2011-2017新课标高考数学极坐标与参数方程分类汇编 7页

‎2011-2017新课标《坐标系与参数方程》分类汇编 ‎1. 【2011年新课标】在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM，P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎（1）求C2的方程；‎ ‎（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）设P(x, y)，则由条件知. 由于M点在C1上，所以，即，从而C2的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为. 射线与C1的交点A的极径为，射线与C2的交点B的极径为. 所以.‎ ‎2. 【2012年新课标】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.‎ 所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、、、.‎ ‎（2） 设，则 ‎ ‎.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎3.【2013年新课标1】已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π＝‎ ‎【答案】‎ ‎(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎4.【2013年新课标2】已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π＝，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ ‎【答案】‎ ‎(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，‎ 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d＝(0＜α＜2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎5.【2014年新课标2】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 ‎（1）求C的参数方程；‎ ‎（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）的普通方程为 ‎ 可得的参数方程为（为参数，）‎ ‎（2）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。‎ ‎ 故的直角坐标为，即 ‎6.【2015年新课标1】在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求的极坐标方程。‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ‎ ‎（2）将代入，得，解得 ‎.故，即 由于的半径为1，所以的面积为 ‎ ‎7. 【2015年新课标2】在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值 ‎【答案】‎ ‎（1）曲线 的直角坐标方程是 ‎（2）曲线 ‎8.【2016年新课标1】在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.‎ ‎（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。‎ ‎【答案】‎ ‎（1） （均为参数） ∴ ①‎ ‎ ∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎ ∵∴ 即为的极坐标方程 ‎（2） 两边同乘得 ‎ 即 ②‎ ‎：化为普通方程为由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎ ①—②得：，即为 ∴ ∴‎ ‎9.【2016年新课标2】在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．‎ ‎（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A、B两点，，求l的斜率．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）整理圆的方程得，‎ ‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎（2）记直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由垂径定理及点到直线距离公式知：，‎ 即，整理得，则 ‎10.【2016年新课标3】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=22‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； ‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. ‎ 解:‎ ‎（1）C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0 ‎ ‎（2）由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sinα)，‎ ‎∵C2是直线，∴|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(a)＝＝ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，‎ 此时P的直角坐标为(，)‎ ‎【2017新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为。‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）曲线的普通方程为，‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或，‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以。‎ 综上，或。‎ ‎【2017新课标2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【答案】‎ ‎⑴设，则．‎ ‎，解得，化为直角坐标系方程为．‎ ‎⑵连接，易知为正三角形，为定值．‎ ‎∴当高最大时，面积最大，‎ 如图，过圆心作垂线，交于点交圆于点，‎ 此时最大 ‎【2017新课标3】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为（m为参数），设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程：‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为与C的交点，求M的极径．‎ ‎【解析】⑴将参数方程转化为一般方程 ‎ ……① ……②‎ ①②消可得：，即的轨迹方程为；‎ ⑵将参数方程转化为一般方程 ……③‎ 联立曲线和，解得，由 解得，即的极半径是。‎