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  • 2021-05-13 发布

2013上海高考数学试卷理科含答案精美排版

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‎2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类)‎ 考生注意:‎ 1. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.‎ 2. 本试卷共有23道试题,满分150分. 考试时间120分钟.‎ 一. 填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ 1. 计算:__________.‎ 2. 设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则__________.‎ 3. 若,则__________.‎ 4. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若,则角C的大小是__________(结果用反三角函数值表示).‎ 5. 设常数. 若的二项展开式中项的系数为,则__________.‎ 6. 方程的实数解为__________.‎ 7. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________.‎ 8. 盒子中装有编号为的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是__________(结果用最简分数表示).‎ 9. 设AB是椭圆的长轴,点C在上,且. 若,,则的两个焦点之间的距离为__________.‎ 10. 设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差__________.‎ 11. 若,,则__________.‎ 1. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,. 若对一切成立,则a的取值范围为__________.‎ y x O ‎1‎ ‎−1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 4‎ 第13题图 2. 在平面上,将两个半圆弧()和()、两条直线和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记D绕y轴旋转一周而成的几何体为. 过()作的水平截面,所得截面面积为. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________.‎ 3. 对区间上有定义的函数,记. 已知定义域为的函数有反函数,且,. 若方程有解,则__________.‎ 一. 选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否则一律得零分.‎ 4. 设常数,集合,. 若,则a的取值范围为( ). (A) (B) (C) (D) ‎ 5. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( ). (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 6. 在数列中,. 若一个行列的矩阵的第行第列的元素(;),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ). (A) 18 (B) 28 (C) 48 (D) 63‎ 7. 在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、. 若 m、M分别为的最小值、最大值,其中,,则m、M满足( ). (A) , (B) , (C) , (D) ,‎ 一. 解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ B A A'‎ B'‎ D D'‎ C C'‎ 第19题图 1. ‎(本题满分12分) 如图,在长方体中,,,. 证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离. ‎ 2. ‎(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每一小时可获得的利润是元.‎ ‎ (1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;‎ ‎ (2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.‎ 3. ‎(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 已知函数,其中常数.‎ ‎ (1) 若在上单调递增,求的取值范围;‎ ‎ (2) 令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像. 区间(,且)满足:在上至少含有30个零点. 在所有满足上述条件的中,求的最小值.‎ 1. ‎(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分. 如图,已知双曲线,曲线. 是平面内一点,若存在过点P的直线与、都有公共点,则称P为“型点”.‎ O 第22题图 y x ‎ (1) 在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);‎ ‎ (2) 设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;‎ ‎ (3) 求证:圆内的点都不是“型点”.‎ 2. ‎(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分. 给定常数,定义函数. 数列满足.‎ ‎ (1) 若,求及;‎ ‎ (2) 求证:对任意;‎ ‎ (3) 是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.‎ ‎2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷(理工农医类)‎ 答案要点及评分标准 说明 1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.‎ 2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.‎ 解答 一. ‎(第1题至第14题)‎ ‎ 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. .‎ 一. ‎(第15题至第18题)‎ 题 号 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 代 号 B B A D B A A'‎ B'‎ D D'‎ C C'‎ 第19题图 y x z 二. ‎(第19题至第23题)‎ 19. ‎(本题满分12分)‎ ‎ 如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、、、、.‎ ‎ 设平面的法向量为,则,.‎ ‎ 因为,,,, 所以解得. 取,得平面的一个法向量 ‎. 因为,所以,所以.‎ ‎ 又不在平面内,所以直线与平面平行. 由,得点B到平面的距离, 所以直线到平面的距离为.‎ 19. ‎(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ ‎(1) 生产该产品2小时的利润为. 由题意,,解得或. 又,所以.‎ ‎(2) 生产900千克该产品,所用的时间是小时, 获得的利润为. 记, 则,当且仅当时取到最大值. 最大利润为元. 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.‎ 20. ‎(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ ‎(1) 因为函数在上单调递增,且, 所以,且, 所以.‎ ‎(2) , 将的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到的图像,所以 ‎. 令,得或, 所以两个相邻零点之间的距离为或. 若最小,则a和b都是零点, 此时在区间,,,()上分别恰有3,5,,个零点,所以区间上恰有29个零点, 从而在区间上至少有一个零点,所以.‎ ‎ 另一方面,在区间上恰有30个零点, 因此,的最小值为.‎ 19. ‎(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.‎ ‎(1) 的左焦点为,写出的直线方程可以是以下形式: 或,其中.‎ ‎(2) 因为直线与有公共点, 所以方程组有实数解,因此,得. 若原点是“型点”,则存在过原点的直线与都有公共点. 考虑过原点与有公共点的直线或(). 显然直线与无公共点.‎ ‎ 如果直线为(),则由方程组得,矛盾. 所以直线()与也无公共点.‎ ‎ 因此原点不是“型点”.‎ ‎(3) 记圆,取圆O内的一点Q. 设有经过Q的直线l与都有公共点. 显然l不垂直于x轴,故可设 ‎. 若,由于圆O夹在两组平行线与之间,因此圆O也夹在直线与之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点,矛盾,所以.‎ ‎ 因为l与有公共点,所以方程组有实数解, 得. 因为,所以, 因此, 即. 因为圆O的圆心到直线l的距离, 所以,从而,得,与矛盾. 因此,圆内的点都不是“型点”.‎ 19. ‎(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ ‎(1) .‎ ‎(2) 当时,; 当时,; 当时,. 所以,对任意,.‎ ‎(3) 由(2),结合,得,即为无穷递增数列. 又为等差数列,所以存在正数M,当时,, ‎ 从而. 由于为等差数列,因此其公差.‎ ‎ ① 若,则, 又,故,即,从而. 当时,由于为递增数列,故, 所以,,而, 故当时,为无穷等差数列,符合要求;‎ ‎ ② 若,则,又, 所以,,得,舍去;‎ ‎ ③ 若,则由得到, 从而为无穷等差数列,符合要求.‎ ‎ 综上,的取值集合为.‎