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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据的方差,其中.
棱柱的体积,其中是棱柱的底面积,是高.
棱锥的体积,其中是棱锥的底面积,为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合,,则 .
【答案】 ;
【解析】 由交集的定义可得.
2. 复数,其中为虚数单位,则的实部是 .
【答案】 5;
【解析】 由复数乘法可得,则则的实部是5.
3. 在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是 .
【答案】 ;
【解析】 ,因此焦距为.
4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .
【答案】 ;
【解析】 ,.
5. 函数的定义域是 .
【答案】 ;
【解析】 ,解得,因此定义域为.
6. 如图是一个算法的流程图,则输出的值是 .
【答案】 9;
【解析】 的变化如下表:
1
5
9
9
7
5
则输出时.
2. 将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .
【答案】 ;
【解析】 将先后两次点数记为,则共有个等可能基本事件,其中点数之和大于等于10有六种,则点数之和小于10共有30种,概率为.
3. 已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是 .
【答案】 ;
【解析】 设公差为,则由题意可得,,
解得,,则.
4. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 .
【答案】 7;
【解析】 画出函数图象草图,共7个交点.
1. 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是 .
【答案】 ;
【解析】 由题意得,直线与椭圆方程联立可得,,
由可得,,,
则,由可得,则.
2. 设是定义在上且周期为2的函数,在区间上
其中,若,则的值是 .
【答案】 ;
【解析】 由题意得,,
由可得,则,
则.
1. 已知实数满足 则的取值范围是 .
【答案】 ;
【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下
为可行域内的点到原点距离的平方.
可以看出图中点距离原点最近,此时距离为原点到直线的距离,
,则,
图中点距离原点最远,点为与交点,则,
则.
2. 如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,,,
则的值是 .
【答案】 ;
【解析】 令,,则,,,
则,,,,,,
则,,,
由,可得,,因此,
因此.
1. 在锐角三角形中,,则的最小值是 .
【答案】 8;
【解析】 由,,
可得(*),
由三角形为锐角三角形,则,
在(*)式两侧同时除以可得,
又(#),
则,
由可得,
令,由为锐角可得,
由(#)得,解得
,
,由则,因此最小值为,
当且仅当时取到等号,此时,,
解得(或互换),此时均为锐角.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2. (本小题满分14分)
在中,,,.
⑴ 求的长;
⑵ 求的值.
【答案】 ⑴;⑵ .
【解析】⑴ ,为三角形的内角
,即:;
⑵
又为三角形的内角
.
2. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,分别为的中点,点在侧棱上,
且,.
求证:⑴ 直线平面;
⑵ 平面平面.
【答案】 见解析;
【解析】⑴ 为中点,为的中位线
又为棱柱,
,又平面,且
平面;
⑵ 为直棱柱,平面
,又
且,平面
平面,
又,平面
又平面,
又,,且平面
平面,又
平面平面.
1. (本小题满分14分)
现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍.
⑴ 若,,则仓库的容积是多少;
⑵ 若正四棱锥的侧棱长为,当为多少时,仓库的容积最大?
【答案】 ⑴;⑵;
【解析】⑴ ,则,
,,
,
故仓库的容积为;
⑵ 设,仓库的容积为
则,,,
,
,
,
,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
因此,当时,取到最大值,
即时,仓库的容积最大.
[来源:学|科|网]
1. (本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆:
及其上一点.
⑴ 设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;
⑶ 设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围.
【答案】 ⑴⑵或⑶;
【解析】⑴ 因为在直线上,设,因为与轴相切,
则圆为,
又圆与圆外切,圆:,
则,解得,即圆的标准方程为;
⑵ 由题意得, 设,则圆心到直线的距离,
则,,即,
解得或,即:或;
⑶ ,即,即,
,
又,
即,解得,
对于任意,欲使,
此时,只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为,
必然与圆交于两点,此时,即,
因此对于任意,均满足题意,
综上
.
1. (本小题满分14分)
已知函数.
⑴ 设,.
① 求方程的根;
② 若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
⑵ 若,,函数有且只有1个零点,求的值.
【答案】 ⑴ ①;②;⑵;
【解析】⑴ ① ,由可得,
则,即,则,;
② 由题意得恒成立,
令,则由可得,
此时恒成立,即恒成立
∵时,当且仅当时等号成立,
因此实数的最大值为.
,,
由,可得,令,则递增,
而,因此时,
因此时,,,则;
时,,,则;
则在递减,递增,因此最小值为,
① 若,时,,,则;
logb2时,,,则;
因此且时,,因此在有零点,
且时,,因此在有零点,
则至少有两个零点,与条件矛盾;
② 若,由函数有且只有1个零点,最小值为,
可得,
由,
因此,
因此,即,即,
因此,则.
1. (本小题满分14分)
记.对数列()和的子集,若,定义;
若,定义.例如:时,.
现设()是公比为的等比数列,且当时,.
⑴ 求数列的通项公式;
⑵ 对任意正整数(),若,求证:;
⑶ 设,,,求证:.
【答案】 ⑴;⑵⑶详见解析;
【解析】⑴ 当时,,因此,从而,;
⑵ ;
⑶ 设,,则,,, ,因此原题就等价于证明.
由条件可知.
① 若,则,所以.
② 若,由可知,设中最大元素为,中最大元素为,
若,则由第⑵小题,,矛盾.
因为,所以,所以,
,即.
综上所述,,因此.
数学Ⅱ(附加题)
1. [选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,在中,,,为垂足,是中点.
求证:.
【答案】 详见解析;
【解析】 由可得,
由是中点可得,
则,
由可得,
由可得,
因此,
又可得.
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵,矩阵的逆矩阵,求矩阵.
【答案】 ;
【解析】 ,因此.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长.
【答案】 ;
【解析】 直线方程化为普通方程为,
椭圆方程化为普通方程为,
联立得,解得或,
因此.
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
设,,,求证:.
【答案】 详见解析;
【解析】 由可得,
.
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2. (本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线.
⑴ 若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程;
⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.
①求证:线段上的中点坐标为;
②求的取值范围.
【答案】 ⑴;⑵①见解析;②
【解析】⑴ ,与轴的交点坐标为
即抛物线的焦点为,
;
⑵ ① 设点,
则:,即,
又关于直线对称,
即,
又中点一定在直线上
线段上的中点坐标为;
② 中点坐标为
即
,即关于有两个不等根
,,.
1. (本小题满分10分)
⑴ 求的值;
⑵ 设,,求证:
.
【答案】 ⑴;⑵详见解析;
【解析】⑴ ;
⑵ 对任意的,
① 当时,左边,右边,等式成立,
② 假设时命题成立,
即,
当时,
左边=
,
右边,
而,
因此,
因此左边=右边,
因此时命题也成立,
综合①②可得命题对任意均成立.
另解:因为,所以
左边
又由,知
,
所以,左边右边.