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统计与概率高考题 2（2015—2018 年文科） 1.（2018 全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位： 3m ）和使 用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图： (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 3m 的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中 的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 2．（2018 全国卷Ⅱ）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元） 的折线图． 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量t 的两个线性回 归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1 2 17， ，…， ）建立模 型①： ˆ 30.4 13.5  y t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1 2 7， ，…， ）建立模型②： ˆ 99 17.5 y t ． (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 3．（2018 全国卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任 务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分 成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根 据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， 2( ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 P K k k ≥ 4．（2018 北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概 率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生 变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数 的比值达到最大？（只需写出结论） 5．（2017 新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min 从该 生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ， 16 16 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 )16 16i i i i s x x x x        0.212 ， 16 2 1 ( 8.5) 18.439 i i    ， 16 1 ( )( 8.5) 2.78i i x x i      ，其中 ix 为抽取的 第i 个零件的尺寸，i =1，2，…，16． (1)求 ( , )ix i ( 1,2, ,16)i   的相关系数 r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若| | 0.25r  ，则可以认为零件的尺寸不 随生产过程的进行而系统地变大或变小)． (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )x s x s  之外的零件，就认为这 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (ⅱ)在 ( 3 , 3 )x s x s  之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生 产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到 0．01) 附：样本 ( , )i ix y ( 1,2, , )i n  的相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ， 0.008 0.09 ． 6．（2017 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时 各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下： (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量  50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。 附： 2( )P K k≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      7．（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年 销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求 量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20， 需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数 据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 为 450 瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率． 8．（2017 北京）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用 分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： [20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的 人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数 相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 9．（2016 年全国 I 卷）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用 期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易 损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面 柱状图： 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若 n =19，求 y 与 x 的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个 易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为 决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 10．（2016 年全国 II 卷）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5≥ 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 5≥ 频数 60 50 30 30 20 10 (Ⅰ)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求 ( )P A 的估计值； (Ⅱ)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”．求 ( )P B 的估计值； （III）求续保人本年度的平均保费估计值. 11．（2016 年全国 III 卷）如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿 吨）的折线图． 注：年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立 y 关于t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化 处理量. 附注：参考数据： 7 1 9.32i i y   ， 7 1 40.17i i i t y   ， 7 2 1 ( ) 0.55i i y y    ， 7 ≈2.646. 参考公式：相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t            ， 回归方程 y a bt    中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t          ， = .a y bt   12．（2016 年北京）某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费．从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米， w 至少定为多少？ （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 w =3 时，估计该市居民 该月的人均水费． 13．(2015 新课标 1)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单 位：千元）对年销售量 y （单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的 年宣传费 ix 和年销售量 iy （i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及 一些统计量的值． x y w 8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 i iw x ， w = 1 8 8 1 i i w   ． （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx  与 y c d x  哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x 、 y 的关系为 0.2z y x  ．根据（Ⅱ）的结果回 答下列问题： （ⅰ）年宣传费 49x  时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 1 1( , )u v ， 2 2( , )u v ， ，( , )n nu v ，其回归线 v u   的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i u u v v u u          ， ˆˆ v u   ． 14．（2015 新课标Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ,A B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方 图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表． B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 2 8 14 10 6 （Ⅰ）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级； 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 15．（2015 北京）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品 的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； （Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？