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  • 2021-05-13 发布

高考数学专题导数题的解题技巧

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第十讲 导数题的解题技巧 ‎【命题趋向】导数命题趋势:‎ 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点:‎ ‎(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.‎ ‎(2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.‎ 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题.‎ ‎【考点透视】‎ ‎1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.‎ ‎2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.‎ ‎3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.‎ ‎【例题解析】‎ 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ‎ 例1.(2007年北京卷)是的导函数,则的值是 .‎ ‎[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.‎ ‎[解答过程] ‎ 故填3.‎ 例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) ‎ A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由 综上可得MP时, ‎ 考点2 曲线的切线 ‎(1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.‎ ‎(2)关于两曲线的公切线 ‎ 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.‎ 典型例题 例3.(2007年湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.‎ ‎(I)求的最大值;‎ ‎(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.‎ 思路启迪:用求导来求得切线斜率.‎ 解答过程:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,‎ 设两实根为(),则,且.于是 ‎,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.‎ ‎(II)解法一:由知在点处的切线的方程是 ‎,即,‎ 因为切线在点处空过的图象,‎ 所以在两边附近的函数值异号,则 不是的极值点.‎ 而,且 ‎.‎ 若,则和都是的极值点.‎ 所以,即,又由,得,故.‎ 解法二:同解法一得 ‎.‎ 因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().‎ 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 设,则 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 由知是的一个极值点,则,‎ 所以,又由,得,故.‎ 例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.‎ 故选A.‎ 例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )‎ A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x ‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]解法1:设切线的方程为 又 故选A.‎ 解法2:由解法1知切点坐标为由 故选A.‎ 例6.已知两抛物线, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.‎ 思路启迪:先对求导数.‎ 解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即   ①‎ 曲线在点Q的切线方程是即 ‎   ②‎ 若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得 ‎,消去得方程, ‎ 若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.‎ ‎∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .‎ 考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:‎ ‎1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);‎ ‎5.构造函数证明不等式.‎ 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )‎ A.1个 ‎ B.2个 ‎ C.3个 D. 4个 ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.‎ 故选A.‎ 例8 .(2007年全国一)设函数在及时取得极值.‎ ‎(Ⅰ)求a、b的值;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.‎ 思路启迪:利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值.‎ 解答过程:(Ⅰ),‎ 因为函数在及取得极值,则有,.‎ 即 解得,.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,‎ ‎.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ 所以,当时,取得极大值,又,.‎ 则当时,的最大值为.‎ 因为对于任意的,有恒成立,‎ 所以 ,‎ 解得 或,‎ 因此的取值范围为.‎ 例9.函数的值域是_____________.‎ 思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。‎ 解答过程:由得,,即函数的定义域为.‎ ‎ ,‎ ‎ 又,‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 函数在上是增函数,而,的值域是.‎ 例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.‎ ‎(1)当时,判断函数是否有极值;‎ ‎(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;‎ ‎(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.‎ ‎[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.‎ ‎(Ⅱ),令,得.‎ 由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此,函数在处取得极小值,且.‎ 要使,必有,可得.‎ 由于,故.‎ ②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此,函数处取得极小值,且 若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.‎ 综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.‎ ‎(III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数。‎ 由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组 ‎ 或 ‎ 由(II),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.‎ 综上,解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ 例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.‎ ‎[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]由已知得函数的定义域为,且 ‎(1)当时,函数在上单调递减,‎ ‎(2)当时,由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时,函数在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递增.‎ 综上所述:当时,函数在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.‎ 例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:‎ ‎(Ⅰ)的值;‎ ‎(Ⅱ)的值.‎ ‎[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,‎ 故在上递增,在上递减,‎ 因此在处取得极大值,所以 ‎(Ⅱ)‎ 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)设 又 所以 由即得 所以 例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.‎ ‎(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,‎ 由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,‎ 则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ‎=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.‎ 令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,‎ 所以x+a+1≠0,那么a≠-4.‎ 当a<-4时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ 当a>-4时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],‎ 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,‎ 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].‎ 又在区间[0,4]上是增函数,‎ 且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],‎ 由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须 ‎(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得00时,f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时,f(0)为极小值 ‎11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )‎ A、(2,3) B、(3,+∞) C、(2,+∞) D、(-∞,3)‎ ‎12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中( )‎ A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题 ‎13.若f′(x0)=2, =_________.‎ ‎14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.‎ ‎15.函数f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0且a≠1)的单调区间_________.‎ ‎16.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.‎ 三、解答题 ‎17.已知曲线C:y=x3-3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.‎ ‎18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+),在[0,1]内的最大值.‎ ‎19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.‎ ‎20.求函数的导数 ‎(1)y=(x2-2x+3)e2x;‎ ‎(2)y=.‎ ‎21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度.‎ ‎22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1,(x≠0,n∈N*).‎ ‎23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.‎ ‎24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.‎ ‎(1)试确定常数a和b的值;‎ ‎(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由.‎ ‎25.已知a、b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底,求证:ab>ba.‎ ‎26.设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根为α、β(α<β),函数f(x)=.‎ ‎(1)求f(α)·f(β)的值;‎ ‎(2)证明f(x)是[α,β]上的增函数;‎ ‎(3)当a为何值时,f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?‎ ‎【参考答案】‎ 一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1.‎ 答案:B ‎2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面,y′=()′=,故 y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=-3,y0(2)=-15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(-3,3)或B(-15,),从而得y′(A)= =-1及y′(B)= ,由于切线过原点,故得切线:lA:y=-x或lB:y=-.‎ 答案:A ‎3.解析:由=-1,故存在含有0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时<0,于是当x∈(a,0)时f′(0)>0,当x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.‎ 答案:B ‎4.解析:∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1=n2x(1-x)n-1[2(1-x)-nx],令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值,最大值fn()=n2()2(1-)n=4·()n+1.‎ 答案:D ‎5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)=(这时)‎ 答案:-1‎ ‎14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),‎ f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n!‎ 答案:n!‎ ‎15.解析:函数的定义域是x>或x<-2,f′(x)=.(3x2+5x-2)′=,‎ ‎①若a>1,则当x>时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数,x<-2时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数.‎ ‎②若0<a<1,则当x>时,f′(x)<0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数,当x<-2时,‎ f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数.‎ 答案:(-∞,-2)‎ ‎16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+,解得 x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=‎ 从而 ‎.‎ 令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下: h ‎(0, R)‎ R ‎(,2R)‎ S′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ S 增函数 最大值 减函数 由此表可知,当x=R时,等腰三角形面积最大.‎ 答案:R 三、17. 解:由l过原点,知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0,‎ ‎∴=x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2‎ 又k=,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0或x0=.‎ 由x≠0,知x0=,‎ ‎∴y0=()3-3()2+2·=-.∴k==-.‎ ‎∴l方程y=-x 切点(,-).‎ ‎18. ,‎ 令f’(x)=0得,x=0,x=1,x= ,‎ 在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, .‎ ‎∴ .‎ ‎19.设双曲线上任一点P(x0,y0),‎ ‎ ,‎ ‎∴ 切线方程 ,‎ 令y=0,则x=2x0 ‎ 令x=0,则 .‎ ‎∴ .‎ ‎20.解:(1)注意到y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,‎ ‎ (2)两端取对数,得 ln|y|=(ln|x|-ln|1-x|),‎ 两边解x求导,得 ‎21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5-,当下端移开1.4 m时,t0=,‎ 又s′=- (25-9t2)·(-9·2t)=9t,‎ 所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).‎ ‎22.解:(1)当x=1时,Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时,1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得 x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导,得 Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 ‎=.‎ ‎23.解:f′(x)=3ax2+1.‎ 若a>0,f′(x)>0对x∈(-∞,+∞)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.‎ 若a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾.‎ 若a<0,∵f′(x)=3a(x+)·(x-),此时f(x)恰有三个单调区间.‎ ‎∴a<0且单调减区间为(-∞,-)和(,+∞),‎ 单调增区间为(-, ).‎ ‎24.解:f′(x)=+2bx+1,‎ (1) 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,‎ 解方程组可得a=-,b=-,∴f(x)=-lnx-x2+x,‎ ‎(2)f′(x)=-x-1-x+1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值-ln2.‎ ‎25.证法一:∵b>a>e,∴要证ab>ba,只要证blna>alnb,设f(b)=blna-alnb(b>e),则 f′(b)=lna-.∵b>a>e,∴lna>1,且<1,∴f′(b)>0.∴函数f(b)=blna-alnb在(e,+∞)上是增函数,∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即blna-alnb>0,∴blna>alnb,∴ab>ba.‎ 证法二:要证ab>ba,只要证blna>alnb(e<a<b,即证,设f(x)=(x>e),则f′(x)=<0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b,‎ ‎1,3,5‎ ‎∴f(a)>f(b),即,∴ab>ba.‎ ‎26.解:(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,‎ ‎(2)设φ(x)=2x2-ax-2,则当α<x<β时,φ(x)<0,‎ ‎.‎ ‎∴函数f(x)在(α,β)上是增函数.‎ ‎(3)函数f(x)在[α,β]上最大值f(β)>0,最小值f(α)<0,‎ ‎∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=-f(α)=2时,f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4,此时a=0,f(β)=2.‎