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- 2021-05-13 发布
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第十讲 导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势:
综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:
(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.
(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2007年北京卷)是的导函数,则的值是 .
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2 曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(2007年湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.
(I)求的最大值;
(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
思路启迪:用求导来求得切线斜率.
解答过程:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,
设两实根为(),则,且.于是
,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.
(II)解法一:由知在点处的切线的方程是
,即,
因为切线在点处空过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点.
而,且
.
若,则和都是的极值点.
所以,即,又由,得,故.
解法二:同解法一得
.
因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,则
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
由知是的一个极值点,则,
所以,又由,得,故.
例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )
A. B.
C. D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.
故选A.
例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由
故选A.
例6.已知两抛物线, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对求导数.
解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即 ①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.
∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 .(2007年全国一)设函数在及时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.
解答过程:(Ⅰ),
因为函数在及取得极值,则有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
当时,;
当时,;
当时,.
所以,当时,取得极大值,又,.
则当时,的最大值为.
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范围为.
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:由得,,即函数的定义域为.
,
又,
当时,,
函数在上是增函数,而,的值域是.
例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.
(1)当时,判断函数是否有极值;
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ),令,得.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,函数在处取得极小值,且.
要使,必有,可得.
由于,故.
②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此,函数处取得极小值,且
若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.
综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.
(III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数。
由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.
综上,解得或.
所以的取值范围是.
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,
故在上递增,在上递减,
因此在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由即得
所以
例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,
由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,
那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须
(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得00时,f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时,f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A、(2,3) B、(3,+∞) C、(2,+∞) D、(-∞,3)
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x0)=2, =_________.
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+),在[0,1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)y=(x2-2x+3)e2x;
(2)y=.
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度.
22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1,(x≠0,n∈N*).
23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.
25.已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:ab>ba.
26.设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=.
(1)求f(α)·f(β)的值;
(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;
(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?
【参考答案】
一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1.
答案:B
2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面,y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=-3,y0(2)=-15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(-3,3)或B(-15,),从而得y′(A)= =-1及y′(B)= ,由于切线过原点,故得切线:lA:y=-x或lB:y=-.
答案:A
3.解析:由=-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时<0,于是当x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.
答案:B
4.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值,最大值fn()=n2()2(1-)n=4·()n+1.
答案:D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)=(这时)
答案:-1
14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!
答案:n!
15.解析:函数的定义域是x>或x<-2,f′(x)=.(3x2+5x-2)′=,
①若a>1,则当x>时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.
②若0<a<1,则当x>时,f′(x)<0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数,当x<-2时,
f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.
答案:(-∞,-2)
16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
从而
.
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下:
h
(0, R)
R
(,2R)
S′
+
0
-
S
增函数
最大值
减函数
由此表可知,当x=R时,等腰三角形面积最大.
答案:R
三、17. 解:由l过原点,知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0,
∴=x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
又k=,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=()3-3()2+2·=-.∴k==-.
∴l方程y=-x 切点(,-).
18. ,
令f’(x)=0得,x=0,x=1,x= ,
在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, .
∴ .
19.设双曲线上任一点P(x0,y0),
,
∴ 切线方程 ,
令y=0,则x=2x0
令x=0,则 .
∴ .
20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得
lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
(2)两端取对数,得
ln|y|=(ln|x|-ln|1-x|),
两边解x求导,得
21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5-,当下端移开1.4 m时,t0=,
又s′=- (25-9t2)·(-9·2t)=9t,
所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).
22.解:(1)当x=1时,Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导,得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=.
23.解:f′(x)=3ax2+1.
若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.
若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,∵f′(x)=3a(x+)·(x-),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a<0且单调减区间为(-∞,-)和(,+∞),
单调增区间为(-, ).
24.解:f′(x)=+2bx+1,
(1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,
解方程组可得a=-,b=-,∴f(x)=-lnx-x2+x,
(2)f′(x)=-x-1-x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值-ln2.
25.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则
f′(b)=lna-.∵b>a>e,∴lna>1,且<1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba.
证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b,即证,设f(x)=(x>e),则f′(x)=<0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,
1,3,5
∴f(a)>f(b),即,∴ab>ba.
26.解:(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,
.
∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.
(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.