2011接高考数学专题复习之数列例题解析 27页

‎3．1 数列的概念 ‎【知识网络】‎ 数列 数列的概念 定义 求通项 数列的表示 分类 等差数列 等比数列 特殊数列求和 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 应用 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义.‎ 二、命题落点 ‎1．能合理地由数列前几项写出通项公式；如例1，例3；‎ ‎2．掌握项和与通项的重要关系：如例2，练习5.‎ ‎【典例精析】‎ 例1．（2005•湖南）已知数列满足，则=（ ）‎ ‎ A．0 B． C． D．‎ 解析：由a1=0,得a2=－‎ 由此可知: 数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=－‎ 答案：B．‎ 例2:（2005•上海）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，．例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________.‎ 解析：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，‎ 答案：.‎ 例3.(2005•湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C．‎ ‎ （1）求xn+1与xn的关系式；‎ ‎ （2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）‎ ‎　 （3）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.‎ 解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 ‎ （2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 ‎ ‎ ‎ 因为x1>0，所以a>B．　猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.‎ ‎（3）若b的值使得xn>0，n∈N*．由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知00.‎ 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,　所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.‎ 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).　综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.‎ ‎【常见误区】‎ ‎1．第项与项数之间的对应关系搞错；‎ ‎2．不能正确地应用前和公式来求通项公式.‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．已知数列满足，则当时，（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．‎8‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎2‎ 将n2个正数1，2，3，……，n2填入n×n方格中，‎ 使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，‎ 这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻 ‎ 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可 知f(3)=15，则f(4)=（ ）‎ ‎ A．32 B．‎33 ‎C．34 D．35‎ ‎3．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎2 3‎ 第3行 ‎4 5 6 7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ 则第9行中的第4个数是 （ ）‎ ‎ A．132 B．‎255 ‎C．259 D．260‎ ‎4．如果且,则 ‎ （　　）‎ ‎ A．2006 B．‎2005 ‎ C．2004 D．1003‎ ‎5．(2004•江苏) 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且，则 的数值是____________.‎ ‎6．已知数列，且数列的前n项和，那么n的 ‎ 值为　 　　．‎ ‎7．设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数（整 ‎ 点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）记数列的前n项和为Sn，且.若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围．‎ ‎8．（2002•上海）已知函数f（x）＝abx的图象过点A（4，）和B（5，1）‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）记an＝log‎2f（n），n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn ‎≤0；‎ ‎（3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.‎ ‎9．（2002•上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分 ‎ 配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第 ‎ 1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给 ‎ 每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金.‎ ‎ （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明）‎ ‎ （2）证明ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；‎ ‎（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求Pn（b）．‎ ‎3．2 等差数列的通项与前n项的和 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎ 1．理解等差数列的概念;‎ ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.‎ 二、命题落点 ‎1．考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2；‎ ‎2．考查等差数列的前项和公式及其性质.如例3.‎ ‎【典例精析】‎ 例1：（2005•湖南）已知数列为等差数列，且 ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）证明 解析：（1）设等差数列的公差为D．由即d=1.‎ 所以即 ‎（2）因为，所以 ‎ ‎ 例2： (2005•江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 其中A,B为常数.‎ ‎（1）求A与B的值；‎ ‎（2）证明数列{an}为等差数列；‎ ‎（3）证明不等式对任何正整数m、n都成立.‎ ‎ 解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.　由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知 ‎ ‎ 解得 A=-20， B=-8。‎ ‎（2）　由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ①‎ 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ②‎ ‎②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③‎ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④‎ ‎④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.‎ 因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.‎ 又因为 (5n+2),‎ ‎ 所以 an+3-2an+2+an+1=0,‎ 即 an+3-an+2=an+2-an+1, .‎ 又 a3-a2=a2-a1=5,‎ 所以数列为等差数列．‎ ‎ （3）由（２）可知，an=1+5(n-1)=5n-4.　要证了 ‎ 只要证5amn>1+aman+2，因为amn=5mn-4,aman=(‎5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证 ‎5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2‎ 因为=‎20m+20n-37,所以命题得证.‎ 例3：（2005•上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底 ‎ （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？‎ ‎ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？‎ 解析：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，‎ 其中a1=250，d=50，则 ‎ 令 即 ‎∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.‎ ‎（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，‎ 其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知，‎ 有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.　由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，‎ ‎∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ ‎【常见误区】‎ ‎1．容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误；‎ ‎2．不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．（2006•陕西）"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的 （ ）‎ ‎ A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎2．（2005•山东）是首项，公差的等差数列，如果，则序号等 ‎ 于 （ ）‎ ‎ A．667 B．‎668 ‎ C．669 D．670‎ ‎3． (2004•福建)设Sn是等差数列的前n项和，若 （ ）‎ ‎ A．1 B．－‎1 ‎C．2 D．‎ ‎4．( 2004•重庆) 若是等差数列，首项，则使前n ‎ 项和 成立的最大自然数n是 （ ）‎ ‎ A．4005 B．‎4006 ‎ C．4007 D．4008‎ ‎5．（2003•上海）设f（x）=.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可 ‎ 求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为_____.‎ ‎6．（2001•上海）设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ．‎ ‎7． (2004•全国1) 等差数列{}的前n项和记为Sn. 已知 ‎ （1）求通项；‎ ‎ （2）若Sn=242，求n. ‎ ‎8．( 2004•全国3 )设数列是公差不为零的等差数列，Sn是数列的前n项和，且 ‎ ，求数列的通项公式.‎ ‎9．（2001•全国）已知等差数列前三项为a，4，‎3a，前n项和为Sn，Sk=2550.‎ ‎ （1）求a及k的值；‎ ‎ （2）求.‎ ‎3．3 等比数列的通项与前n项的和 ‎【考点透视】‎ 一、考纲指要 ‎1．理解等比数列的概念;‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.‎ 二、命题落点 ‎1．考查等比数列的概念、通项公式，即等比数列性质的灵活运用；如例1，例3；‎ ‎2．考查等比数列的前项和公式及其性质.例2.‎ ‎【典例精析】‎ 例1：（2005•山东）21 已知数列的首项，前项和为，且（）‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）令，求函数在点处的导数．‎ 解析：（1）由已知，可得两式相减得 ‎，即　从而 当时,，所以又所以，从而　故总有，．又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（１）知．因为 所以，‎ 从而=‎ ‎=-= ．‎ 例2:(2005•天津)若公比为的等比数列的首项且满足．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎ （2）求数列的前项和．‎ 解析:(1)由题设，当时，，，‎ 由题设条件可得，因此，即　解得c＝1或 ‎(2)由(１)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列是一个常数列，即 (nÎN*)‎ 这时，数列的前n项和　当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nÎN*)　这时，数列的前n项和 ‎ ①‎ ‎①式两边同乘，得 ‎ ②‎ ‎①式减去②式，得 ‎，‎ 所以(nÎN*)‎ 例3：(２００５•北京)设数列 ‎ 记 ‎ （1）求a2，a3；‎ ‎ （2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎ （3）求 解析：（1）显然　‎ ‎（2）因为,所以 所以 猜想：是公比为的等比数列.　证明如下：‎ 因为所以是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎（3）‎ ‎【常见误区】‎ ‎1．不能完整理解等比数列的前n项和公式：，忽视的情形.‎ ‎2．要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用②利用（）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.‎ ‎【基础演练】‎ ‎1．（2005•江苏）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4‎ ‎ ＋a5＝ （ ）‎ ‎ A．33 B．‎72 ‎ C．84 D．189‎ ‎2．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则的值是（　　）‎ ‎ A． B． C．１　　　　 D．不确定 ‎3．（2004•全国卷3）等比数列中， ，则的前4项和为（　 ）‎ ‎ A． 81 B． ‎120 ‎ C．168 D． 192 ‎ ‎4．（2004•浙江）已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= （ ）‎ ‎ A． –4 B． –‎6 ‎ C． –8 D． –10‎ ‎5．（2004•全国1）已知等比数列{则该数列的通项= .‎ ‎6． (2004•北京)在函数中，若a，b，c成等比数列且则 有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________.‎ ‎7．（2005•浙江）已知实数成等差数列，成等比数列，且，求．‎ ‎8．(2004•全国2)已知等差数列{}， ‎ ‎ （1）求{}的通项公式；‎ ‎ （2）令，求数列的前n项和Sn.‎ ‎9．（2005•全国3）在等差数列中，公差的等差中项.‎ ‎ 已知数列成等比数列，求数列的通项 ‎3．4 数列的的前n项的和 ‎【考点透视】‎ 一、 考纲指要 ‎1．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.‎ 二、 命题落点 ‎1．掌握一般数列求和的方法：化归为等差数列或等比数列、裂项相消法、错位相消法和倒项相加法.如例2，例3；‎ ‎2．利用通项公式与前项和公式解答数列的综合题、及极限的值.如例1.‎ ‎【典例精析】‎ 例1：已知：.‎ ‎（1）当a = b时，求数列{}的前n项和；‎ ‎（2）求.‎ 解析：（1）当时，，它的前项和 ‎ ‎ ① ‎ ‎①两边同时乘以，得 ‎ ②‎ ‎① ②，得：‎ ‎ ‎ 若，则：‎ 得：‎ 若，则 ‎（2）当时，‎ 当时，设（），则：‎ 此时　　．‎ 当时，即时，；‎ 当时，即时，．‎ 例2:（2005•福建）已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.‎ ‎ （1）求q的值；‎ ‎（2）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.‎ 解析：(1)由题意得：‎2a2=a1+a2,即‎2a2q2=a1+a1q,‎ ‎∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,‎ ‎∴q=1或q=‎ ‎(2)若q=1,则.‎ 当n≥2时,,故；‎ 若q=,则,‎ 当n≥2时, ‎ 故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n≥11时, Sn0，都有 本章单元测试 一、选择题: （本题每小题5分，共60 分．）‎ ‎1．等差数列{an}中，.记，则S13等于 ‎ （ ）‎ ‎ A．168 B．‎156 ‎C．152 D．78‎ ‎2．是等比数列,其中是方程的两根,且,‎ ‎ 则k的值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．数列满足<,,则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A．>0 B．<‎0 ‎ C．=0 D．>-3‎ ‎4．设，则的值为 （ ）‎ ‎ A．9 B．‎8 ‎C．7 D．6‎ ‎5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为 （ ）‎ ‎ A．12 B． C． D．‎ ‎6．在数列中,已知,,,则等于 （ ）‎ ‎ A．5 B．‎4 ‎ C．1 D．4‎ ‎7．给出一系列碳氢化合物的分子式:,,…,则该系列化合物的分子中含碳 ‎ 元素的质量分数最大可无限接近于 （ ）‎ ‎ A．95% B．96% C．97% D．98%‎ ‎8．已知1是与的等比中项,又是与的等差中项,则的值为 （ ）‎ ‎ A．1或 B．1或- C．1或 D．1或 ‎9．若方程与的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1‎ ‎ 的等比数列,则m：n的值为 （ ）‎ ‎ A．4 B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎10．等比数列的首项为,其前11项的几何平均数为,若在这前11项中抽取一项后的集合平均数为,则抽出的是 （ ）‎ ‎ A．第6项 B． 第7项 C． 第9项 D． 第11项 ‎ ‎11．已知二次函数y=a(a+1)x2－(‎2a+1)x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截 得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是 （ ）‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎ 12．等比数列{an}的首项a1=－1,前n项和为Sn,若，则Sn等于 （ ）‎ ‎ C．2 D．－2‎ 二、填空题: （本题每小题4分，共16分．）‎ ‎13．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为_________________.‎ ‎14．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________ ‎ ‎15．已知等差数列有一性质:若是等差数列.则通项为的数列也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若是等比数列,则通项为=____________的数列也是等比数列 ‎16．已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且01时,得所以是首项,公比为的等比数列.‎ ‎9. （1）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.‎ ‎ a1q=6,‎ 依题意，得方程组 ‎ a1q4=162.‎ 解此方程组，得a1=2, q=3.　故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1.‎ ‎（2） ‎ ‎3．5 递推数列 ‎1. D 2. D 3. C 4. B　5. 2600 6. ‎ ‎7. (1)由已知得，‎ ‎(2)　‎ ‎8. （1）将条件变形，得 .　于是，得n-1个不等式，叠加得　故 ‎ ‎（2）注意到，于是由（1）得　，‎ 从而，有 ‎9. （1）∵当即 ‎ 于是有 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知，当n≥3时有，‎ ‎∵‎ ‎ （2）有极限，且 ‎ （3）∵‎ 则有故取可使当时，‎ 都有 本章测试题 一、选择题:‎ ‎ 1.B 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A． 7.(A) 8.B 9.D 10.A 11.A 12.B 二、填空题:‎ ‎ 13. –2 14. 4010 15. 1 16. (－∞,8)‎ 三、解答题:‎ ‎17. (1)∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1 ‎ ‎(2)原方程不同的根为xk=，‎ ‎，‎ ‎18.(1)设等差数列的公差为d, 依题意得　 解得．‎ ‎∴的通项公式为=．‎ ‎ (2)∵∴．‎ ‎ ∵‎ ‎ =，‎ ‎ ∵ ∴，∴．‎ ‎19. (1)当n≥3时，xn=;‎ 由此推测an=(－)n‎-1a(n∈N)．‎ 因为a1=a＞0,且 (n≥2)，‎ 所以an=(－)n‎-1a ‎ ‎(3)当n≥3时，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1=an－1+an－2+…+a1,‎ 由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a ‎ ‎20．设每年新增汽车数量不能超过万辆,设为2000年起的第n年该城市拥有的汽车数，则 ∴．‎ ‎ ∴．‎ (1) 当30-≥0即时， ，∴是递增数列，符合题意．‎ ‎ （2）当30-＜0即时， ，∴是递增数列，又∵，∴是递增且无限靠近，∴60 解得．‎ ‎ 答：每年新增汽车数量不超过3.6万辆．‎ ‎21. ∵，∴．当q=1时；‎ 当时, ∵且，∴．∴， 即 对于恒成立，∴， 即；‎ 当时,;当时，∴时，∴．‎ ‎22.(1)∵有，当时,可得．‎ 当时，∴∴‎ 在上为奇函数．‎ ‎(2)∵=，‎ ‎∴，又，∴为等比数列,其通项公式为 ‎ ．‎ ‎(3)假设存在自然数m,则=对于恒成立．∴ 对于恒成立，∴且即可．‎