高考文科数学全国卷Ⅰ 7页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国卷Ⅰ） 一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） （1）已知向量 a、b 满足| a |=1，| b |=4，且 a·b=2，则 a 与 b 的夹角为 （A） （B） （C） （D） （2）设集合 ，则 （A） （B） （C） （D） R （3）已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （A） R） （B） · （ ） （C） R） （D） （ ） （4）双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m= （A） （B）－4 （C）4 （D） （5）设 是等差数列 的前 n 项和，若 S7=35，则 a4= （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （6）函数 的单调增区间为 （A） Z （B） Z （C） Z （D） Z （7）从圆 外一点 P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角 的余弦值为 （A） （B） （C） （D）0 （8）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 若 a、b、c 成等比数列，且 （A） （B） （C） （D） 6 π 4 π 3 π 2 π }2|||{},0|{ 2 <=<−= xxNxxxM =NM  ∅ MNM = MNM = =NM  xey = )(xfy = xy = ∈= xexf x ()2( 2 2ln)2( =xf xln 0>x ∈= xexf x (2)2( += xxf ln)2( 2ln 0>x 122 =+ ymx 4 1− 4 1 nS }{ na )4tan()( π+= xxf ∈+− kkk ),2,2( ππππ ∈+ kkk ),)1(,( ππ ∈+− kkk ),4,4 3( ππππ ∈+− kkk ),4 3,4( ππππ 0122 22 =+−+− yyxx 2 1 5 3 2 3 == Bac cos,2 则 4 1 4 3 4 2 3 2 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （10）在 的展开式中， 的系数为 （A）－120 （B）120 （C）－15 （D）15 （11）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （A） （B） （C） （D）3 （12）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接， 但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A） cm2 （B） cm2 （C） cm2 （D）20cm2 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在横线上. （13）已知函数 若 为奇函数，则 a= . （14）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角等 于 . （15）设 ，式中变量 x、y 满足下列条件 则 z 的最大值为 . （16）安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不 安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答） 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 已知 为等比数列， . 求 的通项公式. （18）（本小题满分 12 分） △ABC 的三个内角为 A、B、C，求当 A 为何值时， 取得最大值， 并求出这个最大值. π π π π 10)2 1( xx − 4x 2xy −= 0834 =−+ yx 3 4 5 7 5 8 58 106 553 .12 1)( +−= xaxf )(xf 62 xyz −= 2         ≥ ≤+ −≥− ,1 ,2323 ,12 y yx yx }{ na 3 20,2 423 =+= aaa }{ na 2cos2cos CBA ++ （19）（本小题满分 12） A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由 4 只 小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效 的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察 3 个试验组，求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率. （20）（本小题满分 12 分） 如图， 、 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 上，C 在 上， AM = MB = MN. （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）若 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. （21）（本小题满分 14 分） 设 P 是椭圆 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值. （22）（本小题满分 12 分） 设 a 为实数，函数 在 和 都是增函数， 求 a 的取值范围. 3 2 2 1 1l 2l 1l 2l NBAC ⊥ 60=∠ACB )1(12 2 2 >=+ aya x xaaxxxf )1()( 223 −+−= )0,(−∞ ),1( +∞ 参考答案 一．选择题 （1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）B （9）C （10）C （11）A （12）B 二．填空题 （13） （14） （15）11 （16）2400 三．解答题 （17）解： 设等比数列 的公比为 q，则 q≠0， 所以 解得 当 所以 当 所以 （18）解： 由 所以有 当 （19）解： （Ⅰ）设 A1 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠有 i 只”，i= 0，1，2， B1 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小白鼠有 i 只”，i= 0，1，2， 2 1 3 π || na ,2,2 34 3 2 qqaaqq aa ==== ,3 2022 =+ qq .3,3 1 21 == qq ,18,3 1 1 == aq 时 .32 3 18)3 1(18 1 1 1 n n n na − − − ×==×= ,9 2,3 1 == aq 时 .3239 2 31 −− ×=×= nn na ,222, ACBCBA −=+=++ ππ 得 .2sin2cos ACB =+ 2sin2cos2cos2cos AACBA +=++ 2sin22sin21 2 AA +−= .2 3)2 1 2(sin2 2 +−−= A .2 3 2cos2cos,3,2 1 2sin 取得最大值时即 CBAAA ++== π 依题意有 所求的概率为 P = P（B0·A1）+ P（B0·A2）+ P（B1·A2） = （Ⅱ）所求的概率为 （20）解法： （Ⅰ）由已知 l2⊥MN，l2⊥l1，MN l1 = M， 可得 l2⊥平面 ABN. 由已知 MN⊥l1，AM = MB = MN， 可知 AN = NB 且 AN⊥NB 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影， ∴ AC⊥NB （Ⅱ）∵ Rt △CAN = Rt △CNB， ∴ AC = BC，又已知∠ACB = 60°， 因此△ABC 为正三角形。 ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。 ∴ NC = NA = NB，因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心， 连结 BH，∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角。 在 Rt △NHB 中， 解法二： 如图，建立空间直角坐标系 M－xyz， 令 MN = 1， 则有 A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。 （Ⅰ）∵MN 是 l1、l2 的公垂线，l2⊥l1， ∴l2⊥ 平面 ABN， ∴l2 平行于 z 轴， 故可设 C（0，1，m） 于是 ∴AC⊥NB. （Ⅱ） 又已知∠ABC = 60°，∴△ABC 为正三角形，AC = BC = AB = 2. .9 4 3 2 3 2)(,9 4 3 2 3 12)( 21 =×==××= APAP .2 1 2 1 2 12)(.4 1 2 1 2 1)( 10 =××==×= BPBP 9 4 2 1 9 4 4 1 9 4 4 1 ×+×+× .9 4= .729 604)9 41(1 3 =−−=P  .3 6cos 2 2 3 3 ===∠ AB AB NB HBNBH ),0,1,1(),,1,1( −== NBmAC ,00)1(1 =+−+=⋅ NBAC .||||).,1,1(),,1,1( BCACmBCmAC =∴−== 在 Rt △CNB 中，NB = ，可得 NC = ，故 C 连结 MC，作 NH⊥MC 于 H，设 H（0，λ， ）（λ> 0）. ∴HN ⊥平面 ABC，∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 又 （21）解： 依题意可设 P（0，1），O（x，y），则 又因为 Q 在椭圆上，所以 因为 ≤， 若 ≥ ≤1，当 时， 若 （22）解： 其判别试 2 2 ).2,1,0(= λ2 ).2,1,0(),2,1,0( =−−=∴ MCHN λλ .3 1,021 =∴=−−=⋅ λλλMCHN ).3 2,3 1,1(,),3 2,3 2,0(),3 2,3 1,0( −=−=∴ BHBHHNH 则连结可得 ,,,09 2 9 20 HBHMCBHHNBHHN =⊥∴=−+=⋅  又 ).0,1,1(−=BN .3 6 2|||| cos 3 2 3 4 = × =⋅=∠∴ BNBH BNBHNBH .)1(|| 22 −+= yxPQ ).1( 222 yax −= 12)1( 2222 +−+−= yyyaPQ 222 12)1( ayya ++−−= .11 1)1 1)(1( 2 2 2 2 2 aaaya ++−−−−−= y 1,>a a a−1 1,2 则 21 1 ay −= ;1 1 2 22 − − a aaPQ 取最大值 .2||,1,21 取最大值时则当 PQya −=<< ),1(23)(' 22 −+−= aaxxxf .81212124 222 aaa −=+−=∆ （ⅰ）若 当 所以 (ⅱ) 若 所以 即 （ⅲ）若 即 解得 当 当 依题意 ≥0 得 ≤1. 由 ≥0 得 ≥ 解得 1≤ 由 ≤1 得 ≤3 解得 从而 综上，a 的取值范围为 即 ,2 6,0812 2 ±==−=∆ aa 即 .),()(,0)(',),3()3 2,( 为增函数在时或 +∞−∞>+∞∈−∞∈ xfxfaxx .2 6±=a ,0812 2 <−=∆ a .),()(,0)(' 为增函数在恒有 +∞−∞> xfxf ,2 32 >a ).,2 6()2 6,( +∞−−∞∈ a ,0812 2 >−=∆ a ,0)(',2 6 2 6 =<<− xfa 令 .3 23,3 23 2 2 2 1 aaxaax −+=−−= ;)(,0)(',)(),( 21 为增函数时或 xfxfxxxx >∞+∈−∞∈ .)(,0)(',),( 21 为减函数时 xfxfxxx <∈ 1x 2x 1x a ,23 2a− .2 6