2015高考数学人教A版本（4-5简单的三角恒等变换）一轮复习学案 13页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-5简单的三角恒等变换课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)设<θ<π，且|cosθ|＝，那么sin的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．－ C．－ D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.‎ ‎∵<<，∴sin>0，‎ 又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎(理)已知x∈(，π)，cos2x＝a，则cosx＝(　　)‎ A.　　　　　　　 B．－ C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　a＝cos2x＝2cos2x－1，‎ ‎∵x∈(，π)，∴cosx<0，∴cosx＝－.‎ ‎2．(2013·山西诊断)已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝(　　)‎ A. B．－ C．－ D. ‎[答案]　D ‎[解析]　依题意得sin(θ＋)＝cosθ＝，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝ ‎，选D.‎ ‎3．(文)在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tan＋tan＋tan·tan的值是(　　)‎ A．± B．－ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，‎ 又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，‎ ‎∴tan＋tan＋tan·tan ‎＝tan＋tantan ‎＝，故选C.‎ ‎(理)(2013·兰州名校检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.‎ ‎4．(文)若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cos2x－sin2y等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎[答案]　B ‎[解析]　∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B.‎ ‎(理)已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则sin(x＋y)的值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　两式相加得sinx＋cosx＝siny＋cosy，‎ ‎∴sin＝sin，‎ ‎∵x、y为锐角，且sinx－siny<0，∴x0，化简 cos·＋sin·＝________.‎ ‎[答案]　±sin ‎[解析]　∵sinα·cosα<0，∴α为第二或第四象限角，‎ 又∵sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，‎ ‎∴为第二或四象限角．‎ ‎∴原式＝cos·＋sin· ‎＝ ‎∴原式＝±sin.‎ ‎8．已知sinα＝，cosβ＝，其中α、β∈(0，)，则α＋β＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，‎ ‎∴cosα＝，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，‎ ‎∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.‎ ‎9．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，‎ ‎∵0<α<，∴<α＋<，‎ 又cos(α＋)＝，‎ ‎∴sin(α＋)＝＝，‎ ‎∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)‎ ‎＝2××＝，‎ cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1‎ ‎＝2×()2－1＝，‎ ‎∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]‎ ‎＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin ‎＝×－×＝.‎ ‎[点评]　已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知函数f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在[－，]上的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)f(x)在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，又f(－)0，‎ 解得tan＝2，故tan(＋)＝＝－3.‎ ‎(理)已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　由已知得＝，解得tanα＝－，‎ 即＝－，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－<α<0，可得sinα＝－，‎ 所以＝＝2sinα ‎＝2×(－)＝－.‎ 三、解答题 ‎16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；‎ ‎(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，‎ 所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.‎ ‎(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，‎ 因为C为锐角，所以C＝，‎ 在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，‎ 所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC ‎＝×＋×＝.‎ ‎(理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.‎ ‎(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝所围成图形的面积．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋＋a ‎＝sin(2x＋)＋a＋，‎ ‎∴最小正周期T＝π.‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．‎ ‎(2)∵－≤x≤，‎ ‎∴－≤2x＋≤.‎ ‎∴－≤sin(2x＋)≤1.‎ 当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝，‎ ‎∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋)＋.‎ 考纲要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．‎ 补充说明 ‎1．函数与方程的思想 ‎[例1]　已知sinx＋siny＝，求sinx－cos2y的最大、最小值．‎ ‎[分析]　令u＝sinx－cos2y，消去sinx得u＝－siny－cos2y可转化为二次函数求最值，关键是消元后sinx的范围，同时要转化为siny的取值范围．‎ ‎[解析]　由sinx＝－siny及－1≤sinx≤1得，‎ ‎－≤siny≤1.‎ 而sinx－cos2y＝sin2y－siny－ ‎＝(siny－)2－，‎ 所以当siny＝时，最小值为－，‎ 当siny＝－时，最大值为.‎ ‎[点评]　求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.‎ ‎2．角的构造技巧与公式的灵活运用 ‎[例2]　求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．‎ ‎[解析]　解法1：因为40°＝30°＋10°，于是 原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋2＋sin10°·cos10°－sin10°＝(sin210°＋cos210°)＝.‎ 解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则 a＝(sin10°＋cos40°)＝(sin10°＋sin50°)‎ ‎＝sin30°cos20°＝cos20°，‎ b＝(sin10°－cos40°)＝(sin10°－sin50°)‎ ‎＝cos30°sin(－20°)＝－sin20°.‎ 原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)‎ ‎＝‎3a2＋b2‎ ‎＝cos220°＋sin220°＝.‎ 解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，‎ y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则 x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°‎ x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－ ‎＝－cos40°－，因此，2x＝，x＝.‎ ‎[点评]　解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．‎ 解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．‎ 解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．‎ 在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．‎ 你能解决下列问题吗？‎ ‎(1)求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；‎ 求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；‎ ‎(2)求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；‎ 求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；‎ ‎(3)求sin2α＋cos2(α＋60°)＋sinαcos(α＋60°)的值；‎ 求cos2α＋sin2(α＋60°)－cosasin(α＋60°)的值；‎ ‎(4)若x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值；‎ 若x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值.‎ ‎3．三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．‎ ‎(1)证明绝对恒等式是根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．‎ ‎(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择恰当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变形，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．‎ 备选习题 ‎1．已知函数f(x)＝2cos2－sinx.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)若α为第二象限角，且f(α－)＝，求的值．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos(x＋)，‎ 所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．‎ ‎(2)因为f(α－)＝，‎ 所以1＋2cosα＝，即cosα＝－.‎ 又因为α为第二象限角，‎ 所以sinα＝.‎ 所以＝ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ ‎2．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f(α)＝.‎ ‎(1)用sinα表示f(α)；‎ ‎(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．‎ ‎[解析]　(1)f(α)＝＝.‎ ‎(2)∵0<α<π，∴sinα>0.‎ ‎∴f(α)＝sinα＋≥2＝1，‎ 又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1，‎ 此时sinα＝，‎ 即sinα＝，∴α＝或.‎ 又∵0<β<π，0