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  • 2021-05-13 发布

高考上海理科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、填空题(本大题共14小题,共56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4‎ 分,否则一律得零分.‎ ‎(1)【2014年上海,理1,4分】函数的最小正周期是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式=,.‎ ‎(2)【2014年上海,理2,4分】若复数,其中是虚数单位,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式=.‎ ‎(3)【2014年上海,理3,4分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆右焦点为,即抛物线焦点,所以准线方程.‎ ‎(4)【2014年上海,理4,4分】设,若,则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,,∴.‎ ‎(5)【2014年上海,理5,4分】若实数,满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎(6)【2014年上海,理6,4分】若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与底面夹角的大小为 .(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥母线长为,底面圆半径为,∵,∴,即,∴,即母线与底面夹角大小为.‎ ‎(7)【2014年上海,理7,4分】已知曲线的极坐标方程为,则与极轴的交点到极点的距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线的直角坐标方程为,与轴的交点为,到原点距离为.‎ ‎(8)【2014年上海,理8,4分】设无穷等比数列的公比为,若,则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,∵,∴.‎ ‎(9)【2014年上海,理9,4分】若,则满足的的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,结合幂函数图像,如下图,可得的取值范围是.‎ ‎(10)【2014年上海,理10,4分】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是 .(结果用最简分数表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎(11)【2014年上海,理11,4分】已知互异的复数满足,集合,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一种情况:,∵,∴,与已知条件矛盾,不符;‎ 第二种情况:,∴,∴,即.‎ ‎(12)【2014年上海,理12,4分】设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简得,根据下图,当且仅当时,恰有三个交点,‎ 即.‎ ‎(13)【2014年上海,理13,4分】某游戏的得分为,随机变量表示小白玩该游戏的得分.若,则小白得分的概率至少为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设得分的概率为,∴,且,‎ ‎∴,与前式相减得:,‎ ‎∵,∴,即.‎ ‎(14)【2014年上海,理14,4分】已知曲线,直线. 若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,是中点,即,∵,∴.‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎(15)【2014年上海,理15,5分】设,则“”是“且”的( )‎ ‎ (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】充分性不成立,如,;必要性成立,故选B.‎ ‎(16)【2014年上海,理16,5分】如图,四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱,是 一条侧棱, 是上底面上其余的八个点,则的 不同值的个数为( )‎ ‎ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量数量积的几何意义,等于乘以在方向上的投影,而在方向上的投影是定值,也是定值,∴为定值,故选A.‎ ‎(17)【2014年上海,理17,5分】已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )‎ ‎ (A)无论如何,总是无解 (B)无论如何,总有唯一解 ‎ ‎(C)存在,使之恰有两解 (D)存在,使之有无穷多解 ‎【答案】B ‎【解析】由已知条件,,,‎ ‎∴有唯一解,故选B.‎ ‎(18)【2014年上海,理18,5分】设 若是的最小值,则的取值范围为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分析的情况,是一个对称轴为的二次函数,当时,,不符合题意,排除AB选项;当时,根据图像,即符合题意,排除C选项,故选D.‎ 三、解答题(本题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎(19)【2014年上海,理19,12分】底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三 角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.‎ 解:根据题意可得共线,∵,,‎ ‎∴,∴,同理,∴是等 ‎ 边三角形,是正四面体,所以边长为4;∴.‎ ‎(20)【2014年上海,理20,14分】设常数,函数.‎ ‎(1)若,求函数的反函数;‎ ‎(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.‎ 解:(1)∵,∴,∴,∴,‎ ‎ ∴,. ……6分 ‎(2)若为偶函数,则,∴,整理得,∴,此时为偶函,‎ 若为奇函数,则,∴,整理得,∵,∴,此时 为奇函数,当时,此时既非奇函数也非偶函数. ……14分 ‎(21)【2014年上海,理21,14分】如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米. 设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.‎ ‎(1)设计中是铅垂方向. 若要求,问的长至多为多少(结 果精确到米)?‎ ‎(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确 ‎ 到米).‎ 解:(1)设的长为米,则,∵, ∴,∴,‎ ‎∴,解得,∴的长至多为米. ……6分 ‎ ‎(2)设,,则,‎ 解得∴∴的长为米. ……14分 ‎(22)【2014年上海,理22,16分】在平面直角坐标系中,对于直线和点,记. 若,则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分割,则称直线为曲线的一条分割线.‎ ‎(1)求证:点被直线分割;‎ ‎(2)若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;‎ ‎(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线.求证:通过原点的直 线中,有且仅有一条直线是的分割线.‎ 解:(1)将分别代入,得,‎ ‎ ∴点被直线分割. ……3分 ‎(2)联立,得,依题意,方程无解∴,∴或.……8分 ‎(3)设,则,∴曲线的方程为 ① 当斜率不存在时,直线 ‎,显然与方程①联立无解,又为上两点,且代入,有,‎ ‎∴是一条分割线;当斜率存在时,设直线为,代入方程得:,‎ 令,则,‎ ‎,,‎ 当时,,∴,即在之间存在实根,∴与曲线有公共点 当时,,即在之间存在实根,∴与曲线有公共点,‎ ‎∴直线与曲线始终有公共点,∴不是分割线,‎ 综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线. ……16分 ‎(23)【2014年上海,理23,18分】已知数列满足,,.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)设是公比为的等比数列,. 若,,求的取值范围;‎ ‎(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及取最大值时相应 数列的公差.‎ 解:(1)依题意,,∴,又,∴,综上可得.……3分 ‎(2)由已知得,又,∴,‎ ‎ 当时,,,即,成立;‎ ‎ 当时,,,即, ∴,‎ 此不等式即,∵,∴,‎ ‎ 对于不等式,令,得,解得,又当时,,‎ ‎∴成立,∴,当时,‎ ‎,,即,即,,‎ ‎∵,‎ ‎∴时,不等式恒成立,综上,的取值范围为. ……10分 ‎(3)设公差为,显然,当时,是一组符合题意的解,‎ ‎∴,则由已知得,∴,‎ 当时,不等式即,∴,,‎ ‎∴时,,解得,∴,‎ ‎∴的最大值为,此时公差. ……18分