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  • 2021-05-13 发布

高考数学大题专题练习——三角函数一含解析

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‎2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)‎ 1. ‎【山东肥城】已知函数,.‎ ‎(1)求函数的对称中心;‎ ‎(2)已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且,的外接圆半径为,求△ABC周长的最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎(1)令(),则(),‎ 所以函数的对称中心为;‎ ‎(2)由,得,即,‎ 整理得,‎ 由正弦定理得:,‎ 化简得,‎ 又因为,‎ 所以,即,‎ 由,得,‎ 所以,即,‎ 又的外接圆的半径为,‎ 所以,由余弦定理得 ‎,即,‎ 当且仅当时取等号,所以周长的最大值为9.‎ ‎2.【河北衡水】已知函数,满足,且当时,在取得最大值为.‎ ‎(1)求函数在的单调递增区间;‎ ‎(2)在锐角△ABC的三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,求的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)易得,整体法求出单调递增区间为,;‎ ‎(2)易得,则由余弦定理可得,‎ 由正弦定理可得,所以.‎ ‎3.【山东青岛】已知向量,,,设函数.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(3)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎(1)的最小正周期为,即函数的最小正周期为.‎ ‎(2)函数单调递减区间:‎ ‎,,‎ 得:,,‎ ‎∴所以单调递减区间是,.‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴.‎ 由正弦函数的性质,‎ 当,即时,取得最大值.‎ 当,即时,,‎ 当,即时,,‎ ‎∴的最小值为.‎ 因此,在上的最大值是,最小值是.‎ ‎4.【浙江余姚】已知函数.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得 ‎ ‎ 的最小正周期为 ‎(2),‎ 当,即时,;‎ 当,即时, ‎ 综上,得时,取得最小值,为0;‎ 当时,取得最大值,为 ‎5.【山东青岛】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.‎ ‎(1)求cosB;‎ ‎(2)如图,D为△ABC外一点,若在平面四边形ABCD中,,且,,,求AB的长.‎ ‎【解析】‎ 解:(1)在中,由正弦定理得, ‎ 又,所以,‎ 故,‎ 所以,‎ 又,所以,故 ‎(2),‎ 又在中, , ‎ ‎∴由余弦定理可得,‎ ‎∴,‎ 在中, , , ,‎ ‎∴由余弦定理可得,‎ 即,化简得,解得.‎ 故的长为.‎ ‎6.【江苏泰州】如图,在△ABC中,,,.P是△ABC内一点,且.‎ ‎(1)若,求线段AP的长度;‎ ‎(2)若,求△ABP的面积.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为,所以在中,‎ ‎,,,所以,‎ 在中,,,,所以 ‎,所以;‎ ‎(2)设,则,在中,,,,‎ 所以,在中,,,,,‎ 由正弦定理得:‎ ‎,又 ‎.‎ ‎8.【辽宁抚顺】已知向量,,‎ ‎(1)求出f(x)的解析式,并写出f(x)的最小正周期,对称轴,对称中心;‎ ‎(2)令,求h(x)的单调递减区间;‎ ‎(3)若,求f(x)的值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ 所以的最小正周期,对称轴为 对称中心为 ‎(2)‎ ‎ 令 得 ‎ 所以的单调减区间为 ‎(3)若//,则 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.【辽宁抚顺】已知函数,.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;‎ ‎(2)若,x0,求cos 2x0的值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1,‎ 得f(x)= (2sin xcos x)+(2cos2x-1)‎ ‎=sin 2x+cos 2x=2sin,‎ 所以函数f(x)的最小正周期为π 所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1‎ ‎(2)由(1)可知f(x0)=2sin 又因为f(x0)=,所以sin=.‎ 由x0∈,得2x0+∈‎ 从而cos==-‎ 所以cos 2x0=cos=coscos+sinsin ‎=‎ ‎10.【广西桂林】已知.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)常数,若函数在区间上是增函数,求的取值范围;‎ ‎(3)若函数在的最大值为2,求实数的值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎. p ‎∴.‎ ‎(2).‎ 由得,‎ ‎∴的递增区间为 ‎∵在上是增函数,‎ ‎∴当时,有.‎ ‎∴解得 ‎∴的取值范围是.‎ ‎(3).‎ 令,则.‎ ‎∴.‎ ‎∵,由得,‎ ‎∴.‎ ‎①当,即时,在处.‎ 由,解得(舍去).‎ ‎②当,即时,,由 得解得或(舍去).‎ ‎③当,即时,在处,由得.‎ 综上,或为所求.‎ ‎11.【江苏无锡】如图所示,△ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是笔直的),其中两腰米,.为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸AC,AB上分别取点E,F(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF(宽度不计),使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等.‎ ‎(1)若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点(靠近点C),求此时水上观光通道EF的长度;‎ ‎(2)当AE为多长时,观光通道EF的长度最短?并求出其最短长度.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)在等腰中,过点作于,‎ 在中,由,即,∴,,‎ ‎∴三角形和四边形的周长相等.‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.‎ ‎∵为线段的三等分点(靠近点),∴,,‎ 在中,,‎ ‎∴米.‎ 即水上观光通道的长度为米.‎ ‎(2)由(1)知,,设,,在中,由余弦定理,得 ‎.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴,当且仅当取得等号,‎ 所以,当米时,水上观光通道的长度取得最小值,最小值为米.‎ ‎12.【江苏苏州】如图,长方形材料ABCD中,已知,.点P为材料ABCD内部一点,于,于,且,. 现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN,满足,点M、N分别在边AB,AD上.‎ ‎(1)设,试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数,并指明的取值范围;‎ ‎(2)试确定点N在AD上的位置,使得四边形材料AMPN的面积S最小,并求出其最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)在直角中,因为,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 在直角中,因为,,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,.‎ ‎(2)因为,‎ 令,由,得,‎ 所以,‎ 当且仅当时,即时等号成立,‎ 此时,,,‎ 答:当时,四边形材料的面积最小,最小值为.‎ ‎13.【江苏苏州】如图,在平面四边形ABCD中,,,AB=1.‎ ‎(1)若,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若,,求CD的长度.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为,所以,‎ 即,‎ 又因为,,所以,则,‎ 所以.‎ ‎(2)在中,由余弦定理得:‎ ‎,‎ 解得:,‎ 在中,由正弦定理得:‎ ‎,即,‎ 所以,‎ 在中,由余弦定理得:‎ ‎,即 .‎ ‎14.【山东栖霞】已知函数的部分图象如图所示,B,C分别是图象的最低点和最高点,.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位长度,再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象,求函数的单调递增区间.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由图象可得: ,所以的周期.‎ 于是,得,‎ 又,∴∴,‎ 又将代入得,,‎ 所以,即,‎ 由得,,‎ ‎∴.‎ ‎(2)将函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度,‎ 得到的图象对应的解析式为:,‎ 再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象对应的解析式为,‎ 由,得,,,‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎15.【山东滕州】已知函数 的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)把函数图象上点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,得到函数的图象,求关于的方程在时所有的实数根之和.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由图象知,函数的周期,故.‎ 点在函数图象上,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得:,,‎ 即,,‎ 又,从而.‎ 点在函数图象上,可得:,‎ ‎∴.‎ 故函数的解析式为:.‎ ‎(2)依题意,得.‎ ‎∵的周期,‎ ‎∴在内有个周期.‎ 令,,‎ 解得,,‎ 即函数的对称轴为,.‎ 又,则,‎ 所以在内有个实根,‎ 不妨从小到大依次设为.‎ 则,,‎ 故在时所有的实数根之和为:‎ ‎.‎