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  • 2021-05-13 发布

高考复习之概率统计理科

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热点一:分布列、数学期望和方差 ‎1、 分布列: ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pi ‎…‎ ‎2、分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.‎ ‎3、数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.‎ 性质: ‎ ‎4、方差:=++…++…‎ 称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.‎ 性质:(1);(2);‎ ‎5、二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ Eξ=np, np(1-p)‎ 例1、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个(=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列,期望和方差;(Ⅱ)若, ,,试求a,b的值.‎ 小结:求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值;S2计算相应的概率;S3写出分布列;S4代入期望和方差公式求解。‎ 练习:‎ ‎1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:‎ ‎(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎2、某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第次击中目标得 分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;‎ ‎(Ⅱ)该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎3、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;‎ ‎(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.‎ 几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2(日本高考题)袋内有9个白球和3个红球,从袋中任意地顺次取出三个球(取出的球不再放回),求第三次取出的球是白球的概率。‎ 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目,为每位选手准备5道试题,每道题设“Yes”与“No”两个选项,其中只有一个是正确的,选手每答对一题,获得一个商标,假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题,是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标?‎ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.‎ 例4、有三种产品,合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验。(I)求恰有一件不合格的概率;(II)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)。‎ 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0.92。‎ ‎(1)求该题被乙独立解出的概率;‎ ‎(2)求解出该题的人数的数学期望和方差。‎ 相关练习 ‎1.(山东卷7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 ‎(A)   (B)(C) (D)‎ ‎2.(福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎3.(辽宁卷7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;‎ ‎(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.‎ ‎5.某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立),‎ ‎1)求至少3人同时上网的概率;‎ ‎2)至少几人同时上网的概率小于0.3?‎ ‎6.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。‎ ‎ (I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?‎ ‎ (II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?‎ 关于统计问题 ‎1.(天津卷11)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.‎ ‎2.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取_______,____,_______辆。‎ ‎3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2 ): ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁。‎ ‎4.一个工厂在若干个车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查,若一车间这一天生产256件产品,则从该车间抽取的产品件数为 .‎ ‎5.(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 ‎(A)1    (B)2    (C)3    (D)4‎ ‎6.(四川卷)甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生 ‎(A)人,人,人 (B)人,人,人 ‎ ‎(C)人,人,人 (D)人,人,人 ‎ ‎7.(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30 (C)40 (D)50‎ ‎8.(重庆卷)某地区有300家商店,其中大型商店有30家 ,中型商店有75家,小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是 ‎(A)2 (B)3 (C)5 (D)13‎ ‎9.(全国II)一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入 段应抽出 人.‎ ‎10.(山东卷)某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是     .‎ ‎09年高考复习之概率统计(答案)‎ 热点一:分布列、数学期望和方差 ‎1、 分布列: ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ Pi ‎…‎ ‎2、分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.‎ ‎3、数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.‎ 性质: ‎ ‎4、方差:=++…++…‎ 称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.‎ 性质:(1);(2);‎ ‎5、二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P ‎…‎ ‎…‎ Eξ=np, np(1-p)‎ 例1、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个(=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列,期望和方差;‎ ‎(Ⅱ)若, ,,试求a,b的值.‎ 解:本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念,以及基本的运算能力.(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由,得a2×2.75=11,即又所以 当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ 小结:求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值;S2计算相应的概率;S3写出分布列;S4代入期望和方差公式求解。‎ 练习:‎ ‎1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:‎ ‎(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;‎ ‎(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.‎ 解: 用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,‎ 且P(A)=P(B)=P(C)=.‎ ‎(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是 ‎(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以, 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 ‎2、某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第次击中目标得分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;‎ ‎(Ⅱ)该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ 解:(Ⅰ)设该射手第次击中目标的事件为,则,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)可能取的值为0,1,2,3. ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎ ‎3、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;‎ ‎(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.‎ 解:(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.‎ ‎(Ⅱ)的可能值为8,10,12,14,16,且 P(=8)=0.22=0.04,‎ P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,‎ P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,‎ P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,‎ P(=16)=0.32=0.09.‎ 的分布列为 ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ ‎=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)‎ 几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2(日本高考题)袋内有9个白球和3个红球,从袋中任意地顺次取出三个球(取出的球不再放回),求第三次取出的球是白球的概率。‎ 解:设A1=“三次都是白球”,则 P(A1)=‎ A2=“一、三次白球,第二次红球”,则 P(A2)=‎ A3=“第一次红球,二、三次为白球”,则 P(A3)=;‎ A4=“一、二次红球,第三次白球”,则 P(A4)=‎ 而A1、A2、A3、A4互斥,又记A=“第三次取出的球是白球”,则 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=…=‎ 说明:本题中关键是学会分解事件A,再由互斥事件和的概率,得出结论,主要以“+”号连接,另外本题也可由P= 得出,请读者琢磨。‎ 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目,为每位选手准备5道试题,每道题设“Yes”与“No”两个选项,其中只有一个是正确的,选手每答对一题,获得一个商标,假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题,是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标?‎ 解:设甲没有获得商标的事件为A,乙没有获得商标的事件为B,‎ 则P(A)=‎ P(B)=‎ ‎∴甲、乙没有获得商标的事件为C,‎ 则P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B)。‎ 又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D。‎ ‎∴P(D)=1- P(C)‎ ‎=1- ‎ 故有99%的把握作出如此断定。‎ 说明:本题中关键要熟悉事件D对立事件是C,则P(D)=1-P(C),主要以“-”号连接,本题也可由1-进行比较。‎ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率.‎ 例4、有三种产品,合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验。(I)求恰有一件不合格的概率;(II)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)。‎ 解:设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C。‎ ‎(I)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,‎ 因为A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为 ‎(II)至少有两件不合格的概率 答:(略)。‎ 说明:本题重点考查相互独立事件积的概率,主要以“×”连接P(A)、P(B)、P(C)以及P、P、P。另外(II)也可由P=1-P(A·B·C)-0.176=1-P(A)·P(B)·P(C)-0.176得出。‎ 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0.92。‎ ‎(1)求该题被乙独立解出的概率;‎ ‎(2)求解出该题的人数的数学期望和方差。‎ 解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B。‎ 设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2‎ 则P(A)=P1=0.6,P(B)=P2‎ P(A+B)=1-P ‎∴0.6+P2-0.6P2=0.92.‎ 则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………(5分)‎ ‎(2)‎ 的概率分布列:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.08‎ ‎0.44‎ ‎0.48‎ Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4‎ Dξ=(0-1.4)2×0.08 + (1-1.4)2×0.44 + (2-1.4)2×0.48=0.4‎ 或利用Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2 = 2.36-1.96=0.4‎ 另外如将此题中的“或”改为“且”,处理方法怎样,请同学思考。‎ 相关练习 ‎1.(山东卷7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B ‎(A)   (B)(C) (D)‎ ‎2.(福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B A. B. C. D. ‎ ‎3.(辽宁卷7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;‎ ‎(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.‎ 解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.‎ 由题意得 解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.‎ 解法二:设设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.‎ 由题意得,于是或(舍去),故.‎ 所以乙投球的命中率为.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知.‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为 解法二:‎ 由题设和(Ⅰ)知 故甲投球2次至少命中1次的概率为 ‎(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知,‎ 甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,乙中2次。概率分别为 ‎,‎ ‎,‎ 所以甲、乙两人各投两次,共命中2次的概率为.‎ ‎5.某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立),‎ ‎1)求至少3人同时上网的概率;‎ ‎2)至少几人同时上网的概率小于0.3?‎ 解: 1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率,‎ 即 。‎ ‎2)至少4人同时上网的概率为 ‎,‎ 至少5人同时上网的概率为 ‎,‎ 因此,至少5人同时上网的概率小于 。‎ ‎6.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。‎ ‎ (I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?‎ ‎ (II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?‎ 解:(I)甲从选择题中抽到一题的可能结果有个,乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个,故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个,所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为,所求概率为;‎ ‎(II)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为,故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为,所求概率为。‎ ‎ 或 ,所求概率为。‎ 关于统计问题 ‎1.(天津卷11)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.10‎ ‎2.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___6_____,___30____,____10____辆。‎ ‎3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2 ): ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。‎ ‎4.一个工厂在若干个车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查,若一车间这一天生产256件产品,则从该车间抽取的产品件数为 16 .‎ ‎5.(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为 ‎(A)1    (B)2    (C)3    (D)4‎ ‎【思路】本题考查统计的基本知识,样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法 ‎【正确解答】由题意可得:x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y,只要求出,设x=10+t, y=10-t, ,选D ‎6.(四川卷)甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生 ‎(A)人,人,人 (B)人,人,人 ‎ ‎(C)人,人,人 (D)人,人,人 ‎ 解析:甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生人,人,人,选B.‎ ‎7.(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:‎ 根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ‎(A)20 (B)30 (C)40 (D)50‎ 解析:根据该图可知,组距为2,得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是40,选C.‎ ‎8.(重庆卷)某地区有300家商店,其中大型商店有30家 ,中型商店有75家,小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是 ‎(A)2 (B)3 (C)5 (D)13‎ 解:各层次之比为:30:75:195=2:5:13,所抽取的中型商店数是5,故选C ‎9.(全国II)一个社会调查机构就某地居民 的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了 样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居 民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要 从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入 段应抽出 人.‎ 解析:由直方图可得(元)月收入段共有人 按分层抽样应抽出人 ‎10.(山东卷)某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是     .‎ 解:抽取教师为160-150=10人,所以学校教师人数为2400×=150 人。‎