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- 2021-05-13 发布
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2017年高考模拟试卷(6)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共160分)
开始
结束
输出S
n←1, S←0
S < 100
n←n + 1
S←S + 2n
N
Y
(第5题)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分 .
1. 设集合A = {1,x },B = {2,3,4},若A∩B ={4},则
x = ▲ .
2. 若复数z1=2+i,z1·=5,则z2= ▲ .
3. 从数6,7,8,9,10,11六个数中,任取两个不同的数,
则两个数互质的概率是 ▲ .
4.已知一组数据x1,x2,…,x100的方差是,则数据
3x1,3x2,…,3x100 的标准差为 ▲ .
5.执行右边的程序框图,则输出的S的值为 ▲ .
6.设正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形,其表面积14,则AA1= ▲ .
7.不等式组表示的平面区域的面积为S,则S的值为 ▲ .
8.函数y=sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有三个最高点,则ω的取值范围是 ▲ .
9.若两个非零向量a,b的夹角为60°,且(a+2b)⊥(a-2b),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值是 ▲ .
10.已知函数f(x)=ex-1-tx,$x0∈R,f(x0)≤0,则实数t的取值范围 ▲ .
11.已知数列{an}是一个等差数列,首项a1>0,公差d≠0,且a2、a5、a9依次成比数列,则
使a1+a2+…+an>100a1的最小正整数k的值是 ▲ .
12.抛物线y2=2px(p>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有一个相同的焦点F2(2,0),而双曲线的另一个焦点F1,抛物线和双曲线交于点B、C,若△BCF1是直角三角形,则双曲线的离心率是 ▲ .
13.△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若==,则cosAcosBcosC
= ▲ .
14.已知函数f(x)=,x∈[0,4],则f(x)最大值是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.
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15.(本小题满分14分)已知α∈(0,π),且sin(α+)=.
(1)求sin(α-)的值;(2)求cos(2α-)的值.
16.(本小题满分14分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,M是AB
的中点,O1是A1C1与B1D1的交点.
(1)求证:O1M∥平面BB1C1C;
A
A1
B1
C
D1
B
C1
D
M
O1
(2)若平面AA1C1C⊥平面ABCD,求证:四边形BB1D1D是矩形.
B
O
3N
m(N)
2N
17.(本小题满分14分)如图所示,一根绳穿过两个定滑轮,且两端分别挂有3(N)、2(N)的
重物.现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m(N)的重物,恰好使系统处于平衡状态.
A
(1)若∠AOB=120°,求m的值;
(2)求m的取值范围.
18. 椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A、B,F为椭圆C的右焦点,在椭圆C上任取异于A、B的点P,直线PA、PB分别与直线x=3交于点M,N,直线MB与椭圆C交于点Q.
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(1)求·的值;
(2)证明:A、Q、N三点共线.
19.(本小题满分16分)已知数列满足,.
(1)若数列为等差数列,求;
(2)设,,不等式成立,求实数a的最小值.
20.(本小题满分16分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,g(x)=a2x2+bx+1.
(1)若f(x)≥g(x)对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个不同零点x1,x2;函数g(x)有两个不同零点x3,x4.
(i)若x3<x1<x4,试比较x2,x3,x4的大小关系;
(ii)若x1=x3<x2,m、n、p∈,,求证m=n=p.
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,AB是半圆的直径,C是半圆上一点,D是弧AC的
A
E
B
C
D
M
中点,DE⊥AB于E,AC与DE交于M,求证:AM=DM.
B.(选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为a=,并
且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(9,15),求出矩阵M..
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)已知圆C的极坐标方程是,以极点为平面
直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是
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(t是参数).若直线与圆C相切,求实数m的值.
D.(选修4-5:不等式选讲)设函数,
若不等式对任意且恒成立,求实数的范围.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分) 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,
M
D
O
A
B
C
∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值.
23.设a0<a1<a2<…<an(i∈N*,i=1,2,…,n),以[b,c]表示正整数b,c的最小公倍数.
求证:++…+≤1-.
2017年高考模拟试卷(6)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共160分)
一、填空题
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1.4.因为A∩B ={4},所以4∈A,故x=4.
2.2+i.由z1·=5,得==2-i,所以z1=2+i.
3..用枚举法.从6,7,8,9,10,11六个任取两个数有15种不同的取法,其中两个数互质有(6,7),(6,11),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(8,9),(8,11),(9,10),(9,11),(10,11)共11组,故其概率为.
4. 3.由x1,x2,…,x100的方差是,则3x1,3x2,…,3x100的方差是18,所标准差为3.
5.126.由程序框可知:S=2+22+…+2n=2 n+1-2>100,则最的n值为6,所以输出的S=27-2=126.
6. 3.正四棱柱的表面积为14,两个底面积之和为2,故侧面积为12,ÞAA1=3.
7. 6.作出如图所示的平面区域,得面积S=×(42-22)=6.
8. [π,π).区间[0,1]至少包含2个周期而不到3个周期,故×≤1<×,解之得π≤ω<π.
9..由(a+b)⊥(a-2b),得(a+2b)·(a-2b)=0,Þ|a|2-4|b|2=0,则|a|=2|b|,
cos〈a+b,a-b〉====.
10. (-∞,0)∪[1,+∞).若t<0,令x=,则f()=e1/t-1-1<-1<0;若t=0,f(x)=ex-1>0,不合题意;若t>0,只需f(x)min≤0,求导数,得f ′(x)=ex-1-t,令f ′(x)=0,解得x=lnt+1.当x<lnt+1时,f ′(x)<0,f(x)在区间(-∞,lnt+1)上是减函数;当x>lnt+1时,f ′(x)>0,f(x)在区间(lnt+1,+∞)上是增函数.故f(x)在x=lnt+1处取得最小值f(lnt+1)=t-t(lnt+1)=-tlnt.所以-tlnt≤0,由t>0,得lnt≥0,所以t≥1.
11. 34.设数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d,a9=a1+8d.由a2、a5、a9依次成比数列得 a2 a9=a52,即(a1+d)(a1+8d)=(a1+4d)2,化简上式得 a1d=8d2,又d>0,所以a1=8d.==k+>100,解得kmin=34.
12. +1.抛物线方程为y2=8x,且a2+b2=4,设B(x0,y0)、C(x0,-y0) (x0>0,y0>0).则可知∠BF1C为直角,△BCF1是等腰直角三角形,故y0=x0+2,y02=8x0,解得x0=2,y0
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=4,将其代入双曲线得 -=1.再由a2+b2=4解得a=2-2,所以e==+1.
13. .由题意可设 tanA=2k,tanB=3k,tanC=6k,k>0,而在△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,于是k=,从而cosAcosBcosC=××=.
14. . 法一 当x=0时,原式值为0;当x≠0时,由=,令t=,由x∈(0,4]得t∈[2+,+∞),f(x)=g(t)==.而t+≥4,当且仅当t=2+时,取得等号,此时x=,所以f(x)≤.即f(x)的最大值为.法二 f(x)==,于是令t=,所求的代数式为.当x=0时,t=0;当x≠0时,有t=≤=,所以t∈[0,],当t=,有最大值,此时x=.
二、解答题
15. 法一:联立Þ4sin2α-(-)sinα-(1+)=0,
解之得sinα=,和sinα=-,因为α∈(0,π),所以sinα=,
且α∈(,π),所以cosα=.
(1) sin(α-)=sinαcos-cosαsin=×-×=×=.
(2)sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=-.
cos(2α-)=cos2αcos-sin2αsin=-.
法二:因为α∈(0,π),sin(α+)=<,
所以α+>,所以α+=,所以α=.
(1) sin(α-)=sin(-)=sin=.
(2) cos(2α-)=sin(2×-)=cos=-.
16.(1)证法一:取B1C1的中点为N,连O1N,BN.
因为O1,N分别是△A1B1C1边A1C1与B1C1的中点,
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所以O1N∥A1B1,且O1N=A1B1,
又MB=AB=A1B1,且MB∥A1B1,
所以O1N∥MB,且O1N=MB,所以四边形BMO1N为平行四边形,
所以O1M∥NB,NBÌ平面BB1C1C,O1MË平面BB1C1C,
所以O1M∥平面BB1C1C.
(2)连AC与BD,因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD;
又因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
所以BD⊥平面AA1C1C,
因为AA1Ì平面AA1C1C,所以BD⊥AA1,BB1∥AA1,BD⊥BB1,
所以平行四边形BB1D1D是矩形.
17. 如图所示,系统受力的水平分量和与竖直分量和都为零,得
O
3N
m(N)
2N
α
β
(1)因为∠AOB=120°,即α+β=120°,由
(1)2+(2)2得4+9+12cos(α+β)=m2,故m=N.
(2)由得
(3)2+(4)2得4=9-6mcosβ+m2,
即m2-6mcosβ+5=0.解得m=3cosβ±.因为α是锐角,由(2)得m-3cosβ>0,
即m>3cosβ,
从而m=3cosβ+,且9cos2β-5>0,又因为β为锐角,得到1>cosβ>.
因此<m<5.
答:(1)当∠AOB=120°,m的值为N;(2)系统处于平衡状态时,m的取值范围是(,5).
18. (1)记点P(x0,y0).则3x02+4y02=12.
由lPA:y=(x+2),得M(3,);
由lPA:y=(x-2)×,得N(3,),
而F(1,0)得·=(2,)·(2,)=4+=4-=.
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(2)记点Q为(s,t),直线BQ、AQ分别与直线x=3交于点M′(3,),N′ (3,).
由题意,点M′即为点M,故=,
再由·=-=·,得=.
即N′与N点重合.于是A、Q、N三点共线.
19.(1)设数列公差为d,
则对成立,
所以,故,.
(2)由,知为等比数列,公比,
所以,故.
① 当n为不小于3的奇数时,由,得,
化简得恒成立,所以,解得.
② n为不小于2的偶数时,同理有恒成立,
因为,显然恒成立.
所以.由①②得,故a的最小值为1.
20. (1)因为f(x)≥g(x)对任意实数x恒成立,所以,ax2≥a2x2对任意实数x恒成立,
所以,≤0,解得0≤a≤1.又由题意可得a≠0,
所以实数a的取值范围为0<a≤1.
(2)(i)因函数g(x)的图象开口向上,且其零点为x3,x4,故g(x)<0Ûx∈(x3,x4).
因x1,x2是f(x)的两个不同零点,故f(x1)=f(x2)=0.
因x3<x1<x4,故g(x1)<0=f(x1),于是<0.
注意到x1≠0,故.
因g(x2)f(x2)=<0,故g(x2)<f(x2)=0,从而x2∈(x3,x4),于是x3<x2<x4.
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(ii)记x1=x3=t,故f(t)=at2+bt+1=0,g(t)=a2t2+bt+1=0,于是(aa2)t2=0.
因a≠0,且t≠0,故a=1.
所以,f(x)=g(x)且其图象开口向上.
所以,对∈,f(x)递减,递增且<0,g(x)递减且g(x)>0.
若m>n,则<<0,于是>>0,从而g(p)>g(n)>0,故n>p.
同上,当n>p时,可推得p>m.
所以,p>m>n>p,矛盾.所以,m>n不成立.
同理,n>m亦不成立.所以,m=n.同理,n=p.所以,m=n=p.
A
E
B
C
D
M
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21. A. 连AD,因为AB为直径,所以AD⊥BD,
又DE⊥AB,所以∠ABD=∠ADE.
另一方面,D是弧的中点,所以∠DAC=∠ABD,
所以∠ADE=∠DAC.所以△AMD为等腰三角形,
所以AM=DM.
B. 设,由条件有,,且,
,解得,.
C. 由,得,,即圆的方程为,
又由消,得,
直线与圆相切,,.
D. 设
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综上,
22. 作AP⊥CD于点P,分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,,0),D(-,,0),O(0,0,2),M(0,0,1).
(1)=(1,0,0),=(-,,-1),则cos<,>=-,
A
B
P
y
C
x
M
D
O
z
故AB与MD所成角为.
(2)=(0,,-2),=(-,,-2),
设平面OCD法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,
即,取z=,则n=(0,4,).
易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),cos<n,m>=,
故平面OAB与平面OCD所成二面角的平面角余弦值为.
23. 先用数学归纳法证明++…+≤(1-).
当n=1时,≤=(1-)成立.
假设n=k时命题成立
则当n=k+1时++…+≤+(1-),
因此,只需证辅助命题“+(1-)≤(1-)”.
设(a0,a1)=d,则a0=xd,a1=yd(x,y∈N*,y>x≥1,(x,y)=1)
所以+(1-)-(1-)=+(1-)-(1-)
=[1+x(1-)-y(1-)]=[1-(y-x)(1-)-]
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≤[1-1·(1-)-]=0.
从而+(1-)≤(1-).即n=k+1时命题成立.
由上可知,对一切n∈N*,命题都成立.
而(1-)≤1-,故++…+≤1-.
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