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  • 2021-05-13 发布

高考一轮复习专题导数及其应用含答案

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导数及其应用 考点一:导数概念与运算 (一)知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ,那么函数 y 相应地有增量 =f(x + )-f(x ),比值 叫做函数 y=f(x)在 x 到 x + 之间的平均变化率,即 = 。如果当 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可 导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 处的导数,记作 f’(x )或 y’| 。 即 f(x )= = 。 说明: (1)函数 f(x)在点 x 处可导,是指 时, 有极限。如果 不存在极限,就 说函数在点 x 处不可导,或说无导数。 (2) 是自变量 x 在 x 处的改变量, 时,而 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 =f(x + )-f(x ); (2)求平均变化率 = ; (3)取极限,得导数 f’(x )= 。 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x ,f(x ))处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x ,f(x ))处的切线的斜率是 f’(x )。相 应地,切线方程为 y-y =f/(x )(x-x )。 3.几种常见函数的导数: ① ② ③ ; ④ ; ⑤ ⑥ ; ⑦ ; ⑧ . 4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 0 x∆ y∆ 0 x∆ 0 x y ∆ ∆ 0 0 x∆ x y ∆ ∆ x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0→∆x x y ∆ ∆ 0 0 0 0xx= 0 0 lim→∆x x y ∆ ∆ 0 lim→∆x x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0 0→∆x x y ∆ ∆ x y ∆ ∆ 0 x∆ 0 0≠∆x y∆ 0 y∆ 0 x∆ 0 x y ∆ ∆ x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0 x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;C′ = ( ) 1;n nx nx −′ = (sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = − ( ) ;x xe e′ = ( ) lnx xa a a′ = ( ) 1ln x x ′ = ( ) 1l g loga ao x ex ′ = 即: ( 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: 若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘 以函数的导数: 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ‘= (v 0)。 形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则: y'| = y'| ·u'| (二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1. 如果质点 A 按规律 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( ) A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式:定义在 D 上的函数 ,如果满足: , 常数 , 都有 ≤M 成立,则称 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 【文】(1)若已知质点的运动方程为 ,要使在 上的每一时刻 的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 【理】(2)若已知质点的运动方程为 ,要使在 上的每一时 刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 例2. 已知 的值是( ) A. B. 2 C. D. -2 .) ''' vuvu ±=± .)( ''' uvvuuv += ''''' 0)( CuCuCuuCCu =+=+= .)( '' CuCu =      v u 2 '' v uvvu − ≠ [ x(ϕ ]) X U X 32s t= )(xf x D∀ ∈ ∃ 0M > | ( ) |f x )(xf atttS ++= 1 1)( [0 , )t ∈ + ∞ atttS −+= 12)( [0 , )t ∈ + ∞ x fxf xxf x ∆ −∆+= →∆ )2()2(lim,1)( 0 则 4 1− 4 1 变式 1: ( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.1 变式 2: ( ) A. B. C. D. 例3. 求所给函数的导数: 变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) 题型二:导数的几何意义 ① 已知切点,求曲线的切线方程; 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数 ,并代入点斜式方程即可. 例4. 曲线 在点 处的切线方程为(  ) A. B. C. D. ② 已知斜率,求曲线的切线方程; 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例5. 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是(  ) ( ) ( ) ( )为则设 h fhff h 2 33lim,43 0 −−=′ → ( ) ( ) ( )0 0 0 0 3, lim x f x x f x xf x x x∆ → + ∆ − − ∆ ∆设 在 可导 则 等于 ( )02 xf ′ ( )0xf ′ ( )03 xf ′ ( )04 xf ′ ( ) 3 3 2 99 1log ; ; sin ( ( 1) ; 2 ; 2 sin 2 5 n x x xy x x y x e y x y x y e y x x− −= + = = = + = = + (文科) 理科) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′+ ( )f x′ 3 23 1y x x= − + (1 1)−, 3 4y x= − 3 2y x= − + 4 3y x= − + 4 5y x= − 2 4 0x y− + = 2y x= A. B. C. D. ③ 已知过曲线外一点,求切线方程; 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例6. 求过点 且与曲线 相切的直线方程. 变 式 1 、 已 知 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 是 , 则 。 变式 2、 考点二:导数应用 (一)知识清单 1. 单调区间:一般地,设函数 在某个区间可导, 2 3 0x y− + = 2 3 0x y− − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y− − = (2 0), 1y x = ( )y f x= (1 (1))M f, 1 22y x= + (1) (1)f f ′+ = )(xfy = 如果 ,则 为增函数; 如果 ,则 为减函数; 如果在某区间内恒有 ,则 为常数; 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ 在(a,b)内的极值; ②求函数ƒ 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b); ③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0 )(xf 'f 0)( 1 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 课后作业 1、曲线 在点 处的切线方程是 。 2、.已知曲线 C: ,直线 ,且直线 与曲线 C 相切于点 ,求直线 的方程及切点坐标。 3、设函数 为奇函数,其图象在点 处的切线与直线 垂直,导函数 的最小值为 。(1)求 , , 的值; (2)求函数 的单调递增区间,并求函数 在 上的最大值和最小值。 3 22 4 2y x x x= − − + (1 3)−, xxxy 23 23 +−= kxyl =: l ( )00 , yx 00 ≠x l 3( )f x ax bx c= + + ( 0)a ≠ (1, (1))f 6 7 0x y− − = '( )f x 12− a b c ( )f x ( )f x [ 1,3]− 4、设函数 ,已知 是奇函数。 (1)求 、 的值。 (2)求 的单调区间与极值。 5、已知函数 , . (Ⅰ)讨论函数 的单调区间; (Ⅱ)设函数 在区间 内是减函数,求 的取值范围. ( ) 3 2 ( )f x x bx cx x R= + + ∈ ( ) ( ) ( )g x f x f x′= − b c ( )g x 3 2( ) 1f x x ax x= + + + a∈R ( )f x ( )f x 2 1 3 3  − −  , a 6、已知函数 . (I)若函数 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ,求 的值; (II)若函数 在区间 上不单调,求 的取值范围. 3 2( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b= + − − + + ( , )a b∈ R ( )f x 3− ,a b ( )f x ( 1,1)− a 7、已知函数 . (1) 设 ,求函数 的极值; (2) 若 ,且当 时, 12a 恒成立,试确定 的取值范围. 8、若函数 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数,求实数 的取值范围. 3 2 2 3( ) 3 9f x x ax a x a= − − + 1a = ( )f x 1 4a > [ ]1,4x a∈ )(' xf ≤ a ( ) ( ) 112 1 3 1 23 +−+−= xaaxxxf ( )4,1 ( )+∞,6 a 附加:1.(福建)已知对任意实数 ,有 ,且 时, ,则 时( ) A. B. C. D. 2.(海南)曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. B. C. D. 3.(海南)曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. B. C. D. 4.(江苏)已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数 都有 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x− = − − =, 0x > ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >, 0x < ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >, ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> <, ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< >, ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< <, 1 2e x y = 2(4 e ), 29 e2 24e 22e 2e xy e= 2(2 )e, 29 4 e 22e 2e 2 2 e 2( )f x ax bx c= + + '( )f x '(0) 0f > x ( ) 0f x ≥ (1) '(0) f f 3 5 2 2 3 2 5.若 ,则下列命题中正确的是(  ) A. B. C. D. 6.(江西)若 ,则下列命题正确的是( ) A. B. C. D. 7.(辽宁)已知 与 是定义在 上的连续函数,如果 与 仅当 时的 函数值为 0,且 ,那么下列情形不可能出现的是(C ) A.0 是 的极大值,也是 的极大值 B.0 是 的极小值,也是 的极小值 C.0 是 的极大值,但不是 的极值 D.0 是 的极小值,但不是 的极值 8.(全国一)曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A. B. C. D. 9.(全国二)已知曲线 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(浙江)设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是( D ) π0 2x< < 3sin πx x< 3sin πx x> 2 2 4sin πx x< 2 2 4sin πx x> π0 2x< < 2sin πx x< 2sin πx x> 3sin πx x< 3sin πx x> ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x 0x = ( ) ( )f x g x≥ ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x 31 3y x x= + 41 3     , 1 9 2 9 1 3 2 3 2 4 xy = 1 2 ( )f x′ ( )f x ( )y f x= ( )y f x′= 11. (北京) 是 的导函数,则 的值是 12.(广东)函数 的单调递增区间是 13.(江苏)已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 , 则 14.(福建)设函数 . (Ⅰ)求 的最小值 ; (Ⅱ)若 对 恒成立,求实数 的取值范围. 15.(广东)已知 是实数,函数 .如果函数 在区间 ( )f x′ 31( ) 2 13f x x x= + + ( 1)f ′ − ( ) ln ( 0)f x x x x= > 3( ) 12 8f x x x= − + [ 3,3]− ,M m M m− = 2 2( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t= + + − ∈ >R, ( )f x ( )h t ( ) 2h t t m< − + (0 2)t ∈ , m a 2( ) 2 2 3f x ax x a= + − − ( )y f x= [ 1,1]− 上有零点,求 的取值范围.a