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- 2021-05-13 发布
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2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)
1. 【山东肥城】已知函数,.
(1)求函数的对称中心;
(2)已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且,的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.
【解析】
.
(1)令(),则(),
所以函数的对称中心为;
(2)由,得,即,
整理得,
由正弦定理得:,
化简得,
又因为,
所以,即,
由,得,
所以,即,
又的外接圆的半径为,
所以,由余弦定理得
,即,
当且仅当时取等号,所以周长的最大值为9.
2.【河北衡水】已知函数,满足,且当时,在取得最大值为.
(1)求函数在的单调递增区间;
(2)在锐角△ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,求的取值范围.
【解析】
(1)易得,整体法求出单调递增区间为,;
(2)易得,则由余弦定理可得,
由正弦定理可得,所以.
3.【山东青岛】已知向量,,,设函数.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)求f(x)在上的最大值和最小值.
【解析】
.
(1)的最小正周期为,即函数的最小正周期为.
(2)函数单调递减区间:
,,
得:,,
∴所以单调递减区间是,.
(3)∵,
∴.
由正弦函数的性质,
当,即时,取得最大值.
当,即时,,
当,即时,,
∴的最小值为.
因此,在上的最大值是,最小值是.
4.【浙江余姚】已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
【解析】
(1)由题意得
的最小正周期为
(2),
当,即时,;
当,即时,
综上,得时,取得最小值,为0;
当时,取得最大值,为
5.【山东青岛】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求cosB;
(2)如图,D为△ABC外一点,若在平面四边形ABCD中,,且,,,求AB的长.
【解析】
解:(1)在中,由正弦定理得,
又,所以,
故,
所以,
又,所以,故
(2),
又在中, ,
∴由余弦定理可得,
∴,
在中, , , ,
∴由余弦定理可得,
即,化简得,解得.
故的长为.
6.【江苏泰州】如图,在△ABC中,,,.P是△ABC内一点,且.
(1)若,求线段AP的长度;
(2)若,求△ABP的面积.
【解析】
(1)因为,所以在中,
,,,所以,
在中,,,,所以
,所以;
(2)设,则,在中,,,,
所以,在中,,,,,
由正弦定理得:
,又
.
8.【辽宁抚顺】已知向量,,
(1)求出f(x)的解析式,并写出f(x)的最小正周期,对称轴,对称中心;
(2)令,求h(x)的单调递减区间;
(3)若,求f(x)的值.
【解析】
(1)
所以的最小正周期,对称轴为
对称中心为
(2)
令 得
所以的单调减区间为
(3)若//,则 即
9.【辽宁抚顺】已知函数,.
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若,x0,求cos 2x0的值.
【解析】
(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1,
得f(x)= (2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin,
所以函数f(x)的最小正周期为π
所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1
(2)由(1)可知f(x0)=2sin
又因为f(x0)=,所以sin=.
由x0∈,得2x0+∈
从而cos==-
所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin
=
10.【广西桂林】已知.
(1)求函数的最小正周期;
(2)常数,若函数在区间上是增函数,求的取值范围;
(3)若函数在的最大值为2,求实数的值.
【解析】
(1)
. p
∴.
(2).
由得,
∴的递增区间为
∵在上是增函数,
∴当时,有.
∴解得
∴的取值范围是.
(3).
令,则.
∴.
∵,由得,
∴.
①当,即时,在处.
由,解得(舍去).
②当,即时,,由
得解得或(舍去).
③当,即时,在处,由得.
综上,或为所求.
11.【江苏无锡】如图所示,△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是笔直的),其中两腰米,.为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸AC,AB上分别取点E,F(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF(宽度不计),使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等.
(1)若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点(靠近点C),求此时水上观光通道EF的长度;
(2)当AE为多长时,观光通道EF的长度最短?并求出其最短长度.
【解析】
(1)在等腰中,过点作于,
在中,由,即,∴,,
∴三角形和四边形的周长相等.
∴,即,
∴.
∵为线段的三等分点(靠近点),∴,,
在中,,
∴米.
即水上观光通道的长度为米.
(2)由(1)知,,设,,在中,由余弦定理,得
.
∵,∴.
∴,当且仅当取得等号,
所以,当米时,水上观光通道的长度取得最小值,最小值为米.
12.【江苏苏州】如图,长方形材料ABCD中,已知,.点P为材料ABCD内部一点,于,于,且,. 现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN,满足,点M、N分别在边AB,AD上.
(1)设,试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数,并指明的取值范围;
(2)试确定点N在AD上的位置,使得四边形材料AMPN的面积S最小,并求出其最小值.
【解析】
(1)在直角中,因为,,
所以,
所以,
在直角中,因为,,
所以,
所以,
所以,.
(2)因为,
令,由,得,
所以,
当且仅当时,即时等号成立,
此时,,,
答:当时,四边形材料的面积最小,最小值为.
13.【江苏苏州】如图,在平面四边形ABCD中,,,AB=1.
(1)若,求△ABC的面积;
(2)若,,求CD的长度.
【解析】
(1)因为,所以,
即,
又因为,,所以,则,
所以.
(2)在中,由余弦定理得:
,
解得:,
在中,由正弦定理得:
,即,
所以,
在中,由余弦定理得:
,即 .
14.【山东栖霞】已知函数的部分图象如图所示,B,C分别是图象的最低点和最高点,.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象,求函数的单调递增区间.
【解析】
(1)由图象可得: ,所以的周期.
于是,得,
又,∴∴,
又将代入得,,
所以,即,
由得,,
∴.
(2)将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度,
得到的图象对应的解析式为:,
再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的解析式为,
由,得,,,
∴函数的单调递增区间为.
15.【山东滕州】已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)把函数图象上点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数的图象,求关于的方程在时所有的实数根之和.
【解析】
(1)由图象知,函数的周期,故.
点在函数图象上,
∴,
∴,
解得:,,
即,,
又,从而.
点在函数图象上,可得:,
∴.
故函数的解析式为:.
(2)依题意,得.
∵的周期,
∴在内有个周期.
令,,
解得,,
即函数的对称轴为,.
又,则,
所以在内有个实根,
不妨从小到大依次设为.
则,,
故在时所有的实数根之和为:
.