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- 2021-05-13 发布
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第八章 章末检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2010·山东)在空间中,下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.(2011·聊城模拟)设m、n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:
①⇒β∥γ; ②⇒m⊥β;
③⇒α⊥β; ④⇒m∥α.
其中真命题的序号是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
3.(2010·福建)
如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )
A.EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱
D.Ω是棱台
4.正四面体的内切球与外接球的半径之比为( )
A.1∶3 B.1∶9 C.1∶27 D.1∶81
5.(2011·广东)如图所示,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
6.(2011·舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A. B. C. D.
7.
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B.
C. D.
8.(2011·四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
9.(2011·临沂模拟)某几何体的三视图如图,则该几何体的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
10.设P是60°的二面角α—l—β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A、B分别为垂足,PA=4,PB=2,则AB的长是( )
A.2 B.2 C.2 D.4
11.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形的边长是a,D,E分别是BB1,CC1上的点,且EC=BC=2BD,则平面ADE与平面ABC的夹角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
12.(2011·丽水月考)
如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图,是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是________.
14.
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H,N分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC,BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则点M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.
15.(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为________.
16.(2011·阳江月考)正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.
(1)求圆锥的体积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?
18.(12分)已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使面ABC与面ADC垂直,求B、D间的距离.
19.(12分)(2011·陕西)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.
(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值.
20.(12分)(2011·广州模拟)
如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.
(1)求证:BC⊥平面AA1C;
(2)求三棱锥A1—ABC的体积的最大值.
21.(12分)(2011·重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°.
(1)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.
(2)若二面角C-AB-D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
22.(12分)(2011·北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
第八章 章末检测
1.D 2.C 3.D 4.A
5.B [由三视图可还原几何体的直观图如图所示.
此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3,高为的平行六面体,所求体积V=3×3×=9.]
6.A 7.B
8.B [当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3
未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确.]
9.D 10.C 11.B 12.A
13.16 14.M∈线段FH 15.π 16.30°
17.解 (1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r,
则2πr=5×,解得r=3.(2分)
所以圆锥的高为4.
从而圆锥的体积V=πr2×4=12π.(4分)
(2)右图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.
设圆柱的底面半径为a,
则=,从而a=3-x.(6分)
圆柱的侧面积S(x)=2π(3-x)x
=π(4x-x2)=π[4-(x-2)2](00),则=(-1,-,t).
设平面PBC的法向量m=(x,y,z),
则·m=0,·m=0.
所以
令y=,则x=3,z=.所以m=(3,,).
同理,平面PDC的法向量n=(-3,,).
(10分)
因为平面PBC⊥平面PDC,
所以m·n=0,即-6+=0,
解得t=.所以PA=.(12分)