，＝3，∴||＝3，||＝1，‎ ‎∴||＝2，‎ ‎∵D为BC的中点，∴·(＋)＝·2＝－2·||·||＝－12.‎ ‎(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝4，点P为BC边所在直线上的一个动点，则·(＋)满足(　　)‎ A．最大值为16 B．最小值为4‎ C．为定值8 D．与P的位置有关 ‎[答案]　C ‎[解析]　设BC边中点为D，〈，〉＝α，则||＝||·cosα，‎ ‎∵AB＝AC＝4，BC＝4，∴∠BAC＝120°，∴0°≤α≤60°，‎ ‎∴·(＋)＝·2＝2||·||·cosα ‎＝2||2＝8.‎ ‎6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵A、B、C三点共线，∴与共线，∴存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，‎ ‎∵a、b不共线，∴∴λμ＝1，故选D.‎ ‎7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a－b与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：∵a－b＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)，‎ ‎∴|a－b|2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，‎ ‎∴|a－b|＝1，又b＝1，(a－b)·b＝a·b－|b|2‎ ‎＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－，‎ ‎∴cos〈a－b，b〉＝＝＝－，‎ ‎∴〈a－b，b〉＝120°.‎ 解法2：作单位圆如图，∠AOx＝75°，∠BOx＝15°，则＝a，＝b，＝－＝a－b，∴△AOB为正三角形，‎ ‎∴∠ABO＝60°，从而与所成的角为120°，‎ 即b与a－b所成的角为120°.‎ ‎[点评]　数形结合解答本题显得特别简捷．‎ ‎8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵＝2，＝2，‎ ‎∴＝，＝－，∴＝＋＝－＝－(＋)＝＋＝＋，‎ ‎∴m＋n＝.‎ ‎9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ、μ∈R)，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设D为△ABC的边BC的中点，＝＝·(＋AC＝＋，∴λ＝μ＝，‎ ‎∵∠A＝120°，·＝－2，∴||·||＝4，‎ ‎∴||2＝(||2＋||2－4)≥×(2||·||－4)＝，∴||≥.‎ ‎(理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝45°，AD＝2，AB＝，BC＝1，P是边AB所在直线上的动点，则|＋2|的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵AB＝，BC＝1，∠BAC＝45°，∴AB·sin∠BAC＝BC，∴AC⊥BC，‎ 以C为原点直线BC与AC分别为x轴、y轴建立直角坐标系如图，则C(0,0)，B(－1,0)，A(0,1)，D(2,1)，‎ ‎∵P在直线AB：y－x＝1上，‎ ‎∴设P(x0,1＋x0)，则＋2＝(－x0，－1－x0)＋2(2－x0，－x0)＝(4－3x0，－1－3x0)，‎ ‎∴|＋2|2＝(4－3x0)2＋(－1－3x0)2＝18x－18x0＋17＝18(x0－)2＋，‎ ‎∴当x0＝时，|＋2|min＝，故选C.‎ ‎10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由条件知，A1(－1,0)，F2(2,0)，∵P在双曲线右支上，∴P在上半支与下半支上结论相同，‎ 设P(x0，)，x0≥1，‎ ‎∴·＝(－1－x0，－)·(2－x0，－)＝(－1－x0)(2－x0)＋(3x－3)＝4x－x0－5＝4(x0－)2－，‎ ‎∴当x0＝1时，(·)min＝－2，故选A.‎ ‎(理)(2014·浙江省五校联考)已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足＝λ＋(1－λ)(0<λ<1)，则·的取值范围是(　　)‎ A．[－，1) B．[－1,1)‎ C．[－，0) D．[－1,0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　以直线MN为x轴，单位圆的圆心O为原点建立直角坐标系，则M(－1,0)，N(1,0)，∴·＝－1，‎ ‎∵＝λ＋(1－λ)，(0<λ<1)，‎ ‎∴＝λ(0<λ<1)，‎ ‎∴C在线段AB上(不包括端点)，‎ ‎∵OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，∴||∈[，1)，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＋·＝||2－1∈[－，0)．‎ ‎11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．2 D．4 ‎[答案]　B ‎[解析]　以OA、OB为邻边作▱OADB，∵OA＝1，OB＝1，∠AOB＝60°，∴OD＝，∵与、的夹角都为30°，∴与共线，∴＝2＝2＋2，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.‎ ‎12．(2014·枣庄市期中)如图，，分别为x轴，y轴非负半轴上的单位向量，点C在x轴上且在点A的右侧，D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点．若与＋共线.与 eq o(OA,sup6(→))共线，则·的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件设＝λ(＋)，＝μ，‎ ‎∴＝(λ，λ)，＝(μ，0)，‎ ‎∴＝＋＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，＝(x0，－1)，x0>1，‎ ‎∵与共线，＝－＝(λ－μ，λ－1)，＝－＝(1，－1)，‎ ‎∴＝，∴2λ－μ＝1，‎ ‎∵与共线，＝－＝(λ，λ－1)，‎ ‎∴＝，∴x0＝.‎ ‎∴·＝(λ－μ)x0－λ＝－λ＝－λ＝0.故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)‎ ‎13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是________．‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　∵a与b的方向相反，∴存在k<0，使a＝kb，‎ ‎∴∴x2＝4，∵k<0，∴x＝－2.‎ ‎(理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝________.‎ ‎[答案]　0‎ ‎[解析]　∵a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，‎ 又a⊥c，∴a·c＝0，‎ ‎∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(1＋2λ)a·c＝0.‎ ‎14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　∵λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)，‎ 由条件知(λa＋b)·(a－2b)＝3λ＋1＋4λ＝0，‎ ‎∴λ＝－.‎ ‎(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a⊥b，|a|＝1，|b|＝，且‎3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵a⊥b，|a|＝1，|b|＝，∴(‎3a＋2b)·(λa－b)＝3λ|a|2－2|b|2＋(2λ－3)a·b＝3λ－6＝0，‎ ‎∴λ＝2.‎ ‎15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a与b的夹角为，|a|＝，|b|＝1，则|a－b|＝________；若平行四边形ABCD满足＝a＋b，＝a－b，则平行四边形ABCD的面积为________．‎ ‎[答案]　1　 ‎[解析]　由条件知，|a－b|＝ ‎＝＝1，‎ ‎|a＋b|＝＝ ‎＝，‎ ‎∵·＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝2，‎ ‎∴·＝|a＋b||a－b|cos〈，〉＝cos〈，〉＝2，‎ ‎∴cos〈，〉＝，sin〈，〉＝，‎ ‎∴S＝||||sin〈，〉＝1××＝.‎ ‎(理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[0,1]‎ ‎[解析]　在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，∵棱长为1，‎ ‎∴四边形ABC1D1为矩形，AB＝1，AD1＝，‎ 又＝，‎ ‎∴·＝·＝||·||·cos〈，〉，‎ 当P点与D1点重合时，||·cos〈，〉取最小值0，‎ 当P点与B点重合时，||·cos〈，〉取最大值1，‎ ‎∴||·cos〈，〉∈[0,1]，‎ 又||＝1，∴·∈[0,1]．‎ ‎16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使z＝y－2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则·(O为坐标原点)的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[0,6]‎ ‎[解析]　作出可行域Ω为如图四边形OBCD区域，作直线l0：y－2x＝0，平移l0，当平移到经过点B(，1)时，z取最小值，∴A为B点，即A(，1)，‎ ‎∵M在平面区域Ω内运动，||为定值，‎ ·＝||·(||·cos〈，〉)，‎ ‎∴当M与O(或C)重合时，||cos〈，〉取到最小值(或最大值)，且M与O重合时，‎ eq o(OM,sup6(→))·＝0，M与C重合时，·＝(，3)·(，1)＝6，‎ ‎∴0≤·≤6.‎ ‎(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P(x，y)为平面上以A(4,0)，B(0,4)，C(1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O为原点，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________．‎ ‎[答案]　[，1]‎ ‎[解析]　直线AB：x＋y＝4，直线AC：2x＋3y－8＝0，直线BC：2x＋y－4＝0，‎ ‎∴点P所在的平面区域为 即△ABC的内部和边界，‎ ‎∵＝λ＋μ＝(4λ，4μ)，‎ ‎∴∴λ＋μ＝(x＋y)．‎ 作直线l0：x＋y＝0，平移l0，可知当平移到经过点C(1,2)时，x＋y取最小值3，与直线AB重合时，x＋y取最大值4，从而3≤x＋y≤4，∴≤λ＋μ≤1.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝，求：‎ ‎(1)a与b的夹角；‎ ‎(2)a＋b与a－b的夹角的余弦值 ‎[解析]　(1)由条件知(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝，|a|＝1，∴|b|＝，‎ 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，‎ ‎∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎(2)∵(a－b)2＝a2－‎2a·b＋b2＝1－2×＋＝，‎ ‎∴|a－b|＝，‎ ‎∵(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，‎ ‎∴|a＋b|＝，‎ 设a－b，a＋b的夹角为α，‎ 则cosα＝＝＝.‎ ‎18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；‎ ‎(2)若t1＝a2，当⊥且△ABM的面积为12时，求a的值．‎ ‎[解析]　(1)证明：∵当t1＝1时，‎ ＝－＝t2，‎ ‎∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．‎ ‎(2)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋‎2a2)．‎ 又∵＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋‎2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.∴＝(－a2，a2)．‎ 又∵||＝4，‎ 点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|·S△ABM＝，‎ ‎∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，‎ 解得a＝±2，故所求a的值为±2.‎ ‎(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．‎ ‎(1)求∠OCM的余弦值；‎ ‎(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，‎ ‎∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.‎ ‎(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，‎ －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)，‎ 若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，‎ 即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，‎ 若t≠，则λ＝，‎ ‎∵t∈[1，)∪(，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[，＋∞)．‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC＝2sin(B＋C)cosB.‎ ‎(1)判断△ABC的形状；‎ ‎(2)设向量m＝(a＋c，b)，n＝(b＋a，c－a)，若m∥n，求∠A.‎ ‎[解析]　(1)在△ABC中，∵sin(A＋B)＝sinC，sin(B＋C)＝sinA，‎ ‎∴sin(A＋B)＝2sinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，‎ ‎∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)∵m∥n，∴(a＋c)(c－a)－b(b＋a)＝0，‎ a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝－.‎ ‎∵0