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- 2021-05-13 发布
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2015年高考数学模拟改编卷(新课标卷Ⅱ)
理科数学
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(原创)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.(改编)设(为虚数单位),则复数的模为( )
A.5 B.3 C.2 D.6
3.(2015·江南十校高三二诊)下列结论正确的是( )
A.若直线平面,直线平面,则
B.若直线平面,直线平面,则
C.若两条直线与平面所成的角相等,则
D.若直线上两个不同的点到平面的距离相等,则
4.根据如图所示的流程图,则输出的结果的值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
5.(原创)设抛物线的顶点为A,与轴正半轴交点为B,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M,随机往M内投一粒豆子,则点P落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
6.(改编)已知角的终边经过点,且,则的值为( )
A.15 B.10 C.12 D.8
7.(2015·辽宁沈阳高三一模)抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
8.(原创)木球越来越成为人们喜爱的体育项目,现有一块木料表示的几何体的三视图如图所示(其中侧视图为边长为2的等边三角形),将该木料刨削、打磨、着色等工序加工成合格的木球,则能得到的最大木球的半径等于( )
A. B. C.2 D.
9.(2015·安徽江南十校高三二模·6)已知点,点为平面区域上的一个动点,则的最小值是( )
A.5 B.3 C. D.
10.(2015·辽宁盘锦高三3月调研)在△中,为的三等分点,则( )
A. B. C. D.
11. (2015·湖北武昌高三一模)若的展开式中项的系数为20,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(改编)若定义在上的函数满足则不等式
(为自然对数的底数)的解集为( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(原创)某市业余“飞人摩托队”表演,参与表演共有5辆摩托车.它们“一字”排开,并排前行,如果甲、乙两辆必须相邻行驶,且甲、丁两辆不能相邻行驶,那么不同的行驶方法有 种.
14.(原创)已知数列的前项和,则其通项公式为 .
15.(原创)设函数,则 .
16.(改编)已知函数,若导函数在区间上有最大值10,则导函数在区间上的最小值为
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)(原创)为迎接2015年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,用于网上所售产品进行促销.经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量p
万件与促销费用x万元满足:(其中,a为正常数).已知生产该产品还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.
(I)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数;
(II)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.
18.(改编)(本小题满分12分)如图,已知矩形中,,为的中点.将沿折起,使得平面平面.
A
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点E在何位置时,二面角的余弦值为.
19.(2015·山东滕州高三4月模拟·19) (本小题满分12分)已知单调递增的等比数列
满足:,且是,的等差中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)若,,求成立的正整数n的最小值.
20.(2015·江苏扬中高三4月模拟)(本小题满分12分) 已知椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,设直线的斜率分别为.
(1)若时,求的值;
(2)若时,证明直线过定点.
21.(2015·四川绵阳高三三模·21)(本小题满分12分)设函数,,
(1)设函数,求的单调区间;
(2)若存在,使,且成立,求的取值范围.
请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
(改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,求AB的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
(2015·江苏无锡高三一模)已知半圆C的参数方程为为参数,.
(1)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆C的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,设T是半圆C上的一点,且OT=,试写出T点的极坐标.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(改编)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;
(2)若不等式f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
2015年高考数学模拟改编卷(新课标卷Ⅱ)
理科数学参考答案及解析
1.D
【命题立意】考查集合的基本运算、函数的定义域和值域的求解,考查不等式的求解能力。
【解析】根据集合M,得,根据集合N,得解得,故,故选D.
2.A
【命题立意】本题重点考查了复数的乘除法运算法则、复数的模的计算等知识.
【解析】根据复数的运算法则,,所以复数的模为
3.C
【命题立意】考查了两直线的位置关系等知识.
【解析】A选项中两直线也可能相交或异面,B选项中直线与平面也可能相交,D中选项也可能相交.
4.C
【命题立意】本题旨在考查算法的流程图及其应用.
【解析】由算法的流程图,开始时i=0,s=0,此时满足s≤20;接下来有s=0+0=0,i=0+1=1,此时满足s≤20;接下来有s=0+1=1,i=1+1=2,此时满足s≤20;接下来有s=1+2=3,i=2+1=3,此时满足s≤20;接下来有s=3+3=6,i=3+1=4,此时满足s≤20;接下来有s=6+4=10,i=4+1=5,此时满足s≤20;接下来有s=10+5=15,i=5+1=6,此时满足s≤20;接下来有s=15+6=21,i=6+1=7,此时不满足s≤20,结束循环,输出i=7.
5.C
【命题立意】定积分的计算、几何概型公式,运算求解能力,等价转化思想。
【解析】令,得,故,因为,所以,
,根据几何概型公式,得。
6.B
【命题立意】本题旨在考查三角函数的定义.
【解析】由题可得,解得x=10.
7.C
【命题立意】本题主要考查抛物线的焦点坐标问题,首先应该转化成为抛物线的标准方程,然后求出,并要注意焦点在y轴上.
【解析】
.
8.B
【命题立意】三视图的概念、三棱柱的结构特征、三棱柱的内切球,考查空间想象力、分析问题和求解问题能力.
【解析】根据三视图可以知道该木料是一个正三棱柱(如图示),该正三棱柱的底面边长为2的等边三角形,高为3,要得到最大半径的球,则球需与三个侧面相切,从而球的半径就是底面三角形的内切圆的半径即可,故半径满足,解得,故选B.
9.D
【命题立意】本题重点考查了不等式组表示的平面区域问题、线性规划问题.
【解析】不等式组表示的平面区域如图,结合图像可知的最小值为点A到直线的距离,
即.
10.B
【命题立意】本题主要考查了向量的运算法则.
【解析】
.
11.B
【命题立意】本题考查二项式定理.
【解析】由二项式定理的展开公式可得:,项为,因为的展开式中项的系数为20,所以,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立.所以选B.
12.A
【命题立意】本题主要考查了学生如何利用题目中的条件正确构造出需要的函数,并进一步考查了学生对函数单调性的理解.
【解析】
.
13.36
【命题立意】排列组合公式和应用、计数原理,考查分类讨论思想和实际问题应用能力.
【解析】先考虑甲、乙,若甲、乙是“左1左2”号位置,则其余3辆有6种方法; 甲、乙是“左3左4号”位置,则丁有种排法,其余2辆有种方法,同理,甲、乙是“左3左4、左4左5”位置,均分别有4种方法,甲、乙位置交换,同样有以上各种情况,故方法种数为:2(6+4+4+4)=36.
14.
【命题立意】本题重点考查了数列的通项公式的求解方法,考查公式法在确定数列通项公式中的应用.主要考查数列的通项公式求解能力.
【解析】当时,;当时,,
所以.
15.1
【命题立意】考查分段函数的概念、性质等知识.
【解析】因为,故.
16.-8
【命题立意】本题重点考查了导数的计算、函数的单调性与导数等知识.
【解析】,令是奇函数,由的最大值为10知:的最大值为,最小值为,从而的最小值为.
17.(I)();
(II)当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元,厂家的利润最大.
【命题立意】本题重点考查了函数的应用、函数模型的构建、基本不等式的应用、分类讨论思想及其应用等知识.
【解析】(I)由题意知,,………………3分
将代入化简得:().………………5分
(II),
当且仅当时,上式取等号.………………8分
当时,促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;………………9分
当时,在上单调递增,
所以时,函数有最大值,即促销费用投入万元时,厂家的利润最大…11分
综上,当时,促销费用投入1万元,厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元,厂家的利润最大.………………12分
18.(Ⅰ)略 ;(Ⅱ)
【命题立意】空间中线面垂直的性质定理、空间直角坐标系的建立、空间向量的基本运算,空间想象力和逻辑推理能力.
【解析】(Ⅰ)证明:连接BM,则AM=BM=,所以
又因为面平面,
所以,.…………………………………………4分
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系
由(I)可知,平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量,
所以,
…………………………………………10分
二面角的余弦值为得,,即:E为DB的中点.………………12分
19.(I);(II)5
【命题立意】本题重点考查等比数列的概念、性质、通项公式、数列求和等知识,属于中档题.
【解析】(I)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
依题意,有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,∴a2+a4=20
∴解之得或
又{an}单调递增,∴q=2,a1=2, ∴. ……………… 6分
(II),
∴ ①
∴ ②
∴①-②得=
∴即
故使成立的正整数n的最小值为5 .……………… 12分
20.(1)-;(2)略.
【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系,函数与方程,直线的斜率公式,直线的性质与应用,考查函数与方程思维,数形结合思维与运算能力.
【解析】(1)当时,直线代入椭圆的方程,
得到, ………………………………2分
解得 ……………………………4分
所以,
. ………………………………5分
所以.………………………………………………………6分(2)设,将直线代入椭圆的方程,并整理得到, ………………………………8分
则且.
由知,, ………………………………10分
即,
,
,
所以,,所以(舍)或,……………………11分
所以直线过定点. ……………………………………………………………12分
21(Ⅰ) 单增区间是,函数的单减区间是;(Ⅱ)
【命题立意】本题重点考查了导数的计算、函数的单调性与导数、函数极值与导数、函数最值与导数等知识,考查转化思想和分类讨论思想的应用,属于中高档题目.
【解析】(Ⅰ)=,
∴ ,
由解得,由解得,
∴ 函数的单增区间是,函数的单减区间是.
………………………………………………………4分
(Ⅱ)由≤可变为≤0.
令,,则.
由可得,由可得,
所以在单调递减,在单调递增.………………………5分
根据题设知:,可解得. …………………………6分
①若≤,即时,
∵ 在单调递减,
∴ ≤0,
即≤0对恒成立.
令,≤0,
则,即在上是减函数;
则,
所以对任意,≤0成立.……………………8分
②当,即时,
当且仅当≤0,即≥e,此时.
……………………………………………………10分
③当≥时, 即时,
∵ 在上单调递减,
∴ ≤0,
令,即≤0恒成立.
因为,所以在上是减函数,
故存在无数个,使得,
如取与≤0恒成立矛盾,此时不成立.
综上所述,的取值范围是.………………………………………12分
22.4
【命题立意】本题考查圆的切线的判定定理的应用.
【解析】由题意 ∴∴∵∴∴.
23.(1)ρ=2sinθ,θ∈[0,];(Ⅱ)(,).
【命题立意】本题旨在考查参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化与应用,极坐标的计算.
【解析】(1)根据半圆的参数方程为参数,,得圆的普通方程:, ………………………………3分
所以,半圆的极坐标方程为. ………………………………5分
(2)依题意可知半圆的直径为2,设半圆的直径为,
所以, ………………………………8分
因为,所以,因为,所以,所以点的极坐标为. ………………………………………………10分
24.(1){x|x≤-或x≥};(2)(-∞,].
【命题立意】本题旨在考查含有绝对值不等式的求解,不等式性质与应用.
【解析】(1)当时,由得,,
或或 ………………………………………………2分
解得:,或.
原不等式的解集为或. ………………………………………………5分
(2)由不等式的性质得:,
要使不等式恒成立,则只要,………………………………………8分
解得:或,
所以实数的取值范围为. ………………………………………………10分