高考数学一轮复习练习22函数的单调性及其最值 7页

分层限时跟踪练(五)‎ ‎(限时40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2015·长春二模)已知函数f＝在上是单调函数，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎【解析】　函数f(x)＝ 即函数f(x)在(－∞，－a)上是减函数，在[－a，＋∞)上是增函数，要使函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，则－a≥－1，即a≤1，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎2．(2015·怀化模拟)给定函数：①y＝x；②y＝log；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)‎ A．①②　　 B．②③‎ C．③④　 D．①④‎ ‎【解析】　①y＝x在区间(0,1)上单调递增；②y＝log(x＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y＝|x－1|＝在区间(0,1)上单调递减；④y＝2x＋1在区间(0,1)上单调递增．‎ ‎【答案】　B ‎3．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2) B. C．(－∞，2] D. ‎【解析】　(1)由＜0可知f(x)在R上是减函数，故解得a≤.‎ ‎【答案】　B ‎4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0，x>0)，‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．‎ ‎【解】　(1)证明：任取x1，x2，设x2>x1>0，‎ 则x2－x1>0，x1x2>0，‎ ‎∵f(x2)－f(x1)＝－ ‎＝－＝>0，‎ ‎∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)∵f(x)在上的值域是，‎ 又f(x)在上单调递增，‎ ‎∴f＝，f(2)＝2.‎ 易得a＝.‎ ‎10．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ ‎＝，‎ ‎∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.‎ 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，‎ ‎∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.‎ ‎(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，‎ 则⇔ 等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．‎ 只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．‎ 又φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，‎ ‎∴当x＝1时，φ(x)的最大值为φ(1)＝－3.‎ ‎∴a＞－3，‎ 故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．‎ ‎1．(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象(如图①所示)知函数在(0，＋∞)上单调递增，‎ 当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象(如图②所示)知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件．‎ 所以要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.‎ 即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．‎ ‎【答案】　C ‎2．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，构造函数F(x)的定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)＝|f(x)|，当|f(x)|＜g(x)时，F(x)＝－g(x)，则F(x)(　　)‎ A．有最小值0，无最大值 B．有最小值－1，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，也无最小值 ‎【解析】　F(x)的图象如图所示，由图可知F(x)有最小值－1，无最大值．‎ ‎【答案】　B ‎3．(2015·浙江高考)已知函数f(x)＝则f[f(－2)]＝________，f(x)的最小值是________．‎ ‎【解析】　f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－.‎ 当x≤1时，f(x)min＝0；‎ 当x>1时，f(x)＝x＋－6.‎ 令f′(x)＝1－＝0，解得x＝(负值舍去)．‎ 当1时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)的最小值为f()＝＋－6＝2－6.‎ 综上，f(x)的最小值是2－6.‎ ‎【答案】　－　2－6‎ ‎4．(2014·四川高考)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【解析】　①因为f(x)∈A，所以函数f(x)的值域是R，所以满足∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，同时若∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，则说明函数f(x)的值域是R，则f(x)∈A，所以①正确；‎ ‎②因为令f(x)＝，x∈(1,2]，取M＝1，则f(x)∈[－1,1]，但是f(x)没有最大值，所以②错误；‎ ‎③因为f(x)∈A，g(x)∈B且它们的定义域相同(设为[m，n])，所以存在区间[a，b]⊆[m，n]，使得f(x)在区间[a，b]上的值域与g(x)的值域相同，所以存在x0∉[a，b]，使得f(x0)的值接近无穷，所以f(x)＋g(x)∉B，所以③正确；‎ ‎④因为当x＞－2时，函数y＝ln(x＋2)的值域是R，所以若函数f(x)有最大值，则a＝0，此时f(x)＝.因为对∀x∈R，x2＋1≥2|x|，所以－≤≤.‎ 所以－≤f(x)≤，所以f(x)∈B，所以④正确．‎ ‎【答案】　①③④‎ ‎5．函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.‎ ‎(1)求证：f(x)在R上是增函数；‎ ‎(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.‎ ‎【解】　(1)证明：设x1，x2∈R，且x10，‎ ‎∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.‎ f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，‎ ‎∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)