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  • 2021-05-13 发布

高考江苏卷数学试题解析

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学Ⅰ 参考公式:‎ 样本数据的方差,其中.‎ 棱柱的体积,其中是棱柱的底面积,是高.‎ 棱锥的体积,其中是棱锥的底面积,为高.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ‎ 1. 已知集合,,则 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 由交集的定义可得.‎ 2. 复数,其中为虚数单位,则的实部是 .‎ 【答案】 ‎5;‎ 【解析】 由复数乘法可得,则则的实部是5.‎ 3. 在平面直角坐标系中,双曲线的焦距是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 ‎,因此焦距为.‎ 4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 ‎,.‎ 5. 函数的定义域是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 ‎,解得,因此定义域为.‎ 6. 如图是一个算法的流程图,则输出的值是 .‎ 【答案】 ‎9;‎ 【解析】 的变化如下表:‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎5‎ 则输出时.‎ 2. 将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 将先后两次点数记为,则共有个等可能基本事件,其中点数之和大于等于10有六种,则点数之和小于10共有30种,概率为.‎ 3. 已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 设公差为,则由题意可得,, 解得,,则.‎ 4. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 .‎ 【答案】 ‎7;‎ 【解析】 画出函数图象草图,共7个交点.‎ 1. 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 由题意得,直线与椭圆方程联立可得,, 由可得,,, 则,由可得,则.‎ 2. 设是定义在上且周期为2的函数,在区间上 其中,若,则的值是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 由题意得,, 由可得,则, 则.‎ 1. 已知实数满足 则的取值范围是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方. 可以看出图中点距离原点最近,此时距离为原点到直线的距离, ,则, 图中点距离原点最远,点为与交点,则, 则.‎ 2. 如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,,, 则的值是 .‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 令,,则,,, 则,,,,,, 则,,, 由,可得,,因此, 因此.‎ 1. 在锐角三角形中,,则的最小值是 .‎ 【答案】 ‎8;‎ 【解析】 由,, 可得(*), 由三角形为锐角三角形,则, 在(*)式两侧同时除以可得, 又(#), 则, 由可得,‎ 令,由为锐角可得,‎ 由(#)得,解得 ‎, ,由则,因此最小值为, 当且仅当时取到等号,此时,, 解得(或互换),此时均为锐角.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ 2. ‎(本小题满分14分)‎ 在中,,,. ⑴ 求的长; ⑵ 求的值.‎ 【答案】 ⑴;⑵ .‎ 【解析】⑴ ‎,为三角形的内角 ‎,即:;‎ ⑵ 又为三角形的内角 ‎.‎ 2. ‎(本小题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱中,分别为的中点,点在侧棱上, 且,.‎ 求证:⑴ 直线平面;‎ ⑵ 平面平面.‎ 【答案】 见解析;‎ 【解析】⑴ 为中点,为的中位线 又为棱柱,‎ ‎,又平面,且 平面;‎ ⑵ 为直棱柱,平面 ‎,又 且,平面 平面,‎ 又,平面 又平面,‎ 又,,且平面 平面,又 平面平面.‎ 1. ‎(本小题满分14分) 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍. ⑴ 若,,则仓库的容积是多少; ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为,当为多少时,仓库的容积最大?‎ 【答案】 ⑴;⑵;‎ 【解析】⑴ ‎,则, ,, , 故仓库的容积为;‎ ⑵ 设,仓库的容积为 ‎ 则,,, , , , , 当时,,单调递增, 当时,,单调递减,‎ 因此,当时,取到最大值, 即时,仓库的容积最大.‎ ‎[来源:学|科|网]‎ 1. ‎(本小题满分14分) 如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆: 及其上一点. ⑴ 设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程; ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程; ⑶ 设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围.‎ 【答案】 ⑴⑵或⑶;‎ 【解析】⑴ 因为在直线上,设,因为与轴相切, 则圆为, 又圆与圆外切,圆:, 则,解得,即圆的标准方程为;‎ ⑵ 由题意得, 设,则圆心到直线的距离, 则,,即, 解得或,即:或;‎ ⑶ ‎,即,即, , 又, 即,解得, 对于任意,欲使, 此时,只需要作直线的平行线,使圆心到直线的距离为, 必然与圆交于两点,此时,即, 因此对于任意,均满足题意, 综上 ‎.‎ 1. ‎(本小题满分14分) 已知函数. ⑴ 设,. ① 求方程的根; ② 若对于任意,不等式恒成立,求实数的最大值; ⑵ 若,,函数有且只有1个零点,求的值.‎ 【答案】 ⑴ ①;②;⑵;‎ 【解析】⑴ ‎① ,由可得, 则,即,则,; ② 由题意得恒成立, 令,则由可得, 此时恒成立,即恒成立 ∵时,当且仅当时等号成立, 因此实数的最大值为.‎ ‎,, 由,可得,令,则递增,‎ 而,因此时, 因此时,,,则; 时,,,则; 则在递减,递增,因此最小值为, ① 若,时,,,则; ‎ ‎ logb2时,,,则; 因此且时,,因此在有零点, 且时,,因此在有零点, 则至少有两个零点,与条件矛盾; ② 若,由函数有且只有1个零点,最小值为, 可得, 由, 因此, 因此,即,即, 因此,则.‎ 1. ‎(本小题满分14分) 记.对数列()和的子集,若,定义;‎ 若,定义.例如:时,.‎ 现设()是公比为的等比数列,且当时,. ⑴ 求数列的通项公式; ⑵ 对任意正整数(),若,求证:; ⑶ 设,,,求证:.‎ 【答案】 ⑴;⑵⑶详见解析;‎ 【解析】⑴ 当时,,因此,从而,;‎ ⑵ ‎;‎ ⑶ 设,,则,,, ,因此原题就等价于证明. 由条件可知. ① 若,则,所以. ② 若,由可知,设中最大元素为,中最大元素为, ‎ ‎ 若,则由第⑵小题,,矛盾. 因为,所以,所以, ,即. 综上所述,,因此.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ 1. ‎[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)‎ 如图,在中,,,为垂足,是中点. 求证:.‎ 【答案】 详见解析;‎ 【解析】 由可得, 由是中点可得, 则, 由可得, 由可得, 因此, 又可得.‎ B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵,矩阵的逆矩阵,求矩阵.‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 ‎,因此.‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为,椭圆的参数方程为,设直线与椭圆相交于两点,求线段的长.‎ 【答案】 ‎;‎ 【解析】 直线方程化为普通方程为, 椭圆方程化为普通方程为, 联立得,解得或, 因此.‎ D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 设,,,求证:.‎ 【答案】 详见解析;‎ 【解析】 由可得, .‎ ‎[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 2. ‎(本小题满分10分) 如图,在平面直角坐标系中,已知直线,抛物线. ⑴ 若直线过抛物线的焦点,求抛物线的方程; ⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.‎ ‎ ①求证:线段上的中点坐标为;‎ ‎ ②求的取值范围.‎ ‎ ‎ 【答案】 ⑴;⑵①见解析;②‎ 【解析】⑴ ‎,与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为,‎ ‎;‎ ⑵ ① 设点,‎ 则:,即,‎ 又关于直线对称,‎ 即,‎ 又中点一定在直线上 线段上的中点坐标为;‎ ② 中点坐标为 即 ‎,即关于有两个不等根 ‎,,.‎ 1. ‎(本小题满分10分) ⑴ 求的值; ⑵ 设,,求证: .‎ 【答案】 ⑴;⑵详见解析;‎ 【解析】⑴ ‎;‎ ⑵ 对任意的, ① 当时,左边,右边,等式成立, ② 假设时命题成立, 即, 当时, 左边= , 右边, 而, 因此, 因此左边=右边, 因此时命题也成立,‎ 综合①②可得命题对任意均成立.‎ 另解:因为,所以 左边 又由,知 ‎,‎ 所以,左边右边.‎