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- 2021-05-13 发布
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2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)（北京卷）
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集是实数集R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|x<1}，则∩N等于
（A）{x|x<-2} （B）{x|-2ac （B）c(b-a)>0 （C）cb20) 上一定点P(x0, y0) (y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2).
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，
求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。
（18）（本小题满分14分）
f(x)是定义在[0，1]上的增函数，满足f(x)=2f()且f(1)=1，在每个区间（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
（I）求f(0)及f()，f()的值，并归纳出f()（i=1，2，…）的表达式；
（II）设直线x=，x=，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为ai (i=1，2，…)，记S(k)=(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。
（19）（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km.在列车运动时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（I）分别写出列车在B，C两站的运行误差；
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。
（20）（本小题满分13分）
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止。
（I）判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（II）当构成第n（n；
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11。
参考答案
一、选择题。
1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B
二、填空题
（9）
（10）x1=0 ，x2=1
（11）4 192
（12）x2+(y+1)2=1 1－≤a≤1+
（13）大 －3
（14）3 当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=n－
三、解答题：
（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力，满分13分。
解法一：
∵sinA+cosA=cos(A－45°)=，
∴cos(A－45°)=
又0°0，cosA<0.
∵(sinA－cosA)2=1－2sinAcosA=，
（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱住等基本知识，考查空间想象能力、罗辑思维能力和运算能力，满分14分。
解：（I）正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为。
（II）如图1，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。
设PC=x，则P1C=x在Rt△MAP1中，由匀股定理得(3+x)2+22=29，
求得x=2.
∴PC=P1C=2.
∵，
∴NC=
（III）如图2，连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CH⊥PP1.
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.
在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP1=60°，
∴CH==1
在Rt△NCH中，tg∠NHC=，
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctg.
（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分14分。
解（I）当y=时，x=，
又抛物线y2=2px的准线方程为x=－，
由抛物线定义得，所以距离为.
（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
由 =2px1，=2px0
相减得 （y1－y0）(y1+y0)=2p(x1－x0)
故 kPA= （x1≠x0）
同理可得 kPB=（x2≠x0）
由PA，PB倾斜角互补知kPA=－kPB，
即 =－，
所以 y1+y2=－2y0，
故
设直线AB的斜率为kAB。
由 =2px2， =2px1
相减得 （y2－y1）(y2+y1)=2p(x2－x1)，
所以 kAB=（x1≠x2）
将 y1+y2=－2y0 (y0>0 )代入得
kAB==－，所以kAB是非零常数。
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分。
解：（I）由f(0)=2f(0)，得f(0)=0.
由f(1)=2f()及f(1)=1，得f()=f(1)= .
同理，f()=f()=.
归纳得f()=(i=1，2，…).
（II）当时，（*）式变形为7－+11－≤2，
解得
综上所述, v的取值范围是[39, ]. (12分)
（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，满分13分。
解: (Ⅰ) r1≤r2≤rN. 除第N组外的每组至少含有个数.
(Ⅱ) 当第n组形成后,因为n11,即第11组形成后,还有数没分完,由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10,
故 余下的每个数> r11≥r10>
因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37.5×3=112.5.
此时第11组的余差r11=150—第11组数之和<150—112.5=37.5,
这与(*)式中r11>37.5矛盾,所以N≤11.
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