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- 2021-05-13 发布
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学案75 坐标系与参数方程
导学目标:1.了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程,会进行参数方程与普通方程的互化,并能进行简单应用.
自主梳理
1.极坐标系的概念
在平面上取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做________;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个____________.
设M是平面上任一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的________,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的________,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的__________,记作(ρ,θ).
2.极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=__________,y=__________.另一种关系为:ρ2=__________,tan θ=______________.
3.简单曲线的极坐标方程
(1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么方程φ(ρ,θ)=0叫做曲线的____________.
(2)常见曲线的极坐标方程
①圆的极坐标方程
____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆;
____________表示圆心在(r,)半径为|r|的圆;
________表示圆心在极点,半径为|r|的圆.
②直线的极坐标方程
____________表示过极点且与极轴成α角的直线;
____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;
____________表示过(b,)且平行于极轴的直线;
ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示过(ρ0,θ0)且与极轴成α角的直线方程.
4.常见曲线的参数方程
(1)直线的参数方程
若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为这是直线的参数方程,其中参数l有明显的几何意义.
(2)圆的参数方程
若圆心在点M(a,b),半径为R,则圆的参数方程为0≤α<2π.
(3)椭圆的参数方程
中心在坐标原点的椭圆+=1的参数方程为(φ为参数).
(4)抛物线的参数方程
抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为
自我检测
1.(2010·北京)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
2.(2010·湖南)极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.圆、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.直线、直线
3.(2010·重庆)直线y=x+与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交于A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为( )
A.π B.π
C.π D.π
4.(2011·广州一模)在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
5.(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.
探究点一 求曲线的极坐标方程
例1 在极坐标系中,以(,)为圆心,为半径的圆的方程为________.
变式迁移1 如图,求经过点A(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线l的极坐标方程.
探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M、N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin(θ-)=,
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
探究点三 参数方程与普通方程的互化
例3 将下列参数方程化为普通方程:
(1);(2);(3).
变式迁移3 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图.
(1)(θ为参数);
(2) (t为参数).
探究点四 参数方程与极坐标的综合应用
例4 求圆ρ=3cos θ被直线(t是参数)截得的弦长.
变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)
M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
本节内容要注意以下两点:一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.二、在普通方程中,有些F(x,y)=0不易得到,这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x,y之间的关系.同时,在直角坐标系中,很多比较复杂的计算(如圆锥曲线),若借助于参数方程来解决,将会大大简化计算量.将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的x,y(它们都是参数的函数)的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等.同极坐标方程一样,在没有充分理解参数方程的前提下,可先化成直角坐标方程再去解决相关问题.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在极坐标系中,与点(3,-)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A.(3,π) B.(3,) C.(3,π) D.(3,π)
2.曲线的极坐标方程为ρ=2cos2-1的直角坐标方程为( )
A.x2+(y-)2= B.(x-)2+y2=
C.x2+y2= D.x2+y2=1
3.(2010·湛江模拟)在极坐标方程中,曲线C的方程是ρ=4sin θ,过点(4,)作曲线C的切线,则切线长为( )
A.4 B. C.2 D.2
4.(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2+y2-xsin 2θ+2·ysin(θ+)=0(θ为参数),那么圆心的轨迹是( )
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.抛物线 D.抛物线的一部分
5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010·天津)已知圆C的圆心是直线
(t为参数)与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为________.
7.(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为________.
8.(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的极坐标方程为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(φ为参数)的右焦点,且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.
10.(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.
11.(14分)(2010·课标全国)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
学案75 坐标系与参数方程
自主梳理
1.极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2 (x≠
0) 3.(1)极坐标方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r ②θ=α(ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b
自我检测
1.C 2.A 3.C
4.4
5.(-1,1),(1,1)
解析 ∵y=ρsin θ,
∴直线l的直角坐标方程为y=1.
由得x2+(y-1)2=1.
由得或
∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1).
课堂活动区
例1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;③将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程;④证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可以省略.
答案 ρ=asin θ,0≤θ<π
解析 圆的直径为a,设圆心为C,在圆上任取一点A(ρ,θ),
则∠AOC=-θ或θ-,
即∠AOC=|θ-|.
又ρ=acos∠AOC=acos|θ-|=asin θ.
∴圆的方程是ρ=asin θ,0≤θ<π.
变式迁移1 解 设P(ρ,θ)是直线l上任意一点,OPcos θ=OA,
即ρcos θ=a,
故所求直线的极坐标方程为ρcos θ=a.
例2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
解 (1)由ρcos=1得
ρ=1.
从而C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2,当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0).
N点的直角坐标为(0,).
所以P点的直角坐标为,
则P点的极坐标为,
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).
变式迁移2 解 (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0.
直线l:ρsin(θ-)=,即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为y-x=1,
即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,).
例3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程.对于(1)直接消去参数k有困难,可通过两式相除,先降低k的次数,再运用代入法消去k;对于(2)可运用恒等式(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ消去θ;对于(3)可运用恒等式()2+()2=1消去t.
另外,参数方程化为普通方程时,不仅要消去参数,还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.
解 (1)两式相除,得k=.将k=代入,得x=.
化简,得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6).
(2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),
得y2=2-x.
又x=1-sin 2θ∈[0,2],
得所求的普通方程是y2=2-x,x∈[0,2].
(3)由()2+()2=1,
得x2+4y2=1.
又x=≠-1,
得所求的普通方程是x2+4y2=1(x≠-1).
变式迁移3 解 (1)由y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x,
得y2=2x+1.
∵-≤sin 2θ≤,∴-≤x≤.
∵-≤sin θ+cos θ≤,∴-≤y≤.
故所求普通方程为
y2=2 (-≤x≤,-≤y≤),图形为抛物线的一部分.
图形如图甲所示.
(2)由x2+y2=2+2=1及x=≠0,xy=≥0知,所求轨迹为两段圆弧x2+y2=1 (03,∴有2个点.]
6.(x+1)2+y2=2
解析 直线(t为参数)与x轴的交点为(-1,0),故圆C的圆心为(-1,0).又圆C与直线x+y+3=0相切,∴圆C的半径为r==,∴圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
7.(1,)
解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为+y2=1(0≤y≤1,-0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(12分)
方法二 (1)同方法一.
(2)因为圆C的圆心为点(0,),半径r=,直线l的普通方程为y=-x+3+.(8分)
由得x2-3x+2=0.
解得或(10分)
不妨设A(1,2+),B(2,1+),又点P的坐标为(3,),
故|PA|+|PB|=+=3.(12分)
11.解 (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1,联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),(,-).(7分)
(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.
A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),
故当α变化时,P点轨迹的参数方程为
(α为参数).(9分)
P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=.(12分)
故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.
(14分)