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- 2021-05-13 发布
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专题51 曲线与方程----求轨迹方程
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考试题,高考对曲线与方程的考查,主要有以下两个方面:一是确定的轨迹的形式或特点;二是求动点的轨迹方程,同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地,命题作为解答题一问,小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.
1、求点轨迹方程的步骤:
(1)建立直角坐标系
(2)设点:将所求点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程
(4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围
2、求点轨迹方程的方法
(1)直接法:从条件中直接寻找到的关系,列出方程后化简即可
(2)代入法:所求点与某已知曲线上一点存在某种关系,则可根据条件用表示出,然后代入到所在曲线方程中,即可得到关于的方程
(3)定义法:从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的要素,求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有:
① 圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆:若,则点在以为直径的圆上
确定方程的要素:圆心坐标,半径
② 椭圆:平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹
确定方程的要素:距离和,定点距离
③ 双曲线:平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹
注:若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支
确定方程的要素:距离差的绝对值,定点距离
④ 抛物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹
确定方程的要素:焦准距:
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.若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
(4)参数法:从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到与的联系,从而得到和的方程:,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程.
【经典例题】
例1.【2019届北京石景山区一模】如图,已知线段上有一动点(异于),线段,且满足(是大于且不等于的常数),则点的运动轨迹为( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】B
例2.设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点A(1,0),圆C:x2+2x+y2=0,那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是( )
A. 双曲线的一支 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 射线
【答案】D
【解析】圆的标准方程为,
如图所示,设圆心坐标为,满足题意的点为点,由题意有:
,则,
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设,结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.
本题选择D选项.
例3.动点在曲线上移动,点和定点连线的中点为,则点的轨迹方程为( ).
A. B.
C. D.
【答案】B
例4.已知直线与抛物线交于两点,且,其中为坐标原点,若于,则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
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【解析】思路:先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形.即,设,即,联立直线与抛物线方程并利
联立方程:,消去可得:
,由可得
,即直线过定点
即 的轨迹为以为直径的圆
则该圆的圆心为,半径
轨迹方程为
答案:B
例5.点是圆上的动点,定点,线段的垂直平分线与直线的交点为,则点的轨迹方程是___.
【答案】
【解析】由垂直平分线的性质有,所以,
又,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是C,F为焦点,以4为实轴长的双曲线,
,,
所以点Q的轨迹方程是.
例6.【2019届福建省漳州市高三上学期期末】已知直线过抛物线: 的焦点, 与交于,
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两点,过点, 分别作的切线,且交于点,则点的轨迹方程为________.
【答案】
,故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为,故答案为.
例7.【2017课标II,理】设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1) 求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【答案】(1) .(2)证明略.
【解析】
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(2)由题意知.设,则
,
.
由得,又由(1)知,故
.
所以,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
例8.已知抛物线:的焦点为F,平行于x轴的两条直线分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(II)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】由题设.设,则,且
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.
记过两点的直线为,则的方程为.
(I)由于在线段上,故.
记的斜率为,的斜率为,则
当与轴不垂直时,由可得.而,所以.
当与轴垂直时,与重合.所以,所求轨迹方程为.
例9.【2019届河北衡水金卷】已知焦点为的的抛物线:()与圆心在坐标原点,半径为的交于,两点,且,,其中,,均为正实数.
(1)求抛物线及的方程;
(2)设点为劣弧上任意一点,过作的切线交抛物线于,两点,过,的直线,均于抛物线相切,且两直线交于点,求点的轨迹方程.
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标,由点点距得到半径;(2)设,,,,由直线和曲线相切得到,:
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,同理: ,联立两直线得,根据点在圆上可消参得到轨迹.
解析:
(1)由题意,,故。
所以抛物线的方程为.
将代入抛物线方程,解得,
因此,
令,解得,
故:,
同理: .
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则由
解得
因直线 ,.
则由
得,
则
因此根据点在圆上满足方程,消参得到.
例10:如图所示,点在圆上运动,轴,点在的延长线上,且
(1)求点的轨迹方恒,并求当为何值时,的轨迹表示焦点在轴上的椭圆
(2)当时,在(1)中所得曲线记为,已知直线,是上的动点,射线(为坐标原点)交曲线于点,又点在上且满足,求点的轨迹方程
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设
轴 ①
由在上可知:,代入①可得:
设,进而得到与的联系:,再寻找的联系,结合条件可知,从而用即可表示出与的联系(而不用再设字母):.所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程,再消去即可得到的轨迹方程
解:由(1)可得曲线方程为:
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设
设 由线段比例可得:
由同理可得:
分别在直线与椭圆上 ,代入可得:
,化简可得:的轨迹方程为:
.
【精选精练】
1.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.【2019届江西省新余市二模】斜率为的直线过抛物线焦点,交抛物线于,两点,点为中点,作,垂足为,则下列结论中不正确的是( )
A. 为定值 B. 为定值
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C. 点的轨迹为圆的一部分 D. 点的轨迹是圆的一部分
【答案】C
【解析】由题意知抛物线的焦点为,故直线的方程为,
由消去y整理得,
设,
则,
∴.
选项A中,,为定值.故A正确.
选项B中,,为定值,故B正确.
选项C中,由消去k得,故点的轨迹不是圆的一部分,所以C不正确.
选项D中,由于,直线过定点,所以点Q在以为直径的圆上,故D正确.
综上选C.
3.【2019届江西省监测】已知向量, 满足, , ,若为的中点,并且,则点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
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4.如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线段, 为垂足. 当点在圆上运动时,满足 的动点的轨迹是椭圆,求这个椭圆离心率的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设,则,代入圆的方程,即,∵,∴动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,其中, ,则,故而可得,故,即,故选D.
5.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )
A. (x+2)2+(y-1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4
C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x-2)2+(y+1)2=1
【答案】D
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6.【2019届广西二模】设为椭圆上任意一点,,,延长至点,使得,则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为椭圆上任意一点,且A,B为焦点, ,又,,所以点的轨迹方程为.
7.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的周长为22,则顶点C的轨迹方程是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
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8.【2019届浙江省镇海中学高三上学期期末】椭圆M:长轴上的两个顶点为、,点P为椭圆M上除、外的一个动点,若且,则动点Q在下列哪种曲线上运动( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】B
【解析】设P(m,n),Q(x,y)
∵椭圆M的方程为,
∴作出椭圆如图所示,可得长轴的端点为A(﹣a,0),B(a,0)
∴=(x+a,y),=(m+a,n)
∵=0,∴(x+a)(m+a)+ny=0,可得m+a=﹣ ①
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此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆,可得动点Q的轨迹是一个椭圆,B项是正确答案故选B.
9.已知椭圆为椭圆上一动点, 为椭圆的左焦点则线段的中点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段
【答案】A
【解析】设线段的中点
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∴点的轨迹方程为
∴线段 的中点 的轨迹是椭圆.
故选A.
10.过圆 : 上的点 作 轴的垂线,垂足为 ,点 满足 .当 在 上运动时,记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程;
【答案】(1)
【解析】试题分析:
(1)设点坐标,点坐标,由题意可得点坐标为满足则点的轨迹的方程为.
11.已知坐标平面上两个定点,,动点满足:.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中的轨迹为,过点的直线被所截得的线段的长为,求直线的方程.
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【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析:(1)直接利用,列出方程即可求出点M的轨迹方程,然后说明轨迹的形状;
(2)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线l的方程.
详解:(1) 由得
化简得:,轨迹为圆
(2)当直线的斜率不存在时,直线 符合题意;
当直线的斜率存在时,设的方程为:
由圆心到直线的距离等于得
此时直线的方程为:.
12.已知圆,直线, .
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
【答案】(1)见解析(2) 的轨迹方程是,它是一个以为圆心,以为半径的圆
试题解析:
证明:(1)圆的圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离.
所以直线与圆相交,即直线与圆总有两个不同的交点;
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(2)设中点为,
所以的轨迹方程是,
它是一个以为圆心,以为半径的圆.
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