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- 2021-05-13 发布
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2006年上海高考数学试卷(理科)
一.填空题(本大题共48分)
1. 已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 },集合B = { 3 , m2 }。若B Í A,则实数m =__________。
2. 已知圆x2 – 4x – 4 +y2 = 0的圆心是点P,则点P到直线x – y – 1 = 0的距离是______。
3. 若函数f(x) = ax(a > 0且a ¹ 1)的反函数的图像过点( 2 , –1 ),则a =_____。
4. 计算:=__________。
5. 若复数z同时满足(i为虚数单位)。则=__________。
6. 如果,且a是第四象限的角,那么=_____________。
7. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(, 0 ),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是________。
8. 在极坐标系中,是极点,设点。则△OAB的面积是___。
9. 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本。将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______。(结果用分数表示)
10. 如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________。
11. 若曲线y2 = |x| + 1与直线y = kx + b没有公共点,则k , b分别应满足的条件是__________。
12. 三个同学对问题“关于x的不等式x2 + 25 + |x3 – 5x2| ³ ax在[ 1 , 12 ]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。
乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”
丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”
参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是__________。
二.选择题(本大题共16分)
13. 如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )
A
D
C
B
(A) (B)
(C) (D)
14. 若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
1. 若关于x的不等式( 1 + k2 )x £ k4 + 4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )
(A) 2 Î M , 0 Î M (B) 2 Ï M , 0 Ï M
(C) 2 Î M , 0 Ï M (D) 2 Ï M , 0 Î M
2. 如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M,若p , q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。已知常数p ≥ 0 , q ≥ 0,给出下列三个命题:
①若p = q = 0,则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有1个。
②若pq = 0,且p + q ¹ 0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有2个。
③若pq ¹ 0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有4个。
上述命题中,正确命题的个数是( )
(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3
三.解答题(本大题86分)
17.(本小题满分12分)
求函数的值域和最小正周期。
18.(本小题满分12分)
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?
19.(本小题满分14分)
在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形。∠DAB = 60°,对角线AC与BD相交于点O,PO ^平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°。
(1) 求四棱锥P-ABCD的体积;
(2) 若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示)。
20.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2 = 2x相交于A , B两点。
(1) 求证:“如果直线l过点T( 3 , 0 ),那么”是真命题;
(2) 写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。
21.(本小题满分16分)
已知有穷数列{an}共有2k项(整数k ³ 2),首项a1 = 2。设该数列的前n项和为Sn,且an+1 = ( a – 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 ,…, 2k – 1 ),其中常数a > 1。
(1) 求证:数列{an}是等比数列;
(2) 若,数列{bn}满足( n = 1 , 2 ,…, 2k ),求数列{bn}的通项公式;
(3) 若(2)中的数列{bn}满足不等式++…++£ 4,求k的值。
22.(本小题满分18分)
已知函数有如下性质:如果常数a > 0,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。
(1) 如果函数( x > 0 )的值域为,求b的值;
(2) 研究函数(常数c > 0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3) 对函数和(常数a > 0)作出推广 ,使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数(n是正整数)在区间上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)。
参考答案
一.填空题:
1、; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、; 7、;
8、5 ; 9、 ; 10、36 ; 11、; 12、;
二.选择题:
13、C ; 14、A ; 15、A ; 16、D
三.解答题
17. [解]
∴ 函数的值域是,最小正周期是;
18. [解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19. [解](1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
(2)解法一:以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,-,0),
B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos;
解法二:取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角),
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是, 在等腰Rt△POA中,
PA=,则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=,
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
20. [解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,-). ∴=3;
当直线的钭率存在时,设直线的方程为,其中,
由得
又 ∵ ,
∴,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)逆命题是:设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为:,而T(3,0)不在直线AB上;
说明:由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3,可得y1y2=-6,
或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线
AB过点(-1,0),而不过点(3,0).
21. (1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a;
2≤n≤2k-1时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2,
an+1-an=(a-1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解:由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<;
当n≥k+1时, bn>.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2-8k+4≤0, 4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22. [解](1)函数y=x+(x>0)的最小值是2,则2=6, ∴b=log29.
(2) 设0y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数;
当00),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,
在(-∞,-]上是增函数, 在[-,0)上是减函数;
当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,
在(-∞,-]上是减函数, 在[-,0)上是增函数;
F(x)=+
=
因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以,当x=或x=2时,F(x)取得最大值()n+()n;
当x=1时F(x)取得最小值2n+1;