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- 2021-05-13 发布
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导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单
1.导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ,那么函数 y 相应地有增量 =f(x +
)-f(x ),比值 叫做函数 y=f(x)在 x 到 x + 之间的平均变化率,即 =
。如果当 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可
导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 处的导数,记作 f’(x )或 y’| 。
即 f(x )= = 。
说明:
(1)函数 f(x)在点 x 处可导,是指 时, 有极限。如果 不存在极限,就
说函数在点 x 处不可导,或说无导数。
(2) 是自变量 x 在 x 处的改变量, 时,而 是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 处的导数的步骤:
(1)求函数的增量 =f(x + )-f(x );
(2)求平均变化率 = ;
(3)取极限,得导数 f’(x )= 。
2.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x ,f(x ))处的切线
的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x ,f(x ))处的切线的斜率是 f’(x )。相
应地,切线方程为 y-y =f/(x )(x-x )。
3.几种常见函数的导数:
① ② ③ ; ④ ;
⑤ ⑥ ; ⑦ ; ⑧ .
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
0 x∆ y∆ 0
x∆ 0 x
y
∆
∆
0 0 x∆
x
y
∆
∆
x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00 0→∆x x
y
∆
∆
0
0 0 0xx=
0 0
lim→∆x x
y
∆
∆
0
lim→∆x x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00
0 0→∆x x
y
∆
∆
x
y
∆
∆
0
x∆ 0 0≠∆x y∆
0
y∆ 0 x∆ 0
x
y
∆
∆
x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00
0 x
y
x ∆
∆
→∆ 0
lim
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0;C′ = ( ) 1;n nx nx −′ = (sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = −
( ) ;x xe e′ = ( ) lnx xa a a′ = ( ) 1ln x x
′ = ( ) 1l g loga ao x ex
′ =
即: (
法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数,即:
若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘
以函数的导数:
法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,
再除以分母的平方: ‘= (v 0)。
形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:
y'| = y'| ·u'|
(二)典型例题分析
题型一:导数的概念及其运算
例1. 如果质点 A 按规律 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( )
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
变式:定义在 D 上的函数 ,如果满足: , 常数 ,
都有 ≤M 成立,则称 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界.
【文】(1)若已知质点的运动方程为 ,要使在 上的每一时刻
的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
【理】(2)若已知质点的运动方程为 ,要使在 上的每一时
刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.
例2. 已知 的值是( )
A. B. 2 C. D. -2
.) ''' vuvu ±=±
.)( ''' uvvuuv +=
''''' 0)( CuCuCuuCCu =+=+=
.)( '' CuCu =
v
u
2
''
v
uvvu − ≠
[ x(ϕ ])
X U X
32s t=
)(xf x D∀ ∈ ∃ 0M >
| ( ) |f x )(xf
atttS ++=
1
1)( [0 , )t ∈ + ∞
atttS −+= 12)( [0 , )t ∈ + ∞
x
fxf
xxf
x ∆
−∆+=
→∆
)2()2(lim,1)(
0
则
4
1−
4
1
变式 1: ( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
变式 2: ( )
A. B. C. D.
例3. 求所给函数的导数:
变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, >
0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3)
C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)
题型二:导数的几何意义
① 已知切点,求曲线的切线方程;
注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数 ,并代入点斜式方程即可.
例4. 曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B. C. D.
② 已知斜率,求曲线的切线方程;
注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.
例5. 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是( )
( ) ( ) ( )为则设
h
fhff
h 2
33lim,43
0
−−=′
→
( ) ( ) ( )0 0
0 0
3, lim
x
f x x f x xf x x x∆ →
+ ∆ − − ∆
∆设 在 可导 则 等于
( )02 xf ′ ( )0xf ′ ( )03 xf ′ ( )04 xf ′
( )
3
3
2
99
1log ; ; sin
( ( 1) ; 2 ; 2 sin 2 5
n x
x
xy x x y x e y x
y x y e y x x−
−= + = =
= + = = +
(文科)
理科)
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′+
( )f x′
3 23 1y x x= − + (1 1)−,
3 4y x= − 3 2y x= − + 4 3y x= − + 4 5y x= −
2 4 0x y− + = 2y x=
A. B. C. D.
③ 已知过曲线外一点,求切线方程;
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
例6. 求过点 且与曲线 相切的直线方程.
变 式 1 、 已 知 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 是 , 则
。
变式 2、
考点二:导数应用
(一)知识清单
1. 单调区间:一般地,设函数 在某个区间可导,
2 3 0x y− + = 2 3 0x y− − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y− − =
(2 0), 1y x
=
( )y f x= (1 (1))M f, 1 22y x= +
(1) (1)f f ′+ =
)(xfy =
如果 ,则 为增函数;
如果 ,则 为减函数;
如果在某区间内恒有 ,则 为常数;
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜
率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f 在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ 在(a,b)内的极值;
②求函数ƒ 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);
③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
4.定积分
(1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0 )(xf
'f 0)( 1
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
课后作业
1、曲线 在点 处的切线方程是 。
2、.已知曲线 C: ,直线 ,且直线 与曲线 C 相切于点
,求直线 的方程及切点坐标。
3、设函数 为奇函数,其图象在点 处的切线与直线
垂直,导函数 的最小值为 。(1)求 , , 的值;
(2)求函数 的单调递增区间,并求函数 在 上的最大值和最小值。
3 22 4 2y x x x= − − + (1 3)−,
xxxy 23 23 +−= kxyl =: l ( )00 , yx
00 ≠x l
3( )f x ax bx c= + + ( 0)a ≠ (1, (1))f
6 7 0x y− − = '( )f x 12− a b c
( )f x ( )f x [ 1,3]−
4、设函数 ,已知 是奇函数。
(1)求 、 的值。
(2)求 的单调区间与极值。
5、已知函数 , .
(Ⅰ)讨论函数 的单调区间;
(Ⅱ)设函数 在区间 内是减函数,求 的取值范围.
( ) 3 2 ( )f x x bx cx x R= + + ∈ ( ) ( ) ( )g x f x f x′= −
b c
( )g x
3 2( ) 1f x x ax x= + + + a∈R
( )f x
( )f x 2 1
3 3
− − , a
6、已知函数 .
(I)若函数 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ,求 的值;
(II)若函数 在区间 上不单调,求 的取值范围.
3 2( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b= + − − + + ( , )a b∈ R
( )f x 3− ,a b
( )f x ( 1,1)− a
7、已知函数 .
(1) 设 ,求函数 的极值;
(2) 若 ,且当 时, 12a 恒成立,试确定 的取值范围.
8、若函数 在区间 上是减函数,在区间
上是增函数,求实数 的取值范围.
3 2 2 3( ) 3 9f x x ax a x a= − − +
1a = ( )f x
1
4a > [ ]1,4x a∈ )(' xf ≤ a
( ) ( ) 112
1
3
1 23 +−+−= xaaxxxf ( )4,1 ( )+∞,6
a
附加:1.(福建)已知对任意实数 ,有 ,且 时,
,则 时( )
A. B.
C. D.
2.(海南)曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
3.(海南)曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B. C. D.
4.(江苏)已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数
都有 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x− = − − =, 0x >
( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >, 0x <
( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >, ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> <,
( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< >, ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< <,
1
2e x
y = 2(4 e ),
29 e2
24e 22e 2e
xy e= 2(2 )e,
29
4 e 22e 2e
2
2
e
2( )f x ax bx c= + + '( )f x '(0) 0f > x
( ) 0f x ≥ (1)
'(0)
f
f
3 5
2 2 3
2
5.若 ,则下列命题中正确的是( )
A. B. C. D.
6.(江西)若 ,则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
7.(辽宁)已知 与 是定义在 上的连续函数,如果 与 仅当 时的
函数值为 0,且 ,那么下列情形不可能出现的是(C )
A.0 是 的极大值,也是 的极大值
B.0 是 的极小值,也是 的极小值
C.0 是 的极大值,但不是 的极值
D.0 是 的极小值,但不是 的极值
8.(全国一)曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
9.(全国二)已知曲线 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(浙江)设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直
角坐标系中,不可能正确的是( D )
π0 2x< <
3sin πx x< 3sin πx x> 2
2
4sin πx x< 2
2
4sin πx x>
π0 2x< <
2sin πx x< 2sin πx x> 3sin πx x< 3sin πx x>
( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x 0x =
( ) ( )f x g x≥
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x
31
3y x x= + 41 3
,
1
9
2
9
1
3
2
3
2
4
xy = 1
2
( )f x′ ( )f x ( )y f x= ( )y f x′=
11. (北京) 是 的导函数,则 的值是
12.(广东)函数 的单调递增区间是
13.(江苏)已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ,
则
14.(福建)设函数 .
(Ⅰ)求 的最小值 ;
(Ⅱ)若 对 恒成立,求实数 的取值范围.
15.(广东)已知 是实数,函数 .如果函数 在区间
( )f x′ 31( ) 2 13f x x x= + + ( 1)f ′ −
( ) ln ( 0)f x x x x= >
3( ) 12 8f x x x= − + [ 3,3]− ,M m
M m− =
2 2( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t= + + − ∈ >R,
( )f x ( )h t
( ) 2h t t m< − + (0 2)t ∈ , m
a 2( ) 2 2 3f x ax x a= + − − ( )y f x= [ 1,1]−
上有零点,求 的取值范围.a