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- 2021-05-13 发布
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热点一:分布列、数学期望和方差
1、 分布列:
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
2、分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
3、数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.
性质:
4、方差:=++…++…
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.
性质:(1);(2);
5、二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
Eξ=np, np(1-p)
例1、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个(=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.
(Ⅰ)求的分布列,期望和方差;(Ⅱ)若, ,,试求a,b的值.
小结:求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值;S2计算相应的概率;S3写出分布列;S4代入期望和方差公式求解。
练习:
1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.
2、某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第次击中目标得
分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;
(Ⅱ)该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望.
3、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:
周销售量
2
3
4
频数
20
50
30
(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.
几种常见题型的解法
一、从分类问题角度求概率
例2(日本高考题)袋内有9个白球和3个红球,从袋中任意地顺次取出三个球(取出的球不再放回),求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目,为每位选手准备5道试题,每道题设“Yes”与“No”两个选项,其中只有一个是正确的,选手每答对一题,获得一个商标,假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题,是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标?
三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品,合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验。(I)求恰有一件不合格的概率;(II)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)。
四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0.92。
(1)求该题被乙独立解出的概率;
(2)求解出该题的人数的数学期望和方差。
相关练习
1.(山东卷7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为
(A) (B)(C) (D)
2.(福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
A. B. C. D.
3.(辽宁卷7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.
(Ⅰ)求乙投球的命中率;
(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;
(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.
5.某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立),
1)求至少3人同时上网的概率;
2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
6.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。
(I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?
(II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
关于统计问题
1.(天津卷11)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.
2.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取_______,____,_______辆。
3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2 ):
其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁。
4.一个工厂在若干个车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查,若一车间这一天生产256件产品,则从该车间抽取的产品件数为 .
5.(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6.(四川卷)甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生
(A)人,人,人 (B)人,人,人
(C)人,人,人 (D)人,人,人
7.(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
8.(重庆卷)某地区有300家商店,其中大型商店有30家 ,中型商店有75家,小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是
(A)2 (B)3 (C)5 (D)13
9.(全国II)一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作
进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入
段应抽出 人.
10.(山东卷)某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 .
09年高考复习之概率统计(答案)
热点一:分布列、数学期望和方差
1、 分布列:
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
2、分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
3、数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.
性质:
4、方差:=++…++…
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的是随机变量ξ的期望.
性质:(1);(2);
5、二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).
ξ
0
1
…
k
…
n
P
…
…
Eξ=np, np(1-p)
例1、袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上号的有个(=1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.
(Ⅰ)求的分布列,期望和方差;
(Ⅱ)若, ,,试求a,b的值.
解:本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念,以及基本的运算能力.(满分12分)
解:(Ⅰ)的分布列为:
0
1
2
3
4
P
∴
(Ⅱ)由,得a2×2.75=11,即又所以
当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
∴或即为所求.
小结:求期望和方差的步骤S1确定随机变量的允许值;S2计算相应的概率;S3写出分布列;S4代入期望和方差公式求解。
练习:
1、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;
(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.
解: 用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,
且P(A)=P(B)=P(C)=.
(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.
=
=
=
=
所以, 的分布列是
0
1
2
3
P
的期望
2、某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第次击中目标得分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;
(Ⅱ)该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望.
解:(Ⅰ)设该射手第次击中目标的事件为,则,
.
(Ⅱ)可能取的值为0,1,2,3.
的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.032
0.16
0.8
.
3、某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:
周销售量
2
3
4
频数
20
50
30
(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.
(Ⅱ)的可能值为8,10,12,14,16,且
P(=8)=0.22=0.04,
P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,
P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,
P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,
P(=16)=0.32=0.09.
的分布列为
8
10
12
14
16
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)
几种常见题型的解法
一、从分类问题角度求概率
例2(日本高考题)袋内有9个白球和3个红球,从袋中任意地顺次取出三个球(取出的球不再放回),求第三次取出的球是白球的概率。
解:设A1=“三次都是白球”,则
P(A1)=
A2=“一、三次白球,第二次红球”,则
P(A2)=
A3=“第一次红球,二、三次为白球”,则
P(A3)=;
A4=“一、二次红球,第三次白球”,则
P(A4)=
而A1、A2、A3、A4互斥,又记A=“第三次取出的球是白球”,则
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=…=
说明:本题中关键是学会分解事件A,再由互斥事件和的概率,得出结论,主要以“+”号连接,另外本题也可由P= 得出,请读者琢磨。
二、从不等式大小比较的角度看概率
例3 “幸运52”知识竞猜电视节目,为每位选手准备5道试题,每道题设“Yes”与“No”两个选项,其中只有一个是正确的,选手每答对一题,获得一个商标,假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题,是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标?
解:设甲没有获得商标的事件为A,乙没有获得商标的事件为B,
则P(A)=
P(B)=
∴甲、乙没有获得商标的事件为C,
则P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B)。
又设甲、乙两选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标的事件为D。
∴P(D)=1- P(C)
=1-
故有99%的把握作出如此断定。
说明:本题中关键要熟悉事件D对立事件是C,则P(D)=1-P(C),主要以“-”号连接,本题也可由1-进行比较。
三、从“至多”、“至少”的角度看概率.
例4、有三种产品,合格率分别是0.90、0.95和0.95,各取一件进行检验。(I)求恰有一件不合格的概率;(II)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)。
解:设三种产品各抽取一件是合格产品的事件分别为A、B、C。
(I)P(A)=0.90,P(B)=P(C)=0.95,
因为A、B、C相互独立,恰有一件不合格的概率为
(II)至少有两件不合格的概率
答:(略)。
说明:本题重点考查相互独立事件积的概率,主要以“×”连接P(A)、P(B)、P(C)以及P、P、P。另外(II)也可由P=1-P(A·B·C)-0.176=1-P(A)·P(B)·P(C)-0.176得出。
四、从“或”、“且”的角度看概率
例5甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或被乙解出的概率为0.92。
(1)求该题被乙独立解出的概率;
(2)求解出该题的人数的数学期望和方差。
解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B。
设甲独立解出此题的概率为P1,乙为P2
则P(A)=P1=0.6,P(B)=P2
P(A+B)=1-P
∴0.6+P2-0.6P2=0.92.
则0.4P2=0.32 即P2=0.8………………………………(5分)
(2)
的概率分布列:
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
Eξ=0×0.08 + 1×0.44 + 2×0.48 = 1.4
Dξ=(0-1.4)2×0.08 + (1-1.4)2×0.44 + (2-1.4)2×0.48=0.4
或利用Dξ=E(ξ2)-(Eξ)2 = 2.36-1.96=0.4
另外如将此题中的“或”改为“且”,处理方法怎样,请同学思考。
相关练习
1.(山东卷7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为B
(A) (B)(C) (D)
2.(福建卷5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是B
A. B. C. D.
3.(辽宁卷7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )
A. B. C. D.
4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.
(Ⅰ)求乙投球的命中率;
(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;
(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.
解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得
解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.
解法二:设设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得,于是或(舍去),故.
所以乙投球的命中率为.
(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知.
故甲投球2次至少命中1次的概率为
解法二:
由题设和(Ⅰ)知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知,
甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次均不中;甲两次均不中,乙中2次。概率分别为
,
,
所以甲、乙两人各投两次,共命中2次的概率为.
5.某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立),
1)求至少3人同时上网的概率;
2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
解: 1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率,
即 。
2)至少4人同时上网的概率为
,
至少5人同时上网的概率为
,
因此,至少5人同时上网的概率小于 。
6.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。
(I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?
(II)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解:(I)甲从选择题中抽到一题的可能结果有个,乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有个,故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有个;又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为个,所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为,所求概率为;
(II)甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为,故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为,所求概率为。
或 ,所求概率为。
关于统计问题
1.(天津卷11)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.10
2.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取___6_____,___30____,____10____辆。
3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2 ):
其中产量比较稳定的小麦品种是▁甲种▁▁。
4.一个工厂在若干个车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查,若一车间这一天生产256件产品,则从该车间抽取的产品件数为 16 .
5.(江苏卷)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【思路】本题考查统计的基本知识,样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法
【正确解答】由题意可得:x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧,因为不要直接求出x、y,只要求出,设x=10+t, y=10-t, ,选D
6.(四川卷)甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生
(A)人,人,人 (B)人,人,人
(C)人,人,人 (D)人,人,人
解析:甲校有名学生,乙校有名学生,丙校有名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为人的样本,应在这三校分别抽取学生人,人,人,选B.
7.(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
解析:根据该图可知,组距为2,得这100名学生中体重在的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是40,选C.
8.(重庆卷)某地区有300家商店,其中大型商店有30家 ,中型商店有75家,小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是
(A)2 (B)3 (C)5 (D)13
解:各层次之比为:30:75:195=2:5:13,所抽取的中型商店数是5,故选C
9.(全国II)一个社会调查机构就某地居民
的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了
样本的频率分布直方图(如右图).为了分析居
民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要
从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作
进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入
段应抽出 人.
解析:由直方图可得(元)月收入段共有人
按分层抽样应抽出人
10.(山东卷)某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是 .
解:抽取教师为160-150=10人,所以学校教师人数为2400×=150 人。