高考上海理科数学试题及答案word解析版 5页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4‎ 分，否则一律得零分．‎ ‎（1）【2014年上海，理1，4分】函数的最小正周期是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式＝，．‎ ‎（2）【2014年上海，理2，4分】若复数，其中是虚数单位，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式＝．‎ ‎（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程．‎ ‎（4）【2014年上海，理4，4分】设，若，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，，∴．‎ ‎（5）【2014年上海，理5，4分】若实数，满足，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 ．（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径为，∵，∴，即，∴，即母线与底面夹角大小为．‎ ‎（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为．‎ ‎（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列的公比为，若，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，∵，∴．‎ ‎（9）【2014年上海，理9，4分】若，则满足的的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是．‎ ‎（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 ．（结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数满足，集合，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一种情况：，∵，∴，与已知条件矛盾，不符；‎ 第二种情况：，∴，∴，即．‎ ‎（12）【2014年上海，理12，4分】设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点，‎ 即．‎ ‎（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若，则小白得分的概率至少为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设得分的概率为，∴，且，‎ ‎∴，与前式相减得：，‎ ‎∵，∴，即．‎ ‎（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线，直线． 若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，是中点，即，∵，∴．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎（15）【2014年上海，理15，5分】设，则“”是“且”的（ ）‎ ‎ （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】充分性不成立，如，；必要性成立，故选B．‎ ‎（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是 一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的 不同值的个数为（ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，∴为定值，故选A．‎ ‎（17）【2014年上海，理17，5分】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）‎ ‎ （A）无论如何，总是无解 （B）无论如何，总有唯一解 ‎ ‎（C）存在，使之恰有两解 （D）存在，使之有无穷多解 ‎【答案】B ‎【解析】由已知条件，，，‎ ‎∴有唯一解，故选B．‎ ‎（18）【2014年上海，理18，5分】设 若是的最小值，则的取值范围为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项，故选D．‎ 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三 角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．‎ 解：根据题意可得共线，∵，，‎ ‎∴，∴，同理，∴是等 ‎ 边三角形，是正四面体，所以边长为4；∴．‎ ‎（20）【2014年上海，理20，14分】设常数，函数．‎ ‎（1）若，求函数的反函数；‎ ‎（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．‎ 解：（1）∵，∴，∴，∴，‎ ‎ ∴，． ……6分 ‎（2）若为偶函数，则，∴，整理得，∴，此时为偶函，‎ 若为奇函数，则，∴，整理得，∵，∴，此时 为奇函数，当时，此时既非奇函数也非偶函数． ……14分 ‎（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米． 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．‎ ‎（1）设计中是铅垂方向． 若要求，问的长至多为多少（结 果精确到米）？‎ ‎（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确 ‎ 到米）．‎ 解：（1）设的长为米，则，∵， ∴，∴，‎ ‎∴，解得，∴的长至多为米． ……6分 ‎ ‎（2）设，，则，‎ 解得∴∴的长为米． ……14分 ‎（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系中，对于直线和点，记． 若，则称点被直线分割． 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线．‎ ‎（1）求证：点被直线分割；‎ ‎（2）若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；‎ ‎（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线．求证：通过原点的直 线中，有且仅有一条直线是的分割线．‎ 解：（1）将分别代入，得，‎ ‎ ∴点被直线分割． ……3分 ‎（2）联立，得，依题意，方程无解∴，∴或．……8分 ‎（3）设，则，∴曲线的方程为 ① 当斜率不存在时，直线 ‎，显然与方程①联立无解，又为上两点，且代入，有，‎ ‎∴是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，‎ 令，则，‎ ‎，，‎ 当时，，∴，即在之间存在实根，∴与曲线有公共点 当时，，即在之间存在实根，∴与曲线有公共点，‎ ‎∴直线与曲线始终有公共点，∴不是分割线，‎ 综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线． ……16分 ‎（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列满足，，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）设是公比为的等比数列，． 若，，求的取值范围；‎ ‎（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应 数列的公差．‎ 解：（1）依题意，，∴，又，∴，综上可得．……3分 ‎（2）由已知得，又，∴，‎ ‎ 当时，，，即，成立；‎ ‎ 当时，，，即， ∴，‎ 此不等式即，∵，∴，‎ ‎ 对于不等式，令，得，解得，又当时，，‎ ‎∴成立，∴，当时，‎ ‎，，即，即，，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，不等式恒成立，综上，的取值范围为． ……10分 ‎（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，‎ ‎∴，则由已知得，∴，‎ 当时，不等式即，∴，，‎ ‎∴时，，解得，∴，‎ ‎∴的最大值为，此时公差． ……18分