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- 2021-05-13 发布
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2013年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意:
1. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
2. 本试卷共有23道试题,满分150分. 考试时间120分钟.
一. 填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 计算:__________.
2. 设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则__________.
3. 若,则__________.
4. 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若,则角C的大小是__________(结果用反三角函数值表示).
5. 设常数. 若的二项展开式中项的系数为,则__________.
6. 方程的实数解为__________.
7. 在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________.
8. 盒子中装有编号为的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是__________(结果用最简分数表示).
9. 设AB是椭圆的长轴,点C在上,且. 若,,则的两个焦点之间的距离为__________.
10. 设非零常数d是等差数列的公差,随机变量等可能地取值,则方差__________.
11. 若,,则__________.
1. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,. 若对一切成立,则a的取值范围为__________.
y
x
O
1
−1
1
2
3
4
第13题图
2. 在平面上,将两个半圆弧()和()、两条直线和围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记D绕y轴旋转一周而成的几何体为. 过()作的水平截面,所得截面面积为. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为__________.
3. 对区间上有定义的函数,记. 已知定义域为的函数有反函数,且,. 若方程有解,则__________.
一. 选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5分,否则一律得零分.
4. 设常数,集合,. 若,则a的取值范围为( ).
(A) (B) (C) (D)
5. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( ).
(A) 充分条件 (B) 必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
6. 在数列中,. 若一个行列的矩阵的第行第列的元素(;),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ).
(A) 18 (B) 28 (C) 48 (D) 63
7. 在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、. 若
m、M分别为的最小值、最大值,其中,,则m、M满足( ).
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
一. 解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
B
A
A'
B'
D
D'
C
C'
第19题图
1. (本题满分12分)
如图,在长方体中,,,. 证明直线平行于平面,并求直线到平面的距离.
2. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每一小时可获得的利润是元.
(1) 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2) 要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
3. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数,其中常数.
(1) 若在上单调递增,求的取值范围;
(2) 令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像. 区间(,且)满足:在上至少含有30个零点. 在所有满足上述条件的中,求的最小值.
1. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
如图,已知双曲线,曲线. 是平面内一点,若存在过点P的直线与、都有公共点,则称P为“型点”.
O
第22题图
y
x
(1) 在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2) 设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;
(3) 求证:圆内的点都不是“型点”.
2. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
给定常数,定义函数. 数列满足.
(1) 若,求及;
(2) 求证:对任意;
(3) 是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.
2013年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
答案要点及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
解答
一. (第1题至第14题)
1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. . 8. . 9. . 10. .
11. . 12. . 13. . 14. .
一. (第15题至第18题)
题 号
15
16
17
18
代 号
B
B
A
D
B
A
A'
B'
D
D'
C
C'
第19题图
y
x
z
二. (第19题至第23题)
19. (本题满分12分)
如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为、、、、.
设平面的法向量为,则,.
因为,,,,
所以解得. 取,得平面的一个法向量
.
因为,所以,所以.
又不在平面内,所以直线与平面平行.
由,得点B到平面的距离,
所以直线到平面的距离为.
19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1) 生产该产品2小时的利润为.
由题意,,解得或.
又,所以.
(2) 生产900千克该产品,所用的时间是小时,
获得的利润为.
记,
则,当且仅当时取到最大值.
最大利润为元.
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为457500元.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
(1) 因为函数在上单调递增,且,
所以,且,
所以.
(2) ,
将的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到的图像,所以
.
令,得或,
所以两个相邻零点之间的距离为或.
若最小,则a和b都是零点,
此时在区间,,,()上分别恰有3,5,,个零点,所以区间上恰有29个零点,
从而在区间上至少有一个零点,所以.
另一方面,在区间上恰有30个零点,
因此,的最小值为.
19. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
(1) 的左焦点为,写出的直线方程可以是以下形式:
或,其中.
(2) 因为直线与有公共点,
所以方程组有实数解,因此,得.
若原点是“型点”,则存在过原点的直线与都有公共点.
考虑过原点与有公共点的直线或().
显然直线与无公共点.
如果直线为(),则由方程组得,矛盾. 所以直线()与也无公共点.
因此原点不是“型点”.
(3) 记圆,取圆O内的一点Q. 设有经过Q的直线l与都有公共点. 显然l不垂直于x轴,故可设
.
若,由于圆O夹在两组平行线与之间,因此圆O也夹在直线与之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点,矛盾,所以.
因为l与有公共点,所以方程组有实数解,
得. 因为,所以,
因此,
即.
因为圆O的圆心到直线l的距离,
所以,从而,得,与矛盾.
因此,圆内的点都不是“型点”.
19. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(1) .
(2)
当时,;
当时,;
当时,.
所以,对任意,.
(3) 由(2),结合,得,即为无穷递增数列.
又为等差数列,所以存在正数M,当时,,
从而.
由于为等差数列,因此其公差.
① 若,则,
又,故,即,从而.
当时,由于为递增数列,故,
所以,,而,
故当时,为无穷等差数列,符合要求;
② 若,则,又,
所以,,得,舍去;
③ 若,则由得到,
从而为无穷等差数列,符合要求.
综上,的取值集合为.
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