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  • 2021-05-13 发布

2015高考数学(理)(坐标系与参数方程)一轮复习学案

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学案75 坐标系与参数方程 导学目标:1.了解坐标系的有关概念,理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程,会进行参数方程与普通方程的互化,并能进行简单应用.‎ 自主梳理 ‎1.极坐标系的概念 在平面上取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做________;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个____________.‎ 设M是平面上任一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的________,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的________,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的__________,记作(ρ,θ).‎ ‎2.极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=__________,y=__________.另一种关系为:ρ2=__________,tan θ=______________.‎ ‎3.简单曲线的极坐标方程 ‎(1)一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程φ(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么方程φ(ρ,θ)=0叫做曲线的____________.‎ ‎(2)常见曲线的极坐标方程 ‎①圆的极坐标方程 ‎____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆;‎ ‎____________表示圆心在(r,)半径为|r|的圆;‎ ‎________表示圆心在极点,半径为|r|的圆.‎ ‎②直线的极坐标方程 ‎____________表示过极点且与极轴成α角的直线;‎ ‎____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线;‎ ‎____________表示过(b,)且平行于极轴的直线;‎ ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)表示过(ρ0,θ0)且与极轴成α角的直线方程.‎ ‎4.常见曲线的参数方程 ‎(1)直线的参数方程 若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为这是直线的参数方程,其中参数l有明显的几何意义.‎ ‎(2)圆的参数方程 若圆心在点M(a,b),半径为R,则圆的参数方程为0≤α<2π.‎ ‎(3)椭圆的参数方程 中心在坐标原点的椭圆+=1的参数方程为(φ为参数).‎ ‎(4)抛物线的参数方程 抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为 自我检测 ‎1.(2010·北京)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )‎ A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 ‎2.(2010·湖南)极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(  )‎ A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线 ‎3.(2010·重庆)直线y=x+与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交于A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为(  )‎ A.π B.π C.π D.π ‎4.(2011·广州一模)在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为________.‎ ‎5.(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.‎ 探究点一 求曲线的极坐标方程 例1 在极坐标系中,以(,)为圆心,为半径的圆的方程为________.‎ 变式迁移1 如图,求经过点A(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线l的极坐标方程.‎ 探究点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M、N分别为C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ 变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin(θ-)=,‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ 探究点三 参数方程与普通方程的互化 例3 将下列参数方程化为普通方程:‎ ‎(1);(2);(3).‎ 变式迁移3 化下列参数方程为普通方程,并作出曲线的草图.‎ ‎(1)(θ为参数);‎ ‎(2) (t为参数).‎ 探究点四 参数方程与极坐标的综合应用 例4 求圆ρ=3cos θ被直线(t是参数)截得的弦长.‎ 变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)‎ M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.‎ 本节内容要注意以下两点:一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.二、在普通方程中,有些F(x,y)=0不易得到,这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x,y之间的关系.同时,在直角坐标系中,很多比较复杂的计算(如圆锥曲线),若借助于参数方程来解决,将会大大简化计算量.将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中的x,y(它们都是参数的函数)的取值范围,也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.参数方程化普通方程常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等.同极坐标方程一样,在没有充分理解参数方程的前提下,可先化成直角坐标方程再去解决相关问题.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.在极坐标系中,与点(3,-)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是(  )‎ A.(3,π) B.(3,) C.(3,π) D.(3,π)‎ ‎2.曲线的极坐标方程为ρ=2cos2-1的直角坐标方程为(  )‎ A.x2+(y-)2= B.(x-)2+y2= C.x2+y2= D.x2+y2=1‎ ‎3.(2010·湛江模拟)在极坐标方程中,曲线C的方程是ρ=4sin θ,过点(4,)作曲线C的切线,则切线长为(  )‎ A.4 B. C.2 D.2 ‎4.(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2+y2-xsin 2θ+2·ysin(θ+)=0(θ为参数),那么圆心的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.抛物线的一部分 ‎5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 ‎ C.3 D.4‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2010·天津)已知圆C的圆心是直线 ‎(t为参数)与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为________.‎ ‎7.(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为________.‎ ‎8.(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数),若以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的极坐标方程为________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(φ为参数)的右焦点,且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.‎ ‎10.(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求|PA|+|PB|.‎ ‎11.(14分)(2010·课标全国)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).‎ ‎(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ 学案75 坐标系与参数方程 自主梳理 ‎1.极轴 极坐标系 极径 极角 极坐标 2.ρcos θ ρsin θ x2+y2 (x≠‎ ‎0) 3.(1)极坐标方程 (2)①ρ=2rcos θ ρ=2rsin θ ρ=r ②θ=α(ρ∈R) ρcos θ=a ρsin θ=b 自我检测 ‎1.C 2.A 3.C ‎4.4 ‎5.(-1,1),(1,1)‎ 解析 ∵y=ρsin θ,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为y=1.‎ 由得x2+(y-1)2=1.‎ 由得或 ‎∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1).‎ 课堂活动区 例1 解题导引 求曲线的极坐标方程的步骤:①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;②由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;③将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程;④证明所得方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可以省略.‎ 答案 ρ=asin θ,0≤θ<π 解析 圆的直径为a,设圆心为C,在圆上任取一点A(ρ,θ),‎ 则∠AOC=-θ或θ-,‎ 即∠AOC=|θ-|.‎ 又ρ=acos∠AOC=acos|θ-|=asin θ.‎ ‎∴圆的方程是ρ=asin θ,0≤θ<π.‎ 变式迁移1 解 设P(ρ,θ)是直线l上任意一点,OPcos θ=OA,‎ 即ρcos θ=a,‎ 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ=a.‎ 例2 解题导引 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.‎ 解 (1)由ρcos=1得 ρ=1.‎ 从而C的直角坐标方程为x+y=1,‎ 即x+y=2,当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).‎ 当θ=时,ρ=,所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0).‎ N点的直角坐标为(0,).‎ 所以P点的直角坐标为,‎ 则P点的极坐标为,‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).‎ 变式迁移2 解 (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,‎ 即x2+y2-x-y=0.‎ 直线l:ρsin(θ-)=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为y-x=1,‎ 即x-y+1=0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,).‎ 例3 解题导引 参数方程通过消去参数化为普通方程.对于(1)直接消去参数k有困难,可通过两式相除,先降低k的次数,再运用代入法消去k;对于(2)可运用恒等式(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ消去θ;对于(3)可运用恒等式()2+()2=1消去t.‎ 另外,参数方程化为普通方程时,不仅要消去参数,还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致.‎ 解 (1)两式相除,得k=.将k=代入,得x=.‎ 化简,得所求的普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6).‎ ‎(2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ),‎ 得y2=2-x.‎ 又x=1-sin 2θ∈[0,2],‎ 得所求的普通方程是y2=2-x,x∈[0,2].‎ ‎(3)由()2+()2=1,‎ 得x2+4y2=1.‎ 又x=≠-1,‎ 得所求的普通方程是x2+4y2=1(x≠-1).‎ 变式迁移3 解 (1)由y2=(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=1+2x,‎ 得y2=2x+1.‎ ‎∵-≤sin 2θ≤,∴-≤x≤.‎ ‎∵-≤sin θ+cos θ≤,∴-≤y≤.‎ 故所求普通方程为 y2=2 (-≤x≤,-≤y≤),图形为抛物线的一部分.‎ 图形如图甲所示.‎ ‎(2)由x2+y2=2+2=1及x=≠0,xy=≥0知,所求轨迹为两段圆弧x2+y2=1 (03,∴有2个点.]‎ ‎6.(x+1)2+y2=2‎ 解析 直线(t为参数)与x轴的交点为(-1,0),故圆C的圆心为(-1,0).又圆C与直线x+y+3=0相切,∴圆C的半径为r==,∴圆C的方程为(x+1)2+y2=2.‎ ‎7.(1,)‎ 解析 将两曲线的参数方程化为一般方程分别为+y2=1(0≤y≤1,-0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以 又直线l过点P(3,),‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.(12分)‎ 方法二 (1)同方法一.‎ ‎(2)因为圆C的圆心为点(0,),半径r=,直线l的普通方程为y=-x+3+.(8分)‎ 由得x2-3x+2=0.‎ 解得或(10分)‎ 不妨设A(1,2+),B(2,1+),又点P的坐标为(3,),‎ 故|PA|+|PB|=+=3.(12分)‎ ‎11.解 (1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1,联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),(,-).(7分)‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.‎ A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),‎ 故当α变化时,P点轨迹的参数方程为 (α为参数).(9分)‎ P点轨迹的普通方程为(x-)2+y2=.(12分)‎ 故P点轨迹是圆心为(,0),半径为的圆.‎ ‎(14分)‎