高考物理一轮教案电磁感应 60页

第十三章：电磁感应 第一模块：电磁感应、楞次定律 ‎『夯实基础知识』‎ ‎1、关于电磁感应的几个基本问题 ‎（1）电磁感应现象 利用磁场产生电流（或电动势）的现象，叫电磁感应现象。所产生的电流叫感应电流，所产生的电动势叫感应电动势。‎ 所谓电磁感应现象，实际上是指由于磁的某种变化而引起电的产生的现象，磁场变化，将在周围空间激起电场；如周围空间中有导体存在，一般导体中将激起感应电动势；如导体构成闭合回路，则回路程还将产生感应电流。‎ ‎（2）发生电磁感应现象，产生感应电流的条件：‎ 发生电磁感应现象，产生感应电流的条件通常有如下两种表述。‎ ‎①当穿过线圈的磁通量发生变化时就将发生电磁感应现象，线圈里产生感应电动势。如线圈闭合，则线圈子里就将产生感应电流。‎ ‎②当导体在磁场中做切割磁感线的运动时就将发生电磁感应现象，导体里产生感应电动势，如做切割感线运动的导体是某闭合电路的一部分，则电路里就将产生感应电流。产生感应电动势的那部分导体相当于电源。‎ 应指出的是：闭合电路的一部分做切割磁感线运动时，穿过闭合电路的磁通量也将发生变化。所以上述两个条件从根本上还应归结磁通量的变化。但如果矩形线圈abcd在匀强磁场B中以速度v平动时，尽管线圈的bc和ad边都在做切割磁感线运动，但由于穿过线圈的磁通量没有变，所以线圈回路中没有感应电流。‎ ‎（3）发生电磁感应现象的两种基本方式及其理论解释 ‎①导体在磁场中做切割磁感线的相对运动而发生电磁感应现象：当导体在磁场中做切割磁感线的相对运动时，就将在导体中激起感应电动势。这种发生电磁感应现象的方式可以用运动电荷在磁场中受到洛仑兹力的作用来解释。‎ ‎②磁场变化使穿过磁场中闭合回路的磁通量改变而发生电磁感应现象：当磁场的强弱改变而使穿过磁场中的闭合回路程的磁通量发生变化时，就将在闭合回路程里激起感应电流。这种发生电磁感应现象的方式可以用麦克斯韦的电磁场理论来解释。‎ ‎（4）引起磁通量变化的常见情况 ‎（1）线圈在磁场中转动；‎ ‎（2）线圈在磁场中面积发生变化；‎ ‎（3）线圈中磁感应强度发生变化；‎ ‎（4）通电线圈中电流发生变化。‎ ‎2、感应电流方向的判断 ‎（1）右手定则：伸开右手，让拇指跟其余四指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，让磁感线垂直从手心进入，拇指指向导体运动的方向，其余四指指的就是感应电流的方向。‎ 四指指向还可以理解为：感应电动势的方向、该部分导体的高电势处。‎ 用右手定则时应注意：‎ ①主要用于闭合回路的一部分导体做切割磁感线运动时，产生的感应电动势与感应电流的方向判定。‎ ②右手定则仅在导体切割磁感线时使用，应用时要注意磁场方向、运动方向、感应电流方向三者互相垂直．‎ ③当导体的运动方向与磁场方向不垂直时，拇指应指向切割磁感线的分速度方向．‎ ④若形成闭合回路，四指指向感应电流方向；若未形成闭合回路，四指指向高电势．‎ ⑤“因电而动”用左手定则．“因动而电”用右手定则．‎ ⑥应用时要特别注意：四指指向是电源内部电流的方向(负→正)．因而也是电势升高的方向；即：四指指向正极。‎ ‎（2）楞次定律(判断感应电流方向)‎ ‎①楞次定律的内容：感应电流具有这样的方向，感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化．‎ ‎(感应电流的)磁场(总是)阻碍(引起感应电流的磁通量的)变化 ‎(定语)主语(状语)谓语(补语)宾语 ‎②对楞次定律中阻碍二字的正确理解 ‎“阻碍”不是阻止，这里是阻而未止。阻碍磁通量变化指：‎ 磁通量增加时，阻碍增加(感应电流的磁场和原磁场方向相反，起抵消作用)；‎ 磁通量减少时，阻碍减少(感应电流的磁场和原磁场方向一致，起补偿作用)，简称“增反减同”．‎ ‎③理解楞次定律要注意四个层次:‎ 谁阻碍谁?是感应电流的磁通量阻碍原磁通量;‎ 阻碍什么?阻碍的是磁通量的变化而不是磁通量本身;‎ 如何阻碍?当磁通量增加时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相反，当磁通量减小时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相同，即”增反减同”;‎ 结果如何?阻碍不是阻止，只是延缓了磁通量变化的快慢，结果是增加的还是增加，减少的还是减少。‎ ‎（3）楞次定律的应用步骤“一原、二感、三电流”‎ ‎①明确引起感应电流的原磁场在被感应的回路上的方向；‎ ‎②搞清原磁场穿过被感应的回路中的磁通量增减情况；‎ ‎③根据楞次定律确定感应电流的磁场的方向；‎ ‎④运用安培定则判断出感生电流的方向。‎ ‎（4）楞次定律的灵活运用，楞次定律的拓展 楞次定律的广义表述：感应电流的效果总是反抗（或阻碍）引起感应电流的原因。‎ 主要有四种表现形式：‎ ‎1、当闭合回路中磁通量变化而引起感应电流时，感应电流的效果总是阻碍原磁通量的变化。‎ ‎2、当线圈和磁场发生相对运动而引起感应电流时，感应电流的效果总是阻碍二者之间的相对运动（来拒去留）。‎ 在一些由于某种相对运动而引起感应电流的电磁感应现象中，如运用楞次定律从“感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的原磁场的磁通量变化”出发来判断感应电流方向，往往会比较困难，对于这样的问题，在运用楞次定律时，一般可以灵活处理，考虑到原磁场的磁通量变化又是由相对运动而引起的，于是可以从“感应电流的磁场阻碍相对运动”出发来判断。‎ ‎3、当线圈面积发生变化而引起感应电流时，感应电流的效果总是阻碍回路面积的变化。‎ ‎4、当线圈中自身电流发生变化而引起感应电流时，感应电流的效果总是阻碍原电流的变化（自感现象）。‎ ‎3、几种定则、定律的适用范围 ‎『题型解析』‎ 类型题： 电磁感应现象 ‎ ‎【例题】如图所示，O1O2是矩形导线框abcd的对称轴，其左方有垂直于纸面向外的匀强磁场。以下哪些情况下abcd中有感应电流产生？方向如何？‎ a d b c O1‎ O2‎ A．将abcd 向纸外平移 B．将abcd向右平移 C．将abcd以ab为轴转动60°‎ D．将abcd以cd为轴转动60°‎ 解：A、C两种情况下穿过abcd的磁通量没有发生变化，无感应电流产生。B、D两种情况下原磁通向外，减少，感应电流磁场向外，感应电流方向为abcd。‎ 类型题： 楞次定律的应用 ‎ ‎1．就磁通量而言，感应电流产生的效果总是阻碍引起感应电流的磁通量（原磁通量）的变化。即当原磁通量增加时，感应电流的磁场就与原磁场方向相反；当原磁通量减小时，感应电流的磁场就与原磁场方向相同。简称口诀“增反减同”。注意区分两种磁场：一是研究对象所在位置的磁场和线框中感应电流产生的磁场 ‎【例题】如图，在同一铁芯上绕两个线圈A和B，单刀双掷开关S原来接触点1，现在把它扳向触点2，则在开关S断开1和闭合2的过程中，流过电阻R中电流的方向是：（ ）‎ A．先由P到Q，再由Q到P ‎ B．先由Q到P，再由P到Q ‎ C．始终是由Q到P ‎ D．始终是由P到Q ‎★解析：R中电流方向，取决于B线圈产生的感应电流方向；B中感应电流的产生，是由B中磁通量的变化所引起，B中磁通量的变化是由A线圈中电流变化来决定。‎ 当S接触点1时，A和B中的原磁场方向均向右，当S断开触点1时，B中向右的磁通量减少，B中感应电流的磁场阻碍原磁通量的减少，从而B中感应电流的磁场也向右，由楞次定律和安培定则可以判断R中电流方向由Q到P。‎ 当S由断开到闭合2触点的瞬间，B中由原来没有磁场到出现向左的磁场，则B中原磁通量为向左增加，由楞次定律可知，B中产生的感应电流的磁场方向仍为向右，故R中电流方向仍为Q到P。‎ 答案： C。‎ ‎【例题】如图所示装置中，cd杆原来静止。当ab 杆做如下那些运动时，cd杆将向右移动？‎ c a ‎ d b L‎2 L1‎ A．向右匀速运动 B．向右加速运动 C．向左加速运动 D．向左减速运动 解：.ab 匀速运动时，ab中感应电流恒定，L1中磁通量不变，穿过L2的磁通量不变化，L2中无感应电流产生，cd保持静止，A不正确；ab向右加速运动时，L2中的磁通量向下，增大，通过cd的电流方向向下，cd向右移动，B正确；同理可得C不正确，D正确。选B、D ‎【例题】如图所示，条形磁体附近放置有三个矩形线圈A、B、C，A在N极附近A1处垂直磁体，B在N极附近B1处平行于磁体，C在S极上方附近C1处平行于磁体，分析下列情况下线圈中感应电流的方向。‎ ‎（1）A线圈从A1处向右平动，经过A2处到达S极附近A3处的过程中；A2为磁体的正中间。‎ ‎（2）B线圈从B1处向右平动，经过B2处到达S极附近B3处的过程中；B2为磁体的正中间。‎ ‎（3）C线圈从C1处向下平动，经过C2处到达S极下方附近C3处的过程中；C2为S极中线位置。‎ ‎★解析：要判断线圈在磁体附近移动时感应电流情况，关键是确定线圈中磁通量的变化情况。‎ ‎（1）A线圈移动时，垂直A线圈的磁场分量均为向右，当A线圈在A2处时，线圈中的磁通量最大；线圈在A1和A3处时磁通量的大小相等（如图所示）。当线圈由A1位置移到A2位置的过程中，线圈中向右的磁通量增加，由楞次定律可知，这一过程中，线圈中感应电流的磁场方向向左，则线圈中感应电流方向为逆时针方向（从左向右看）。当线圈由A2位置移到A3位置过程中，线圈中向右的磁通量减少，则线圈中感应电流的磁场方向向右，故线圈中感应电流方向为顺时针方向（从左向右看）。当线圈在A2处时，线圈中磁通量最大，但磁通量变化率为零，此时无感应电流产生。‎ ‎（2）B线圈在磁体下方，线圈平面平行于磁体。线圈在B1位置时，垂直线圈平面的分磁场竖直向下，线圈在B3位置时，垂直线圈平面的分磁场竖直向上，在B1和B3位置时线圈中磁通量的大小相等；线圈在B2位置时，线圈中的磁通量为零（进入和穿出线圈的磁通量的代数和为零）（如图所示）。当线圈由B1位置移到B2位置的过程中，垂直线圈平面的分磁场竖直向下并逐渐减少，由楞次定律可以判断B线圈在这一过程中，感应电流的磁场方向向下，感应电流方向为顺时针方向（从上向下看）。线圈从B2位置移向B3位置的过程中，垂直线圈平面的分磁场竖直向上并逐渐增加，则B线圈在这一过程中，感应电流的磁场方向仍为竖直向下，感应电流方向仍为顺时针方向（从上向下看）。当B线圈移到B2位置时，此时尽管线圈中磁通量为零，但线圈中仍有感应电流；从切割磁感线的角度看，线圈的ab边和cd边分别切割磁感线的竖直分量，由右手定则可以判断ab边所产生的感应电动势方向由a指向b，cd边所产生的感应电动势由c指向d，两电动势同向串连，使感应电流方向仍为顺时针方向（从上向下看）。‎ ‎（3）C线圈由C1位置移到C2位置时的过程中，垂直线圈平面的磁通量向下减少；由C2位置移到C3位置的过程中，线圈中的磁通量向上增加；当线圈位于C2位置时，线圈平面与磁感线平行，线圈中的磁通量为零，（如图所示）。由楞次定律可以判断，C线圈在由C1位置移到C2位置的过程中，感应电流的磁场方向竖直向下，感应电流方向为顺时针方向（从上向下看）。在由C2位置移到C3位置的过程中，感应电流的磁场方向仍为竖直向下，感应电流方向仍为顺时针方向（从上向下看）。线圈在C2‎ 位置时，尽管线圈中磁通量为零，但线圈中仍有感应电流。一方面可以看成线圈中磁通量正处在向下减少到向上增加的转变过程，另一方面从切割磁线看，ab边和cd边都切割磁感线，由右手定则可以判断，ab和cd都产生感应电动势，感应电动势的方向分别为由b到a和由c到d，但ab处磁感应强度较大些，则ab切割磁感线产生的感应电动势比cd要大，所以线圈中总电动势不为零，使感应电流方向仍为顺时针方向（从上向下看）。‎ 答案：（1）A线圈由A1位置移到A2位置的过程中，感应电流方向为逆时针方向（从左向右看）。由A2位置移到A3位置过程中，感应电流方向为顺时针方向（从左向右看）。当线圈在A2处时，无感应电流；‎ ‎（2）B线圈由B1位置移到B3位置的过程中，感应电流方向始终为顺时针方向（从上向下看）。‎ ‎（3）C线圈由C1位置移到C3位置的过程中，感应电流方向始终为顺时针方向（从上向下看）。‎ ‎【例题】如图1所示，一水平放置的矩形线圈abcd，在细长的磁铁的N极附近竖直下落，保持bc边在纸外，ad边在纸内，从图中的位置Ⅰ经过位置Ⅱ到位置Ⅲ，位置Ⅰ和Ⅲ都很靠近Ⅱ，在这个过程中，线圈中感应电流（ ）‎ A．沿abcd流动 B．沿dcba流动 C．由Ⅰ到Ⅱ都是abcd流动，由Ⅱ到Ⅲ是dcba流动 D．由Ⅰ到Ⅱ都是dcba流动，由Ⅱ到Ⅲ是abcd流动 ‎★解析：分析N极右侧附近的磁场，在I位置通过线圈的磁场斜向上，到II位置时，通过线圈的磁场方向与线圈平面平行，故磁通量为零。因此从I到II过程中，向上的磁通量减少，因为感应电流的磁场与原磁场方向相同，即向上，由安培定则可知感应电流方向为abcd流动;而在III位置时通过线圈的磁场方向斜向上，因此从II到III过程中，通过线圈的磁通量增加，故感应电流磁场与原磁场方向相反，即向上，由安培定则可知感应电流方向仍为abcd方向，故A项正确。‎ ‎【例题】如图所示，螺线管A外接一平行轨道，轨道上垂直放置金属杆cd，cd所处位置有垂直轨道平面向里的匀强磁场；螺管B外接一根固定的直导体ef，平行于ef放置一根通电软导线ab，ab中电流方向由a向b。当导体棒cd向左运动时，发现软导线ab：①不动；②左偏；③右偏；试分析cd棒对应的运动状态？‎ ‎★解析：这是一个多种电磁现象相伴产生同时出现的问题。cd切割磁感线运动是最初的原因，ab受力是最后形成的结果。分析这类问题，有两种思维方式，一是顺向思维；由于已知cd是向左运动，其运动状态有三种可能：即匀速运动、加速运动、减速运动，分别就三种运动形式分析出ab的受力。一是逆向思维；从ab受力分析开始，追根溯源，最终可确定cd的运动状态。‎ ‎（1）顺向思维：假设cd向左加速运动，由右手定则可知，cd中出现由d向c的逐渐增加的感应电流，由安培定则可知，A中出现向下的逐渐增加的磁场，则B中的磁通量向下逐渐增加；由楞次定律可知，B中产生感应电流，使ef中电流方向为e向f，则ef中电流与ab中电流为同向，同向平行电流相互吸引，故ab向右偏。‎ ‎（2）逆向思维：ab软导线向左偏，表明ab、ef是相互排斥，则ef中感应电流为由f向e，B线圈中感应电流由g经B流向h，B中感应电流的磁场方向向下。由楞次定律可知，B中原磁通量可能是向下减少，也可能向上增加。‎ 若B中原磁通量为向下减少，则A中磁场也为向下减小，由安培定则可知，A中存在方向由i经A至j、大小逐渐减小的电流，则cd中有方向由d指向c、大小逐渐减小的感应电动势，由右手定则和直导体切割磁感线产生感应电动势可知cd棒向左减速运动。‎ 若B中原磁通量为向上增加，同理可分析出cd棒为向右加速运动（不符合题意）。‎ ‎（3）学生自己可以分析出当cd匀速移动时，ab导线不动。‎ 答案：①匀速运动；②减速运动；③加速运动。‎ ‎【例题】在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一圆形导体环．规定导体环中电流的正方向如图1所示，磁场向上为正．当磁感应强度 B 随时间 t 按图2变化时，下列能正确表示导体环中感应电流变化情况的是 (C)‎ ‎【例题】矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下静止不动，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感应强度Ｂ随时间变化的图象如图所示．t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里，在0～4 s内，线框ab边受力随时间变化的图象（力的方向规定以向左为正方向）可能是下图中的（D）‎ ‎【例题】如图所示，金属导轨上的导体棒ab在匀强磁场中沿导轨做下列哪种运动时，铜制线圈c中将有感应电流产生且被螺线管吸引的是(C)‎ A．向右做匀速运动 B．向左做匀速运动 C．向右做减速运动 D．向右做加速运动 ‎【例题】如图所示，闭合导体环固定。条形磁铁S极向下以初速度v0沿过导体环圆心的竖直线下落过程，导体环中的感应电流方向如何？‎ N S v0‎ M 解：从“阻碍磁通量变化”来看，当条形磁铁的中心恰好位于线圈M所在的水平面时，磁铁内部向上的磁感线都穿过了线圈，而磁铁外部向下穿过线圈的磁通量最少，所以此时刻穿过线圈M的磁通量最大。因此全过程中原磁场方向向上，先增后减，感应电流磁场方向先下后上，感应电流先顺时针后逆时针。‎ 从“阻碍相对运动”来看，线圈对应该是先排斥（靠近阶段）后吸引（远离阶段），把条形磁铁等效为螺线管，该螺线管中的电流是从上向下看逆时针方向的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”‎ ‎，感应电流方向应该是先顺时针后逆时针的，与前一种方法的结论相同。‎ ‎2．就相对运动而言，阻碍所有的相对运动，简称口诀“来拒去留”。从运动的效果上看，也可以形象地述为“敌”进“我”退，“敌”逃“我”追。‎ ‎【例题】如图所示，当磁铁绕O1O2轴匀速转动时，矩形导线框（不考虑重力）将如何运动？‎ O2‎ O1‎ ‎★解析：本题分析方法很多，最简单的方法是：从“阻碍相对运动”的角度来看，导线框一定会跟随条形磁铁同方向转动起来。如果不计一切摩擦阻力，最终导线框将和磁铁转动速度无限接近到可以认为相同；如果考虑摩擦阻力，则导线框的转速总比条形磁铁转速小些（线框始终受到安培力矩的作用，大小和摩擦力的阻力矩相等）。如果用“阻碍磁通量变化”来分析，结论是一样的，但是叙述要复杂得多。可见这类定性判断的题要灵活运用楞次定律的各种表达方式。‎ ‎【例题】如图所示，矩形闭合线圈放置在水平薄板上，有一块蹄形磁铁如图所示置于平板的正下方（磁极间距略大于矩形线圈的宽度。）当磁铁匀速向右通过线圈时，线圈仍静止不动，那么线圈受到薄板的磨擦力方向和线圈中产生感应电流的方向（从上向下看）是( AC ）‎ ‎ A．磨擦力方向一直向左 ‎ B．磨擦力方向先向左、后向或右 ‎ C．感应电流的方向顺时针→逆时针→逆时针→顺时针 ‎ D．感应电流的方向顺时针→逆时针 ‎【例题】如图所示，水平面上有两根平行导轨，上面放两根金属棒a、b。当条形磁铁如图向下移动时（不到达导轨平面），a、b将如何移动？‎ a b ‎★解析：若按常规用“阻碍磁通量变化”判断，则需要根据下端磁极的极性分别进行讨论，比较繁琐。而且在判定a、b所受磁场力时。应该以磁极对它们的磁场力为主，不能以a、b间的磁场力为主（因为它们的移动方向由所受的合磁场的磁场力决定，而磁铁的磁场显然是起主要作用的）。如果注意到：磁铁向下插，通过闭合回路的磁通量增大，由Φ=BS可知磁通量有增大的趋势，因此S的相应变化应该是阻碍磁通量的增加，所以a、b将互相靠近。这样判定比较起来就简便得多。‎ ‎【例题】如图所示，绝缘水平面上有两个离得很近的导体环a、b。将条形磁铁沿它们的正中向下移动（不到达该平面），a、b将如何移动？‎ a b ‎★解析：根据Φ=BS，磁铁向下移动过程中，B增大，所以穿过每个环中的磁通量都有增大的趋势，由于S不可改变，为阻碍增大，导体环应该尽量远离磁铁，所以a、b将相互远离。‎ ‎3．就闭合回路的面积而言，致使电路和面积有收缩或扩张的趋势。收缩或扩张是为了阻碍电路磁通量的变化。若穿过闭合电路的磁感线皆朝同一个方向，则磁通量增大时，面积有收缩的趋势；磁通量减少时，面积有扩张的趋势。简称口诀“增缩减扩”。‎ ‎【例题】如图所示，通有稳恒电流的长直螺线管竖直放置，铜环R沿螺线管的轴线加速下落。在下落过程中，环面始终保持水平。铜环先后经过轴线上1、2、3位置时的加速度分别为a1、a2、a3。位置2处于螺线管的中心，位置1、3与位置2等距离。设重力加速度为g，则：（ ）‎ A．a1＜a2＝g B．a3＜a1＜g ‎ C．a1＝a3＜a2 D．a3＜a1＜a2‎ ‎★解析：通过恒定电流的螺线管周围及内部磁场分布类似于条形磁体，铜环下落过程中，通过1位置时磁通量在增加，通过2位置时磁通量最大，通过3位置时磁通量在减少。可以用楞次定律判断铜环中感应电流的磁场方向，确定铜环所受作用力的方向，从而分析铜环运动过程中的加速度。‎ 本题更直接的方法是应用楞次定律的广义表述：感应电流的效果总是阻碍引起感应电流的原因；当铜环经过1位置时，正在靠近螺线管，铜环受到的磁场力阻碍铜环靠近螺线管（来拒），则加速度a1＜g；当铜环经过位置3时，正在远离螺线管，铜环受到的磁场力阻碍铜环远离螺线管（去留），则加速度a3＜g；当铜环经过2位置时，环中磁通量最大，且运动方向与磁场平行，故不产生感应电流，则加速度a2＝g。‎ 又由于从1位置经2位置到3位置的过程中，铜环的速度在逐渐增加，即V3＞V1，故铜环在3位置处所受磁场力比在1位置时所受磁场力大，故a1＞a3。‎ 答案：综合考虑则有：a3＜a1＜a2＝g，答案为（ABD）‎ 点评：应用楞次定律定性分析电磁感应现象时，针对具体情景，有时利用楞次定律的广义表述，可能更为方便；如感应电流的效果可能是：阻碍磁通量的变化、阻碍相对运动、阻碍回路面积的变化、阻碍原电流的变化等，在后面的练习中要认真体会。‎ ‎【例题】如图所示，光滑固定导体轨M、N水平放置，两根导体棒P、Q平行放于导轨上，形成一个闭合路，当一条形磁铁从高处下落接近回路时（ ）‎ A．P、Q将互相靠拢 B．P、Q相互相远离 C．磁铁的加速度仍为g D．磁铁的加速度小于g ‎★解析：从阻碍回路面积变化的角度看:当磁铁靠近闭合回路时，磁通量增加，两导体棒由于受到磁场对其中感应电流力的作用而互相靠拢以阻碍磁通量的增加，故A 项正确;从阻碍相对运动角度看:磁铁靠近回路时必受到阻碍靠近的向上的力的作用，因此磁铁的加速度小于g，故D项正确。‎ 点评：本题属于楞次定律的拓展应用范围，通过感应电流阻碍相对运动和引起面积变化的两个角度阻碍磁通量的变化，表明了感应电流产生的“原因”和“结果”之间的规律，对于以后关于应用楞次定律的应用提供了便利条件 ‎【例题】如图所示，在条形磁铁从图示位置绕O1O2轴转动90°的过程中，放在导轨右端附近的金属棒ab将如何移动？‎ O‎1 a O2 b ‎★解析：无论条形磁铁的哪个极为N极，也无论是顺时针转动还是逆时针转动，在转动90°过程中，穿过闭合电路的磁通量总是增大的（条形磁铁内、外的磁感线条数相同但方向相反，在线框所围面积内的总磁通量和磁铁内部的磁感线方向相同且增大。而该位置闭合电路所围面积越大，总磁通量越小，所以为阻碍磁通量增大金属棒ab将向右移动。‎ ‎4．感应电流（或感应电动势）的方向阻碍原电流的变化 ‎【例题】A和B是两个大小相同的环形线圈，将两线圈平行共轴放置，如图3甲所示，当线圈在A中的电流i1随时间变化的图像如图乙所示时，若规定电流方向如图甲所示的方向为正方向，则线圈B中的电流i2随时间t变化的图像是图4中的：‎ ‎★解析：在第一阶段原电流减少，故线圈B中的磁场减弱，所以感应电流磁场与原感应电流产生磁场方向相同；在第二阶段，原电流反向增大，故线圈B中的磁场增强，所以感应电流磁场与原感应电流产生磁场方向相反。‎ 若根据感应电流阻碍原电流的变化，第一阶段，原电流反向减少，则感应电流所原电流方向相同，即为负向；第二阶段，原电流正向增加，则感应电流与原电流方向相反，即感应电流仍为负。所以正确选项为D 类型题： 二次感应问题 ‎ 一个回路中磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，那么，（1）若此电流是变化的，则它会在邻近的另一回路产生感应电流；（2）若此电流是恒定的，则它不会在邻近的另一回路中产生感应电流 ‎【例题】如图所示，MN和PQ为两根足够长的水平光滑金属导轨，导轨电阻不计，变压器为理想变压器，现在水平导轨部分加一竖直向上的匀强磁场，金属棒ab与导轨电接触良好，则以下说法正确的是（ CD ）‎ A．若ab棒匀速运动，则IR≠0，IC≠0‎ B．若ab棒匀速运动，则IR≠0，IC＝0‎ C．若ab棒在某一中心位置两侧做简谐运动，则IR≠0，IC≠0‎ D．若ab棒做匀加速运动，IR≠0，IC＝0‎ 如图所示，MN利PQ为处于同一水平面内的两根平行的光滑金属导轨，垂直导轨放置的金属棒ab与导轨接触良好，在水平金属导轨之间加竖直向—卜的匀强磁场，导轨的N、Q端按理想变压器的初级线圈，理想变压器的输出端有三组次级线圈，分别接有电阻元件R、电感元件L和电容元件C。若用IR、IL、IC分别表示通过R、L和C的电流，不考虑电容器的瞬间充放电，则下列判断中正确的是 BD A．若ab棒匀速运动，则 B．若ab棒匀加速运动，则 C．若ab棒做加速度变小的加速运动，则 D．若ab棒在某一中心位置附近做简谐运动，则 ‎【例题】如图5所示，水平放置的两条光滑轨道上有可自由移动的金属棒PQ、MN，当PQ在外力作用下运动时，MN在磁场力作用下向右运动，PQ所做的运动可能是（ ）‎ A、向右匀加速运动 B、向左匀加速运动 C、向右匀减速运动 D、向左匀减速运动 ‎★解析：当MN在磁场力作用下向右运动，根据左手定则可在通过MN的电流方向为M à N，故线圈B中感应电流的磁场方向向上;要产生该方向的磁场，则线圈A中的磁场方向向上，磁场感应强度则减弱;磁场方向向下，磁场强度则增加。若是第一种情况，则PQ中感应电流方向QàP，且减速运动，所以PQ应向右减速运动;同理，则向右加速运动。故BC项正确。‎ 点评：二次感应问题是两次利用楞次定律进行分析的问题，能够有效考查对楞次定律的理解是准确、清晰。要注意：B线圈中感应电流的方向决定A线圈中磁场的方向，B线圈中电流的变化情况决定A线圈中磁通量的变化情况，把握好这两点即可结合楞次定律顺利解决此类问题 第二模块：法拉第电磁感应定律 ‎『夯实基础知识』‎ 法拉第电磁感应定律：‎ 在电磁感应现象中，电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。公式： ，其中n为线圈的匝数。‎ 法拉第电磁感应定律的理解 ‎（1）的两种基本形式：①当线圈面积S不变，垂直于线圈平面的磁场B发生变化时，；②当磁场B不变，垂直于磁场的线圈面积S发生变化时，。‎ ‎（2）感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率，与φ的大小及△φ的大小没有必然联系。‎ ‎（3）若为恒定（如：面积S不变，磁场B均匀变化，，或磁场B不变，面积S均匀变化，），则感应电动势恒定。若为变化量，则感应电动势E也为变化量，计算的是△t时间内平均感应电动势，当△t→0时，的极限值才等于瞬时感应电动势。‎ ‎5．磁通量、磁通量的变化、磁通量的变化率 ‎（1）磁通量是指穿过某面积的磁感线的条数，计算式为，其中θ为磁场B与线圈平面S的夹角。‎ ‎（2）磁通量的变化指线圈中末状态的磁通量与初状态的磁通量之差，，计算磁通量以及磁通量变化时，要注意磁通量的正负。‎ ‎（3）磁通量的变化率。磁通量的变化率是描述磁通量变化快慢的物理量。表示回路中平均感应电动势的大小，是图象上某点切线的斜率。与以及没有必然联系。‎ ‎6、对公式E =Blv的研究 ‎（1）公式的推导 取长度为1的导体棒ab ，强度垂直于磁场方向放在磁感强度为B的匀强磁场中，当棒以速度v做垂直切割磁感线运动时，棒中自由电子就将受到洛仑兹力fb=evB的作用，这将使的a、b两端分别积累起正、负电荷而在棒中形成电场，于是自由电子除受fb作用外又将受到电场力fc=eE，开始a、b两端积累的电荷少，电场弱，fc小，棒两端积累的电荷继续增加，直至电场力与洛仑兹力平衡：fc=fB。由于fB移动电荷，使得做切割磁感线运动的ab棒形成一个感应电源，在其外电路开路的状态下，电动势（感应电动势）与路端电压相等，即E=Uab=El，于是由 ‎，便可得E = lvB ‎（2）与公式E =的比较。‎ 当把法拉第电磁感应定律E =中的理解为切割导体在时间内“扫过的磁通量”时，就可用E =直接推导出。因此公式E = lvB实际上可以理解为法拉第电磁感应定律在导体切割磁感线而发生电磁感应现象这种特殊情况下的推论。‎ 一般地说，公式E = lvB只能用于计算导体切割磁感线时产生的感应电动势。公式 E =则可以用来计算所有电磁感应现象中产生的感应电动势；但公式E =只能用于计算在时间内的平均感应电动势，而公式E = lvB则既可以用来计算某段时间内的平均感应电动势，又可以用来计算某个时刻的瞬时感应电动势，只要把公式中的v分别以某段时间内的平均速度或某个时刻的瞬时速度代入即可。‎ ‎（3）适用条件 除了磁场必须是匀强的外，磁感强度B、切割速度v、导体棒长度l三者中任意两个都应垂直的，即这三个关系必须是同时成立的。如有不垂直的情况，应通过正交分解取其垂直分量代入。‎ ‎（4）公式中l的意义 公式E = lvB中l的意义应理解为导体的有效切割长度。所谓导体的有效切割长度，指的是切割导体两端点的连线在同时垂直于v和B的方向上的投影的长度。‎ ‎（5）公式中v的意义 对于公式E = lvB中的v，首先应理解为导体与磁场间的相对速度，所以即使导体不动因则磁场运动，也能使导体切割磁感线而产生感应电动势；其次，还应注意到v应该是垂直切割速度；另外，还应注意到在“旋转切割”这类问题中，导体棒上各部分的切割速度不同，此时的v则应理解为导体棒上各部分切割速度的平均值，在数值上一般等于旋转导体棒中点的切割速度。‎ ‎5、自感现象 ‎1．自感现象 ‎（1）当闭合回路的导体中的电流发生变化时，导体本身就产生感应电动势，这个电动势总是阻碍导体中原来电流的变化。这种由于导体本身的电流发生变化而产生的电磁感应现象，叫做自感现象。‎ 通电自感和断电自感 在课本中介绍通电过程产生的自感演示实验中（如图所示），先闭合S，调节R1、R，使两灯均正常发光。然后断开S。重新接通电路时可以看到，跟有铁芯的线圈L串连的灯泡A1却是逐渐亮起来的，“逐渐”并不是一个缓慢的长过程，“逐渐”的时间实际是很短的，只是相对同时变化而言。‎ 介绍断电过程产生的自感演示实验中（如图所示），接通电路，灯泡A 正常发光。断开电路，可以看到灯泡A没有立即熄灭，相反，它会很亮地闪一下 。这里很亮地闪一下是有条件的，即S接通时，流过线圈中的电流要大于流过灯泡中的电流，因为S断开时，灯泡和线圈组成的回路中的电流，是以线圈中的原电流为初始电流，再减小到零的。‎ ‎（2）实质：由于回路中流过导体自身的电流发生变化而产生的电磁感应现象。‎ ‎（3）电流变化特点：由于感应电流总是阻碍线圈中自身电流的增大或减小，故其本身的电流的增大或减小总表现为一种“延缓”效应。即电流变化的同时产生影响导体中电流变化的因素，此瞬时电流不会发生突变，而是较慢地达到那种变化。‎ ‎2、自感电动势 ‎（1）概念：在自感现象中产生的感应电动势叫自感电动势。其效果表现为延缓导体中电流的变化。‎ ‎（2）大小：‎ ‎（3）方向:当流过导体的电流减弱时，E自的方向与原电流的方向相同，当流过导体的电流增强时，E自的方向与原电流的方向相反。‎ ‎3、自感系数 ‎（1）不同的线圈在电流变化快慢相同的情况下，产生的自感电动势不同；在电学中，用自感系数来描述线圈的这种特性。用符号“L”表示。‎ ‎（2）决定因素：线圈的横截面积越大、线圈越长、单位长度上的线圈匝数越多，自感系数越大；有铁芯比无铁芯时自感系数要大得多。‎ ‎（3）单位：享利，简称“享”，符号“H”。常用的有毫享（mH）和微享（μH）。1H＝103mH＝106μH ‎（4）物理意义：表征线圈产生自感电动势本领的大小。数值上等于通过线圈的电流在1s内改变‎1A时产生的自感电动势的大小。‎ ‎4、自感现象的应用和防止 ‎（1）应用：如日光灯电路中的镇流器，无线电设备中和电容器一起组成的振荡电路等。利用自感现象，可以适当地增大自感系数。‎ ‎（2）危害及防止：在自感系数很大而电流又很强的电路中，切断电路的瞬时，会因产生很高的自感电动势而出现电弧，从而危及工作人员和设备的安全，此时可用特制的安全开关。制作精密电阻时，采用双线绕法，防止自感现象的发生、减小因自感而造成的误差。也可以通过阻断形成自感所必需的通路或设法减小自感系数来减少自感的危害。‎ ‎（二）日光灯原理 ‎1、启动器：基本结构如图所示，它是利用氖管内的氖气放电产生辉光的热效应和双金属片的热学特征，起着自动把电路接通或断开的作用，相当于一个自动开关。‎ ‎2、镇流器：镇流器是一个带铁芯的线圈，自感系数很大。在日光灯点燃时，利用自感现象，产生瞬时高压加在灯管两端，促使灯管里的低压汞蒸气放电，形成闭合电路；在日光灯正常工作时，利用自感现象，起着降压限流的作用。‎ ‎3、日光灯的工作原理：电路结构如图所示，当开关接通时，由于灯管里气体受激发导电时需要比220V高得多的电压，此时灯管并没有通电；电压加在启动器两端，当启动器两触片间的电压增加到某一数值时，启动器里的氖气放电而发出辉光，产生的热量使启动器里U形动触片膨胀张开，跟静触片接触而把电路导通，于是镇流器的线圈和日光灯的灯丝就有电流通过，电路导通后，启动器中两触片间的电压为零，启动器里的氖气停止放电，不产生辉光，U形动触片冷却缩回，电路自动断开。‎ 电路断开的瞬间，由于镇流器中的电流急剧减小，会产生很大的自感电动势，其方向与原先电流方向相同，即与原先加在灯管两端的电压方向相同。这个电动势与原电压加在一起形成了一个瞬时高压，加在灯管两端，使灯管中的气体开始放电导通，气体放电时产生的紫外线打到涂有荧光粉的管壁上，发出柔和的白光。‎ 当日光灯正常工作时，灯管的电阻变得很小，只允许通过不大的电流。日光灯使用的是交变电流，其大小和方向都在不断变化。镇流器中的线圈会产生一个自感电动势，阻碍电流的变化。这时，镇流器起着降压限流的作用 ‎『题型解析』‎ 类型题： 法拉弟电磁感应定律 ‎ ‎1．导体棒切割磁感线 ‎【例题】“卫星悬绳发电”是人类为寻找卫星的新型电力能源供应系统而进行的实验。假设在实验中，用飞机拖着一根很长的金属线（其下端悬挂一个金属球，以保证金属线总是呈竖直状态）在高空环绕地球飞行，且每次飞经我国上空时都是由西北方向飞向东南方向，则下列说法正确的是 AB A．这是利用运动导线切割地磁场的磁感线产生感应电动势的原理，金属相当于发电机的绕组 B．该发电机产生直流电，且金属线上端为正极 C．该发电机产生直流电，且金属线的上端为负极 D．该发电机产生交流电，当飞机在北半球由西向东飞行时，金属线的上端为其正极；当飞机在南半球由西向东飞行时，金属线的上端为其负极 ‎【例题】如图所示，矩形线圈处于匀强磁场中，当磁场分别按图（1）图（2）两种方式变化时，t0时间内线圈产生的电能及通过线圈某一截面的电量分别用W1、W2、q1、q2表示，则下列关系式正确的是（ A ）‎ A．W1= W2 q1= q 2 B．W1>W2 q1= q 2‎ C．W1< W2 q1< q 2 D．W1> W2 q 1> q 2‎ ‎【例题】如图所示，导体棒和固定导轨良好接触，与电阻R组成闭合回路处于竖直平面内，匀强磁场沿水平方向，并与导轨平面垂直。将长度相同、质量不同的导体棒ab置于固定导轨上无初速释放，导体棒进入磁场区域下落一段距离后将以某，一速度匀速运动，这个速度称为下落的终极速度。如果磁场区域足够大，忽略导体棒、导轨电阻及摩擦阻力，那么下列关于导体棒的终极速度ν和它的重力大小G之间的关系图线中正确的是B ‎【例题】光滑水平面上放一边长为l的正方形金属框，有界匀强磁场的方向竖直向上，磁场区域的宽度为L，且L>l。金属框在水平恒力F作用下沿水平做直线运动，穿过磁场区域。已知ab边进入磁场时，金属框的加速度恰好为零，当cd边离开磁场时即撤去恒力F。则从线框的ab边进入磁场到cd边离开磁场的过程中，线框的速度随时间变化的图象是（ AC ）‎ ‎【例题】‎2006年7月1日，世界上海拔最高、线路最长的青藏铁路全线通车，青藏铁路安装的一种电磁装置可以向控制中心传输信号，以确定火车的位置和运动状态，其原理是将能产生匀强磁场的磁铁安装在火车首节车厢下面，如图甲所示（俯视图），当它经过安放在两铁轨间的线圈时，线圈便产生一个电信号传输给控制中心．线圈边长分别为l1和l2，匝数为n，线圈和传输线的电阻忽略不计．若火车通过线圈时，控制中心接收到线圈两端的电压信号u与时间t的关系如图乙所示（ab、cd均为直线），t1、t2、t3、t4‎ 是运动过程的四个时刻，则火车（ ACD ）‎ A．在t1~t2时间内做匀加速直线运动 B．在t3~t4时间内做匀减速直线运动 C．在t1~t2时间内加速度大小为 D．在t3~ t4时间内平均速度的大小为 ‎2．线框中磁通量发生变化 ‎【例题】）穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如下图①~④所示。下列关于回路中产生的感应电动势的论述中正确的是：(D)‎ A图①中回路产生的感应电动势恒定不变 B图②中回路产生的感应电动势一直在变大 C图③中回路0~t1时间内产生的感应电动势小于在t1~t2时间内产生的感应电动势 D图④中回路产生的感应电动势先变小再变大 ‎【例题】等离子气流由左方连续以速度射入P1和P2两板间的匀强磁场中，ab直导线与P1P2相连接，线圈A内有随图乙所示变化的磁场，且磁场B的正方向规定向左，如图甲所示，则下列叙述正确的是（ BD ） ‎ A．0~1s内，ab、cd导线互相排斥 B．1~2s内，ab、cd导线互相吸引 C．2~3s内，ab、cd导线互相吸引 D．3~4s内，ab、cd导线互相排斥 类型题： 自感现象的应用 ‎ ‎【例题】如图所示，电阻R1=3Ω，R2=6Ω，线圈的直流电阻不计，电源电动势E=5V，内阻r=1Ω。开始时，电键S闭合，则AC A、断开S前，电容器所带电荷量为零 B、断开S前，电容器两端的电压为10/3V C、断开S的瞬间，电容器a板带上正电 D、断开S的瞬间，电容器b板带上正电 ‎【例题】如图所示，电路中A、B是规格相同的灯泡，L是电阻可忽略不计的电感线圈，那么(AD)‎ A．合上S，A、B一起亮，然后A变暗后熄灭 B．合上S，B先亮，A逐渐变亮，最后A、B一样亮 C．断开S，A立即熄灭，B由亮变暗后熄灭 D．断开S，B立即熄灭，A闪亮一下后熄灭 ‎【例题】在生产实际中，有些高压直流电路中含有自感系数很大的线圈，当电路中的开关S由闭合到断开时，线圈会产生很高的自感电动势，使开关S处产生电弧，危及操作人员的人身安全。 为了避免电弧的产生，可在线圈处并联一个元件，在如图所示的方案中可行的是（ B ）‎ ‎【例题】在研究自感现象的实验中，用两个完全相同的灯泡a、b分别与自感系数很大的自感线圈L和定值电阻R组成如图所示的电路（自感线圈的直流电阻与定值电阻R 的阻值相等），闭合开关S达到稳定后两灯均可以正常发光。 关于这个实验下面的说法中正确的是（ C ） ‎ a b L R A．闭合开关的瞬间，通过a灯和b灯的电流相等 B．闭合开关后，a灯先亮，b灯后亮 C．闭合开关，待电路稳定后断开开关，a、b两灯过一会同时熄灭 D．闭合开关，待电路稳定后断开开关，b灯先熄灭，a灯后熄灭 ‎【例题】如图所示的电路中，三个相同的灯泡a、b、c和电感L1、L2与直流电源连接，电感的电阻忽略不计。电键K从闭合状态突然断开时，下列判断正确的有（AD）‎ ‎(A)a先变亮，然后逐渐变暗 ‎(B)b先变亮，然后逐渐变暗 ‎(C)c先变亮，然后逐渐变暗 ‎(D)b、c都逐渐变暗 ‎【例题】如图所示，当电键S接通后，通过线圈L的电流方向是__________，（填“从a到b”或“从b到a”，下同），通过灯泡的电流方向是_____ _____；电键S断开的瞬间，通过线圈L的电流方向是___________，通过灯泡的电流方向是___________。‎ ‎★解析：本题考查自感电流的方向问题。由于自感现象是一种特殊的电磁感应现象，同样满足楞次定律。要充分理解楞次定律中“阻碍”两字的含义。‎ 当电键闭合时，电源对灯泡和电感线圈组成的并联电路供电，电流从电源的正极流出，从a经电感线圈和灯泡流向b。‎ 当电键断开的瞬间，L中的电流不能突变为零，所以线圈L中的电流流向仍是从a到b，它相当于是一个电源向电灯供电，流过灯的电流方向是从b到a。‎ 答案：题中四空应依次填入：从a从b，从a从b，从a到b和从b到a。‎ 点评：通过本题的分析求解，我们可以得到一个结论：自感线圈在通电时起到电阻的作用，在断电时起到电源的作用。‎ 在开关断开的瞬间，不能认为流过灯泡的电流不变。发生自感现象时，“阻碍电流的变化”是指“阻碍发生自感的导体所在支路的电流变化”。‎ ‎【例题】如图所示，是用于观察自感现象的电路，设线圈的自感系数较大，线圈的直流电阻RL与小灯泡的电阻R满足R L＜R．则在电键S由闭合到断开瞬间，可以观察到　 （ C ）‎ A．灯泡立即熄灭 B．灯泡逐渐熄灭，不会闪烁 C．灯泡有明显的闪烁现象 D．灯泡会逐渐熄灭，但不一定有闪烁现象 类型题： 日光灯原理 ‎ ‎【例题】如图所示为日光灯示教电路，L为镇流器，S为启动器，下列操作中，观察到的正确现象是：（　　）‎ A、接通K1，K2接a，K3断开，灯管正常发光 B、灯管正常发光时，将K2由a迅速接到b，灯管将不再正常发光 C、断开K1、K3，令K2接b，待灯管冷却后再接通K1，可看到S闪光，灯管不能正常发光 D、取下S，令K2接a，再接通K1、K3，接通几秒后迅速断开K3，灯管可能正常发光 ‎★解析：本题在日光灯电路的基础上，多加两个开关K2和K3，以及灯泡D。以此来演示分析镇流器、启动器的作用。应该明确的是：启动器S在电路中起着“自动”开关的作用，用手动的方法也可代替；镇流器L的作用在于启动时提供瞬时高压和正常工作时的降压限流。‎ 按选项A的做法，电路就是一个常见的日光灯照明电路，故A选项正确。选项D是用手动开关K3来代替启动器S，如前面分析可知，这种做法是可行的，故D选项正确。灯管正常工作后，镇流器L只起降压限流的作用，其工作可由一个电阻来代替。故灯管正常工作后，将K2由a转到b，灯泡中的钨丝电阻替代镇流器工作，只要阻值合适，日光灯仍可正常发光，故B选项错误。镇流器L在启动器S中的双金属片断开的瞬间产生高压，促使日光灯管发光，而灯泡D不能代镇流器产生所需的高压，按选项C，只能看到S断续闪光，而灯管却不能正常发光。‎ 答案：本题正确选项为A、C、D 点评：本题是以一种较新颖的形式考查镇流器和启动器的作用，只有真正理解了它们的工作原理，才能灵活地使用其他方法予以替代。‎ 类型题： 电磁感应结合闭合电路的欧姆定律 ‎ ‎【例题】如图所示，直角三角形导线框abc固定在匀强磁场中，ab是一段长为、电阻为R 的均匀导线，ac和bc的电阻可不计，ac长度为。磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。现有一段长度为、电阻为的均匀导体杆MN架在导线框上，‎ 开始时紧靠ac，然后沿ab方向以恒定速度v向b端滑动。滑动中始终与ac平行并与导线框保持良好接触。当MN滑过的距离为时，导线ac中的电流是多大？方向如何？‎ ‎★解析：设MN滑过的距离为时，它与bc的接触点为P，如图所示，由几何关系可知MP的长度为，MP中的感应电动势，MP段的电阻 MacP和MbP两电路的并联电阻为 由欧姆定律，PM中的电流 ‎ ac中的电流 ‎ 解得 ‎ 根据右手定则，MP中的感应电流的方向由P流向M，所以电流Iac的方向由a流向c。‎ 技巧点拨：解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路．感应电动势的大小相当于电源电动势．其余部分相当于外电路，并画出等效电路图． ‎ ‎【例题】如图（a）所示的螺线管的匝数n=1500，横截面积S=‎20cm2，电阻r=1.5Ω，与螺线管串联的外电阻R1=1.0Ω，R2=3.5Ω．若穿过螺线管的磁场的磁感应强度按图（b）所示的规律变化，计算R1上消耗的电功率．‎ ‎★解析：由磁感应强度变化规律图象可知，螺线管中磁场磁感强度的变化率为 通电螺线管产生的感应电动势为 V 电路中感应电流大小为 A=‎‎1A 所以R1上消耗的电功率为W．‎ 答案：1.0W 类型题： 电磁感应与电路中电量的计算 ‎ ‎【例题】如图所示，平行导轨P、Q相距为d，两端分别接有阻值为R的电阻和电容为C的电容器；磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，方向如图；直导线aO的一端与导轨Q在O点相连，aO长为2d，开始aO与平行导轨垂直，当它以角速度ω顺时针方向转过600时，上端与导轨P分离（aO绕O转动时，保持与导轨P有良好接触），不考虑导轨P、Q与直导线aO的电阻。试分析计算：整个过程中有多少电荷量通过电阻R ？‎ ‎★解析：直导线aO顺时针方向转60°。在a端与P导轨分离前瞬时，闭合回路的面积增加值为。穿过闭合回路的磁通量增加值为 ‎ ①‎ 若转动时间为，则感应电动势的平均值为 ‎ ②‎ 感应电流的平均值为 ‎ ③‎ 在这段时间（）里，通过电阻R的电荷量为 ‎ ④‎ 由①②③④得 ‎ 在Oa转动600的过程中，电路中感应电动势不断增大，电容上的电压也不断增大，在aO与P将要分离的瞬时，电容器上的电压为aO切割磁感线的瞬时感应电动势：。这时电容器上所带的电荷量达到最大值：　　‎ aO与P分离后，电容器将放电，放电时通过R的电荷量显然为q2。所以全过程通过R的总电荷量 误点警示：直导线aO在转动600角的过程中迁移的总电荷量为q，其中通过R的电荷量为q1，而储存在电容器中的电荷量为q2；在aO与P分离后电容器放电，q2也通过R，如果电路中没有接电容器。aO转动时没有对电容器的充电过程，通过R的电荷量只有q1。‎ ‎【例题】放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN和PQ之间宽度为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂直于导轨平面，导轨左端接有阻值为R的电阻，其它部分电阻不计．导轨右端接一电容为C的电容器，长为‎2L的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a端放在导轨PQ上．现将金属棒以a端为轴，以角速度沿导轨平面顺时针旋转角，如图所示．求这个过程中通过电阻R的总电量是多少？（设导轨长度比‎2L长得多）‎ M P R N Q C a b ‎★解析：从ab棒以a端为轴旋转切割磁感线，直到b端脱离导轨的过程中，其感应电动势不断增大，对C不断充电，同时又与R构成回路．‎ M P R N Q C a b D b’‎ ‎30°‎ 通过R的电量．‎ ‎．‎ 根据以上两式得 ．‎ 当ab棒运动到b’时，电容C上所带电量为,‎ 此时，而,‎ 所以．‎ 当ab脱离导轨后，C对R放电，通过R的电量为q’，所以整个过程中通过R的总电量为．‎ ‎【例题】如图所示，空间存在垂直于纸面的均匀磁场，在半径为a的圆形区域内、外，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b，电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。在内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线截面的电量Q=_________。‎ ‎★解析：圆形导线环的初始磁通量Φ1 =Bπa2－Bπ(b2－a2)=πB(‎2a2－b2) (当)，‎ 末磁通量Φ2=0；所以磁通量的变化为ΔΦ=πB(‎2a2－b2) ，则通过电阻为R的圆形导线环的电量度 同理当时，通过圆形导线环的电量 答案：Q=或Q=‎ 类型题： 电磁感应与电路中的动力学问题 ‎ ‎【例题】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。‎ ‎（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；‎ ‎（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；‎ ‎（3）求在下滑过程中，ab杆可能达到的速度最大值。‎ ‎★解析：（1）ab杆下滑过程中的某时刻受力示意图如图丙所示。重力mg，竖直向下；支持力，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上。‎ ‎（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv，此时电路中电流 ab杆受到的安培力 。‎ 根据牛顿运动定律，有 ‎ ‎ 则加速度 。‎ ‎（3）当时，ab杆达到最大速度，则 。‎ 知识链接：该题考查了感应电动势的计算及欧姆定律、牛顿第二定律，并且过程是动态过程，是一道综合性考题，要求考生要有较强的分析思维能力。 ‎ ‎【例题】如图所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于水平xOy平面内，左端接有阻值为R的电阻，其他部分的电阻均不计．在x>0的一侧存在垂直xOy平面且方向竖直向下的稳定磁场，磁感强度大小按B=kx规律变化（其中k是一大于零的常数）．一根质量为m的金属杆垂直跨搁在光滑的金属导轨上，两者接触良好．‎ 当t =0时直杆位于x=0处，其速度大小为v0，方向沿x轴正方向，在此后的过程中，始终有一个方向向左的变力F作用于金属杆，使金属杆的加速度大小恒为a，加速度方向一直沿x轴的负方向．求：‎ ‎（1）闭合回路中感应电流持续的时间有多长？‎ ‎（2）当金属杆沿x轴正方向运动的速度为时，闭合回路的感应电动势多大？此时作用于金属杆的外力F多大？‎ ‎★解析：（1）由题意可知，金属杆在磁场中的运动分为两个阶段：先沿x轴正方向做匀减速运动，直到速度为零；然后x轴负方向做匀加速直线运动，直到离开磁场，其速度一时间图象如图所示．金属杆在磁场中运动切割磁感线，闭合回路产生感应电流，所以回路中感应电流持续的时间 ．‎ ‎（2）当金属杆沿x轴正方向运动的速度为时，对应的x坐标x1`满足：‎ 解得 ‎ 则在x1处的磁感强度 ‎ 此时回路中的感应电动势 金属杆所受的安培力大小 ‎ ‎ 方向沿x轴负方向 由牛顿第二定律得 所以，此时作用于金属杆的外力 ‎ 方向沿x轴负方向．‎ 答案：（1） （2）‎ 类型题： 电磁感应与电路中的功能综合问题 ‎ ‎【例题】如图所示，电动机通过其转轴上的绝缘细绳牵引一根原来静止的长为L=‎1m，质量m=‎0.1kg的导体棒ab，导体棒紧贴在竖直放置、电阻不计的金属框架上，导体棒的电阻R=1，磁感应强度B=1T的匀强磁场中，其方向垂直于导体框架所在的平面。当导体棒在电动机牵引下上升h=‎3.8m时，获得稳定的速度，此过程中导体棒产生的热量Q=2J。电动机工作时，电压表、电流表的读数分别恒为7V和‎1A。电动机的内阻r=1，不计一切摩擦，g=‎10m/s2。求：‎ ‎（1）导体棒所达到的稳定速度是多少？‎ ‎（2）导体棒从静止到达稳定速度的时间是多少？‎ ‎★解析：电路给电动机提供一定的电功率P电=IU，一部分损耗在电动机的内阻发热上，剩余的即电动机输出功率用来提升棒ab。‎ 据UI=I2r+P输知电动机输出功率一定，棒在拉力F作用下上升，做加速度a逐渐变小的加速运动，当a=0，即F=F安+mg时棒速稳定。‎ ‎（1）设棒达到稳定速度为v，则有 ‎ ①‎ 而Fv=UI－I2r ②‎ 而将数值代入①②解得v=‎2m/s ‎（2）设棒从静止到达稳定速度用时为t，电动机的输出功等于ab棒机械能的增加量与此过程导体棒产生的热量Q之和。有 求得 t=1s 技巧点拨：该题是一道综合性很强的习题，在分析物理过程中，根据题给信息“电动机通过绝缘细线牵引一棒切割磁感线”，抓住能的转化与守恒这一主线，将“电动机工作电路问题”、“机车运动问题”和“电磁感应中能的转化”的解题思路迁移过来，综合分析解决问题。 ‎ ‎【例题】如图所示，两根竖直固定放置的无限长光滑金属导轨，电阻不计，宽度为L，上端接有电阻，导轨上接触良好地紧贴一质量为m、有效电阻为R的金属杆ab，。整个装置处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，金属杆ab由静止开始下落，下落距离为h时重力的功率刚好达到最大，设重力的最大功率为P。求：‎ ‎（1）磁感应强度B的大小。‎ ‎（2）金属杆从开始下落到重力的功率刚好达到最大的过程中，电阻产生的热量。‎ ‎★解析：（1）重力功率最大即金属棒的速度最大时，设金属棒下落的最大速度为，有 ‎ 得 ①‎ 此时，ab棒受到的安培力等于重力 即②‎ 又 ③‎ ‎ ④ ‎ ‎ ⑤ ‎ 由①②③④⑤式得 ⑥‎ 由①⑥式得。‎ ‎（2）据能量守恒定律，金属棒从静止开始下降高度h过程中 ‎ ‎ 则 ⑦　　　　‎ 由①⑦两式得 ⑧‎ 而上产生的热量 ⑨ ‎ 由⑧⑨两式得 ‎ 答案：（1）‎ ‎（2）‎ 类型题： 电磁感应中图象综合问题 ‎ ‎【例题】如图所示，一有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L，在磁场区域的左侧相距为L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现使线框以速度v匀速穿过磁场区域。若以初始位置为计时起点，规定电流逆时针方向时的电流和电动势方向为正，B垂直纸面向里时为正，则以下关于线框中的感应电动势、磁通量、感应电流、和电功率的四个图象描述错误的是：（B）‎ ‎【例题】如图所示，一个边长为a、电阻为R的等边三角形线框，在外力作用下，以速度v匀速穿过宽度均为a的两个匀强磁场。这两个磁场的磁感应强度大小均为B，方向相反。线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直。取逆时针方向的电流为正。若从图示位置开始，线框中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象，下面四个图中正确的是．（ B ）‎ ‎【例题】如图甲所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度均为a，一正三角形（高度为a）导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在图乙中感应电流I与线框移动距离x的关系图象正确的是（ C ）‎ ‎【例题】如图所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一正方形导线框abcd位于纸面内，ab边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t=0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域，以a→b→c→d为线框中的电流i的正方向，向左为导线框所受安培力的正方向，以下i – t ‎2，4，6‎ 和F—t关系示意图中正确的是 （ AC ）‎ ‎【例题】如图所示，一宽为‎40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，一边长为 ‎20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝‎20cm/s，通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行，取它刚进入磁场时刻t＝0时，则下图中能正确反映感应电流强度随时间变化规律的是（　　）‎ ‎★解析：由感应电流产生的条件可知，线框只有一条竖直边在磁场中时，穿过线框的磁通量才是变化的，回路中才有感应电流，因为线圈运动速度恒定，所以感应电动势、感应电流大小是恒定的，由此可见答案为C。‎ 答案：C ‎【例题】如图所示，LOO’L’为一折线，它所形成的两个角∠LOO’和∠OO’L’均为45°。折线的右边有一匀强磁场，其方向垂直于纸面向里，一边长为l的正方形导线框沿垂直于OO’的方向以速度v作匀速直线运动，在t＝0的刻恰好位于图中所示位置。以逆时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流－时间（I－t）关系的是（时间以l/v为单位）（ D ）‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ l ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ l l v L O O/‎ L/‎ ‎45°‎ t I ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ A t I ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ B t t I ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ C I ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ D ‎★解析：切割磁感线的是正方形线框的上下两边，由右手定则可知图D正确。‎ ‎【例题】如图所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面。一导线框abcdef位于纸面内，况的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t=0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势ε的正方向，以下四个ε-t关系示意图中正确的是（ C ）‎ l l l l ‎2l ‎2l a b c d e f P Q R O ε t ‎1 2 3 4‎ ε ‎1 2 3 4‎ O t A B ε ‎1 2 3 4‎ O t ε ‎1 2 3 4‎ O t C D 类型题： 电磁感应综合问题 ‎ ‎【例题】 (20分)如图所示，平行金属导轨与水平面间夹角均为θ=370，导轨间距为lm，电阻不计，导轨足够长。两根金属棒ab和a'b'的质量都是‎0.2kg，电阻都是1Ω，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒和导轨之间的动摩擦因数为0.25，两个导轨平面处均存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B的大小相同。让a'b'固定不动，将金属棒ab由静止释放，当ab下滑速度达到稳定时，整个回路消耗的电功率为8W。求 ‎ (1)ab达到的最大速度多大？‎ ‎ (2)ab下落了‎30m高度时，其下滑速度已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q多大？‎ ‎ (3)如果将ab与a'b'同时由静止释放，当ab下落了‎30m高度时，其下滑速度也已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q'为多大？(g=‎10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8)‎ ‎★解析：(1)ab棒相当于电源，当其下滑速度最大时有：‎ ‎ ①‎ 对ab棒受力分析，当其速度最大时，加速度为0，因此有 mgsinθ=BIL+μmgcosθ ‎ 即mgsinθ=B‎2L2v／2R+μmgcosθ ②‎ 得v=‎10m/s ③(1分)‎ ‎ (2)由能量守恒关系得 mgh=+μmgcosθ+Q ④‎ 代入数据得Q=30J ⑤‎ ‎ (3)由对称性可知，当ab下落‎30m稳定时其速度为v′，a′b′也下落‎30m，其速度也为v′，ab和a′b′都切割磁感应线产生电动势，总电动势等于两者之和。‎ 对ab棒受力分析，得 mgsinθ=BI′L+μmgcosθ ⑥‎ 对比②⑥可得v′=‎5m/s ⑦‎ 由能量守恒 ‎2mgh=+Q′ ‎ 代入数据得Q′=75J ⑨‎ ‎【例题】(19分)如图a所示的轮轴，它可以绕垂直纸面的光滑固定水平轴O转动。轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一重物，另一端系一质量为m金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其它电阻不计。磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直。开始时金属杆置于导轨下端，将重物由静止释放，重物最终能匀速下降。运动过程中金属杆始终与导轨垂直接触良好，忽略所有摩擦。求:‎ ‎(1)若重物的质量为M时，则M匀速下降的速度v多大?‎ ‎(2)对于一定的磁感应强度为B，重物质量M取不同的值，测出相应重物作匀速运动时v的速度值，可得到v---M实验图线，图b中画出了磁感应强度分别为B1和B2时的两条实验图线。试根据实验结果计算B1和B2的比值。‎ ‎★解析：(1)金属棒达到匀速运动时，受绳子的拉力F、棒的重力mg、向下的安培力F1平衡。得：‎ F=F1+mg ① F=Mg ② ‎ 安培力：F1=BIL ③ ‎ 感应电动势：E=BLv ④‎ 由③④得：F1 ⑤‎ 可求速度： ⑥‎ ‎（2）由⑥式得出v——M的函数关系式： ‎ 从图象上获取数据，得到直线B1的斜率：m/s·kg 同理： m/s·kg ‎ 故有： ‎ 所以得： ‎ ‎【例题】两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与水平和竖直导轨之间有相同的动摩擦因数μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab杆在平行于水平导轨的拉力作用下沿导轨向右匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下做匀速运动，设运动过程中金属细杆ab、cd与导轨接触良好，重力加速度为g，求：‎ ‎（1）ab杆匀速运动的速度v1；‎ ‎（2）ab杆所受拉力F；‎ ‎（3）ab杆以v1匀速运动时，cd杆以v2（v2已知）匀速运动，则在cd杆向下运动过程中，整个回路中产生的焦耳热．‎ ‎★解析：（1）ab杆向右运动时，ab杆中产生的感应电动势方向为a→b，‎ 大小为 ‎ cd杆中的感应电流方向为d→c，cd杆受到的安培力方向水平向右 安培力大小为 ‎ ①‎ cd杆向下匀速运动，有②‎ 解①、②两式，ab杆匀速运动的速度为= ③‎ ‎（2）ab杆所受拉力 F+μmg）‎ ‎（3）设cd杆以速度向下运动过程中，ab杆匀速运动了距离，， ∴整个回路中产生的焦耳热等于克服安培力所做的功 ‎=‎ ‎= ‎ ‎【例题】如图所示，光滑矩形斜面ABCD的倾角θ=30°，在其上放置一矩形金属线框abcd，ab的边长l1 = ‎1m，bc的边长l2 = ‎0.6m，线框的质量m = ‎1kg，电阻R = 0。1Ω，线框通过细线绕过定滑轮与重物相连，细线与斜面平行且靠近；重物质量M = ‎2kg，离地面的高度为H = ‎4.8m；斜面上efgh区域是有界匀强磁场，方向垂直于斜面向上；已知AB到ef的距离为S1 = ‎4.2m，ef到gh的距离S2 = ‎0.6m，gh到CD的距离为S3 = ‎3.8m，取g =‎10m/s2；现让线框从静止开始运动（开始时刻，cd与AB边重合），发现线框匀速穿过匀强磁场区域，求：‎ ‎（1）线框进入磁场时的速度v ‎（2）efgh区域内匀强磁场的磁感应强度B ‎（3）线框在通过磁场区域过程中产生的焦耳热Q ‎（4）线框从开始运动到ab边与CD边重合需经历多长时间 ‎★解析：（1）设ab进入磁场时速度为v0，由机械能守恒得 ‎ ‎ ‎（2）ab在磁场中运动所受安培力 ‎ ‎ ‎0.5T ‎ ‎(3）由能量守恒：‎ ‎= 18J ‎ ‎ (4)根据牛顿第二定律有:‎ 解得: ‎ ‎ ‎ 解得: ‎ 总时间 ‎【例题】如甲图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距L=‎0.20m，电阻R=1.0Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B=1.0T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下。现在一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如乙图所示。求杆的质量m和其加速度大小a。‎ ‎★解析：选两点列方程 解得 答案：‎5m/s2，‎‎0.2kg ‎【例题】如图光滑斜面的倾角θ＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l1＝‎1m，bc边的长l2＝‎0.6m，线框的质量m＝‎1kg，电阻R＝0.1Ω，线框用细线通过定滑轮与重物相连，重物质量M＝‎2kg，斜面上ef线与gh线（ef∥gh ∥pq）间有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B1＝0.5T， gh线与pq线间有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度B2＝0.5T．如果线框从静止开始运动，当ab边进入磁场时恰好做匀速直线运动，ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为2.3s ，求：‎ ‎（1）求ef线和gh线间的距离；‎ ‎（2）ab边由静止开始运动到gh线这段时间内产生的焦耳热；‎ ‎（3） ab边刚进入gh线瞬间线框的加速度．‎ ‎★解析：⑴线框abcd受力平衡 ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势 ‎ 形成的感应电流 受到的安培力 联立得： ‎ 解得 ‎ 线框abcd进磁场B1前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．‎ 进磁场前对M：‎ ‎ ‎ 对m: ‎ 联立解得：‎ 该阶段运动时间为  ‎ 进磁场B1过程中匀速运动时间  ‎ 进磁场后   线框受力情况同进磁场前，所以该阶段的加速度仍为 ‎ ‎ ‎ ef线和gh线间的距离 此时线框的速度为 ‎⑵ ‎ ‎(3) ab边刚进入gh线瞬间线框的加速度沿斜面向下 解得： ‎ ‎【例题】 (16分)一有界匀强磁场区域如图甲所示，质量为m、电阻为R的长方形矩形线圈abcd边长分别为L和‎2L，线圈一半在磁场内，一半在磁场外，磁感应强度为B，t＝0时刻磁场开始均匀减小，线圈中产生感应电流，在磁场力作用下运动，v-t图像如图乙，图中斜向虚线为过O点速度图线的切线，数据由图中给出，不考虑重力影响，求：(1)磁场磁感应强度的变化率．(2)t2时刻回路的电功率 ‎★解析：(1)由v-t图可知道，刚开始，t＝0时刻．线圈加速度为a＝v0/t1·‎ 此时感应电动势ε=ΔФ/Δt=ΔBL2/Δt，I=ε/R=ΔBL2/(ΔtR)‎ 线圈此刻所受安培力为F＝BIL＝BΔBL3/(ΔtR)＝ma，得到ΔB/Δt＝mv0R/(B0t‎1L3)‎ ‎ (2)线圈t2时刻开始做匀速直线运动，有两种可能：‎ a．线圈没有完全进入磁场，磁场就消失，所以没有感应电流，回路电功率P＝0．(3分)‎ b．磁场没有消失，但线圈完全进入磁场，尽管有感应电流．所受合力为零，同样做匀速直线运动P=ε2/R=(2ΔBL2/Δt)2/R=‎4m2‎v20R/(B02t‎12L2)‎ ‎【例题】磁悬浮列车是一种高速运载工具，它是经典电磁学与现代超导技术相结合的产物。磁悬浮列车具有两个重要系统。一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统，就是在沿轨道安装的绕组（线圈）中，通上励磁电流，产生随空间作周期性变化、运动的磁场，磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力。‎ 图10（乙）‎ B1‎ v B2‎ 固定在列车下面的导线框A 移动的磁场 移动的磁场 图10（甲）‎ 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们给出如下的简化模型，图10（甲）是实验车与轨道示意图，图10（乙）是固定在车底部金属框与轨道上运动磁场的示意图。水平地面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直(垂直纸面)方向等距离间隔的匀强磁场Bl和B2，二者方向相反。车底部金属框的宽度与磁场间隔相等，当匀强磁场Bl和B2同时以恒定速度v0沿导轨方向向右运动时，金属框也会受到向右的磁场力，带动实验车沿导轨运动。‎ 设金属框垂直导轨的边长L=‎0.20m、总电阻R=l.6Ω，实验车与线框的总质量m=‎2.0kg，磁场Bl=B2=B＝1.0T，磁场运动速度v0=‎10m/s。回答下列问题：‎ ‎（1）设t=0时刻，实验车的速度为零，求金属框受到的磁场力的大小和方向；‎ ‎（2）已知磁悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力 f1=0.20N，求实验车的最大速率vm；‎ ‎（3）实验车A与另一辆磁悬浮正常、质量相等但没有驱动装置的磁悬浮实验车P挂接，设A与P挂接后共同运动所受阻力f2=0.50N。A与P挂接并经过足够长时间后的某时刻，撤去驱动系统磁场，设A和P所受阻力保持不变，求撤去磁场后A和P还能滑行多远？‎ ‎★解析：（1）t=0时刻，线框相对磁场的速度为v0=‎10m/s，金属框A中产生逆时针方向的感应电流，设瞬时电动势大小为E0 ‎ ‎ E0==2 BLv =4.0V ‎ 设线框中的电流大小为I0，根据闭合电路欧姆定律I0= =‎2.5A ‎ 设金属框A受到的磁场力的大小为F0，根据安培力公式 F0=2 BI‎0L =1.0N ‎ 方向向右 ‎ ‎（2）金属框A达到最大速度vm 时相对磁场的速度为（v0- vm），设此时线圈中的感应电动势为E1，则 E1=2 BL(v0-vm) ‎ 设此时金属框中的电流为I1，根据欧姆定律 I1=‎ 实验车达到最大速度时受力平衡， ‎ f1=2 BI‎1L 整理得：f1 =‎ 解得：vm =‎8.0 m/s ‎(3) 设A与P挂接后再次达到匀速运动时的速度为v2，同理可得 ‎ f2 = ‎ 解得 v2=‎5.0 m/s 设撤去磁场后A和P还能滑行的距离为s，根据动能定理 解得 s=‎‎100 m ‎【例题】唱卡拉OK用的话筒，内有传感器，其中有一种是动圈式的，它的工作原理是在弹性膜片后面粘接一个轻小的金属线圈，线圈处于水磁体的磁场中，当怕波使膜片前后振动时，就将声音信号转变为电信号。 下列说法中正确的是 （ BCD ）‎ ‎ A．该传感器是根据电流的磁效应原理工作的 ‎ B．该传感器是根据电磁感应原理工作的 ‎ C．膜片振动时，穿过线圈的磁通量发生变化 ‎ D．膜片振动时，线圈中产生感应电流 ‎【例题】如图所示，在一倾角为37°的粗糙绝缘斜面上，静止地放置着一个匝数匝的圆形线圈，其总电阻、总质量、半径．如果向下轻推一下此线圈，则它刚好可沿斜面匀速下滑现在将线圈静止放在斜面上后．在线圈的水平直径以下的区域中，加上垂直斜面方向的，磁感应强度大小按如图14所示规律变化的磁场（提示：通电半圆导线受的安培力与长为直径的直导线通同样大小的电流时受的安培力相等）问：‎ ‎（1）刚加上磁场时线圈中的感应电流大小?‎ ‎（2）从加上磁场开始到线圈刚要运动，线圈中产生的热量?‎ ‎（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，取．）‎ ‎★解析：（1）由闭合电路的欧姆定律 ‎ 由法拉第电磁感应定律 ‎ 由图， ‎ ‎ ‎ 联立解得 ‎ ‎（2）设线圈开始能匀速滑动时受的滑动摩擦力为，则 ‎ 加变化磁场后线圈刚要运动时 ‎，其中 ‎ 由图像知 ‎ 由焦耳定律 ‎ 联立解得 ‎ ‎【例题】竖直放置的平行金属板M、N相距d=‎0.2m，板间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，极板按如图所示的方式接入电路。足够长的、间距为L=‎1m的光滑平行金属导轨CD、EF水平放置，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度也为B。电阻为r=1的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好。已知滑动变阻器的总阻值为R=4，滑片P的位置位于变阻器的中点。有一个质量为m=1.0×‎10kg、电荷量为q=+2.0×‎10C的带电粒子，从两板中间左端沿中心线水平射入场区。不计粒子重力。‎ ‎（1）若金属棒ab静止，求粒子初速度v0多大时，可以垂直打在金属板上？‎ ‎（2）当金属棒ab以速度v匀速运动时，让粒子仍以相同初速度v0射入，而从两板间沿直线穿过，求金属棒ab运动速度v的大小和方向。‎ ‎【答案】（1）‎100 m/s（2）‎50 m/s，水平向右 ‎★解析：（1）金属棒ab静止时，粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为，则 ‎ ①‎ 垂直打在金属板上，则 ②‎ 解得 ③‎ 代入数据得 ‎100 m/s ‎ ‎（2）当金属棒ab匀速运动时，感应电动势 ④‎ 板间电压： ⑤‎ 粒子沿直线穿过板间，则粒子受电场力、洛仑兹力平衡，做匀速直线运动 ‎ ⑥ ‎ 解得：⑦‎ 代入数据得 ‎50 m/s ‎ 由左手定则知，粒子所受洛仑兹力方向垂直M板，故粒子所受电场力应该垂直于N板，由右手定则知，ab棒应水平向右运动。 ‎ ‎【点评】这是一道综合性较强的电学试题，将电场、磁场中带电粒子的运动、电路、电磁感应等知识有机地融为一体（题），创新程度、能力要求都较高。是一道考查主干知识和基本能力的好题。‎ ‎【例题】（18分）相距为L=‎0.20m的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m=‎0.1kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为R=1.0Ω。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50T，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。测得拉力F与时间t的关系如图所示。g=‎10m/s2，求：‎ ‎（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ；‎ ‎（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t0；‎ ‎（3）画出杆cd在整个运动过程中的加速度随时间变化a—t图像，要求标明坐标值（不要求写出推导过程）。‎ ‎★解析：（1）经时间t，杆ab的速率 v=at ‎ 此时，回路中的感应电流为 ‎ ‎ 对杆ab由牛顿第二定律得 ‎ ‎ 由以上各式整理得：‎ ‎ ‎ 在图线上取两点：‎ ‎，代入上式得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）cd杆受力情况如图，当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大即 ‎ ‎ 又FN=F安 ‎ F安=BIL ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理解得 ‎ ‎ ‎（3）图线如图所示：‎ ‎【例题】（山东省济南市2008年四月调研）（15分）如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L=‎1m，导轨平面与水平面夹角，导轨电阻不计。磁感应强度为B1=2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L=‎1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m1=‎2kg、电阻为R1=1。两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d=‎0.5m，定值电阻为R2=3，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g=‎10m/s2，试求：‎ ‎（1）金属棒下滑的最大速度为多大？‎ ‎（2）当金属棒下滑达到稳定状态时，整个电路消耗的电功率P为多少？‎ ‎（3）当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B2=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m2=3×10—‎4kg、带电量为q=－1×10‎-4C的液滴以初速度v水平向左射入两板间，该液滴可视为质点。要使带电粒子能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？‎ ‎★解析：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度为vm，‎ 达到最大时则有 ‎ 所以 ‎ 解得最大速度 ‎（2）整个电路消耗的电功率 ‎ ‎ 所以P=100W ‎ ‎（3）金属棒下滑稳定时，两板间电压U=IR2=15V 因为液滴在两板间有 ‎ 所以该液滴在两平行金属板间做匀速圆周运动，‎ 当液滴恰从上板左端边缘射出时：‎ 所以 ‎ 当液滴恰从上板右侧边缘射出时：‎ 所以 ‎ 初速度v应满足的条件是：或 ‎【例题】（18分）如图（甲）为一研究电磁感应现象的装置，其中电流传感器（相当于一只理想的电流表）能将各时刻的电流数据实时送到计算机，经计算机处理后在屏幕上显示电流和时间的关系图象。已知电阻R及杆的电阻均为，杆的质量及悬挂物块的质量M均为，杆长。实验时，先断开开关S，取下细线调节轨道倾角，使杆恰好能沿轨道匀速下滑。然后固定轨道，闭合开关S，在导轨区域加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，让杆在物块M的牵引下从图示位置由静止开始释放，此时计算机屏幕上显示出如图（乙）所示的—图象（设杆在整个运动过程中与轨道始终垂直，且细线始终沿与轨道平行的方向拉杆，导轨的电阻隔忽略不计，细线与滑轮间的摩擦忽略不计，）。试求：‎ ‎（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小。‎ ‎（2）0~0.2s内，通过电阻R的电荷量。‎ ‎（3）0~0.2s内，电阻R上产生的焦耳热。‎ ‎★解析：‎ ‎【例题】（16分）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=‎0.2m，电阻R=0.4Ω，导轨上停放一质量为m=‎0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属杆，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感度强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表的示数U随时间t变化的关系如图乙所示。 求：‎ ‎（1）金属杆在第5s末的运动速度；‎ ‎（2）第5s末外力F的瞬时功率。‎ ‎★解析：（1） ‎ ‎（2）因U与v成正比，所以棒做匀加速运动 其加速度 ‎ 由 得 ‎ ‎=0.1N 功率W ‎ ‎【例题】如图所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ平行放置，间距为L，与水平面成　角，导轨与固定电阻R1和R2相连，且R1=R2=R．R1支路串联开关S，原来S闭合，匀强磁场垂直导轨平面斜向上。有一质量为m的导体棒ab与导轨垂直放置，接触面粗糙且始终接触良好，导体棒的有效电阻也为R ‎，现让导体棒从静止释放沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为v，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的3/4。已知当地的重力加速度为g，导轨电阻不计。试求：‎ ‎（1）在上述稳定状态时，导体棒ab中的电流I和磁感应强度B的大小；‎ ‎（2）如果导体棒从静止释放沿导轨下滑距离后运动达到稳定状态，在这一过程中回路产生的电热是多少？‎ ‎（3）断开开关S后，导体棒沿导轨下滑一段距离后，通过导体棒ab的电量为q，求这段距离是多少？‎ ‎★解析：（1）当导体棒以速度v匀速下滑时电路中的总电阻为：‎ 感应电动势为：E=BLv 导体棒中的电流为：‎ 总电功率为：‎ 重力的功率为：‎ 根据题意有：‎ ‎（2）设导体棒与导轨间的滑动摩擦力大小为f，根据能的转化和守恒定律可知：‎ 所以：‎ 根据能的转化和守恒定律可知：‎ 解得：‎ ‎（3）S断开后，回路的总电阻为：‎ 设这一过程的时间为，回路中感应电动势的平均值为，导体棒中感应电流的平均值为，导体棒沿导轨下滑的距离为S，根据题意有：‎ 根据法拉第电磁感应定律哟：‎ 联立解得：‎ ‎【例题】如图所示，两条平行的足够长的光滑金属导轨与水平面成α=53º角，导轨间距离L=‎0.8m。其上端接一电源和一固定电阻，电源的电动势E=1.5V，其内阻及导轨的电阻可忽略不计。 固定电阻R=4.5Ω。导体棒ab与导轨垂直且水平，其质量m=3×10‎-2kg，电阻不计。 整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。(g=‎10m/s2 sin53º=0.8 cos53º=0.6 )‎ ‎（1）将ab棒由静止释放，最终达到一个稳定的速度，求此时电路中的电流；‎ ‎（2）求ab稳定时的速度；‎ ‎（3）求ab棒以稳定速度运动时电路中产生的焦耳热功率PQ及ab棒重力的功率PG 。从计算结果看两者大小关系是怎样的？请解释为什么有这样的关系？‎ ‎★解析：（1）‎ mgsinα=BILcosα ‎ 解得：I=‎1A ‎ ‎（2）I= ‎ 解得：v=‎25m/s ‎ ‎（3）PQ=I2R=4.5W ‎ PG=mgvsinα=6W ‎ 重力势能的减少量，一部分转化成电能，以焦耳热的形式释放，‎ 另一部分给电源充电。‎ ‎【例题】如图所示，半径为r、圆心为 的虚线所围的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有一会竖直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在MN板中央有一个小孔、，、、在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距也为L的足够长光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与电阻为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中。有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（重力不计），以速率从圆形磁场边界上的最低点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔射出。现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后粒子恰好不能从射出，而从圆形磁场的最高点F射出。求：‎ ‎（1）圆形磁场的磁感应强度 ‎（2）导体棒的质量M ‎（3）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热 ‎（4）粒子从E点到F点所用的时间 ‎★解析：（1）在圆形磁场中做匀速圆周运动，洛仑磁力提供向心力 得 ‎（2）根据题意粒子恰好不能从射出的条件为 ‎ ‎ PQ棒匀速运动时。‎ 由③④得 ‎ ‎（3）导体棒匀速运动时，速度大小为，‎ ‎ ‎ 代入③中得 ‎ 由能量守恒： ‎ 解得 ‎ ‎（4）在圆形磁场内的运动时间为 ‎ ‎ 在电场中往返运动的时间为 由 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎【例题】如图甲所示，相距为L的光滑平行金属导轨水平放置，导轨一部分处在以OO′为右边界匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直导轨平面向下，导轨右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计。 在距边界OO′也为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻r的金属杆ab。‎ ‎（1）若ab杆在恒力作用下由静止开始向右运动‎3L距离，其速度一位移的关系图象如图乙所示（图中所示量为已知量）。 求此过程中电阻R上产生的焦耳QR及ab 杆在刚要离开磁场时的加速度大小a。‎ ‎（2）若ab杆固定在导轨上的初始位置，使匀强磁场保持大小不变，绕OO′轴匀速转动。 若从磁场方向由图示位置开始转过的过程中，电路中产生的焦耳热为Q2。 则磁场转动的角速度ω大小是多少？‎ ‎★解析：（1）ab杆离起起始位置的位移从L到‎3L的过程中，由动能定理可得 ‎ ‎ ab杆在磁场中由起始位置发生位移L的过程，根据功能关系，恒力F做的功等于ab杆杆增加的动能与回路产生的焦耳热之和，则 ‎ ‎ 联立解得 R上产生热量 ab杆刚要离开磁场时，水平向上受安培力F总和恒力F作用，‎ 安培力为：‎ 由牛顿第二定律可得：‎ 解得 ‎（2）磁场旋转时，可等效为矩形闭合电路在匀强磁场中反方向匀速转动，所以闭合电路中产生正弦式电流，感应电动势的峰值 有效值 ‎ 而 ‎ ‎【例题】用一电动机提升处于匀强磁场中的矩形线圈，已知线圈的匝数为N，长为L，宽为d，质量为m，电阻为R，磁场的磁感应强度大小为B。 开始时线圈的上边缘与有界磁场的上边缘平齐，当电动机匀速转动时，通过跨过两定滑轮的细绳将线圈提离磁场。 若电动机转轮的半径为r，转速为n，求此过程中（重力加速度为g）‎ ‎（1）细绳对线圈的拉力为多大？‎ ‎（2）流过线圈导线横截面的电荷量是多少？‎ ‎（3）电动机对线圈做的功为多少？‎ ‎★解析：（1）线圈的运动速度为①‎ 线圈中产生的感应电动势为E=NBLv…②‎ 线圈中的感应电流为…③‎ 线圈所受安培力为④‎ 线圈所受拉力为F2=F1+mg……⑤‎ 由以上各式解得…⑥‎ ‎（2）…⑦‎ ‎ ⑧‎ ‎ 由以上二式解得…⑨‎ ‎（3）⑩‎ ‎ 【例题】如图甲所示，空间存在B=0.5T，方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=‎0.2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=‎0.1kg的导体棒。从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。图乙是棒的v—t图象，其中OA段是直线，AC是曲线，DE是曲线图象的渐近线，小型电动机在12s末达到额定功率，P额=4.5W，此后功率保持不变。除R以外，其余部分的电阻均不计，g=‎10m/s2。‎ ‎（1）求导体棒在0—12s内的加速度大小；‎ ‎（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数及电阻R的阻值；‎ ‎（3）若t=17s时，导体棒ab达最大速度，从0—17s内共发生位移‎100m，试求12—17s内，R上产生的热量是多少？‎ ‎★解析：（1）由图知：12s末的速度为v1=‎9m/s，t1=12s 导体棒在0—12s内的加速度大小为 ‎=‎0.75m/s2‎ ‎（2）设金属棒与导轨间的动摩擦因素为μ。‎ A点：E1=BLv1‎ I1=‎ 由牛顿第二定律：F1－μmg－BI‎1L=ma1‎ 则P0=F1·v1‎ C点：棒达到最大速度vm=‎10m/s，‎ Em=BLvm Im=‎ 由牛顿第二定律：F2－μmg－BImL=0‎ 则P额=F2·vm 联立，代入为数据解得：μ=0.2，R=0.4Ω ‎（3）在0—12s内通过的位移：s1=（0+v1）t1=‎‎54m AC段过程发生的位移S2=100－S1=‎‎46m 由能量守恒：P0t-QR+μmg·s2=mvm2－mv12‎ 代入数据解得：QR=12.35J ‎【例题】 (本题12分)如图所示，光滑导轨MN、PQ在同一水平内平行固定放置，其间距d=‎1m，右端通过导线与阻值RL=8Ω的小灯泡L相连，CDEF矩形区域内有竖直向下磁感应强度 T的匀强磁场，一质量m=‎50g、阻值为R=2Ω的金属棒在恒力F作用下从静止开始运动m后进入磁场恰好做匀速直线运动。(不考虑导轨电阻，金属棒始终与导轨垂直并保持良好接触)。求： ‎ ‎（1）恒力F的大小；‎ ‎（2）小灯泡发光时的电功率。‎ ‎★解析：（1）对导体棒用动能定理： ‎ 导体棒进入磁场恰好做匀速直线运动 ‎ ‎ 代入数据，根据①、②方程可解得：N，m/s各 ‎（2）‎ PL=5.12W ‎【例题】如图所示，两根足够长固定平行金属导轨位于倾角的斜面上，导轨上、下端各接有阻值的电阻，导轨电阻忽略不计，导轨宽度，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度。质量、连入电路的电阻的金属棒在较高处由静止释放，当金属棒下滑高度时，速度恰好达到最大值。金属棒在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨良好接触取。求：‎ ‎（1）金属棒由静止至下滑高度为‎3m的运动过程中机械能的减少量。‎ ‎（2）金属棒由静止至下滑高度为‎3m的运动过程中导轨上端电阻中产生的热量。‎ ‎★解析：（1）金属棒机械能的减少量 ‎ ① ‎ ‎（2）速度最大时金属棒产生的电动势 ‎ ② ‎ 产生的电流 ③ ‎ 此时的安培力 ④ ‎ 由题意可知，受摩擦力 ‎⑤‎ 由能量守恒得，损失的机械能等于金属棒克服摩擦力做功和产生的电热之和 ‎ 电热 ⑥ ‎ 上端电阻中产生的热量 ⑦ ‎ 联立①②③④⑤⑥⑦式得： ⑧ ‎ ‎【例题】如图所示a1b‎1c1d1和a2b‎2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里，导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用在两杆上的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．‎ ‎【解析】设杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小E = B（l2-l1）υ，回路中的电流I = ，电流沿顺时针方向两金属都要受到安培力的作用，作用于杆x1y1的安培力为f1 = Bl1I，方向向上，作用于杆x2y2的安培力f2 = Bl2I，方向向下当杆做匀速动动时，根据牛顿第二定律有F-m‎1g-m‎2g+f1-f2 = 0，解以上各式，得 I = υ = R  作用于两杆的重力的功率的大小P =（m1+m2）gu 电阻上的热功率Q = I2R 得 P = R（m1+m2）g ‎ Q = []2R