云南师大附中高考数学适应性月考卷三试题 文 新人教A 14页

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（三）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则＝‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，；当时，；当时，，．故选B．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点位于 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】A ‎【解析】A.‎ ‎3．已知，，若，则＝‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，即，即，所以，故选B．‎ ‎4．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为正视图 ‎1 1‎ ‎1 ‎ 侧视图 俯视图 A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B．‎ ‎5．执行如图2所示的程序框图，则输出的的值是 A．8 B．‎6 ‎C．4 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎；.故选A．‎ ‎6．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性定义知，A、B为偶函数，C为奇函数，D定义域为不关于原点对称，故选D．‎ ‎7．下列说法正确的是 A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B．若命题，则命题 C．命题“若，则”的逆否命题为真命题 D．“”是“”的必要不充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】选项A，否命题为“若”；选项B，命题R，；选项D，“”是“”的充分不必要条件，故选C．‎ ‎8．实数对满足不等式组若目标函数的最大值与最小值之和为 A．6 B．‎7 ‎C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式组所表示的区域如图 所示，则故选C．‎ ‎9．记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】区域为圆心在原点，半径为4的圆，区域为等腰直角三角形，两腰长为4，所以，故选A．‎ ‎10．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，＝‎ A．9 B．‎8 ‎C．7 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】， ，‎ ‎. 故选D．‎ ‎11．对于函数，则下列说法正确的是 A．该函数的值域是 ‎ B．当且仅当时， ‎ C．当且仅当时，该函数取得最大值1‎ D．该函数是以为最小正周期的周期函数 ‎【答案】B ‎【解析】由图象知，函数值域为，A错；当且仅当时，该函数取得最大值，C错；最小正周期为，D错．故选B．‎ ‎12．已知为上的可导函数，且，均有，则有 A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数则，‎ 因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，‎ 即 也就是，故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．‎ ‎13．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，……，第五组．图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于 ．‎‎0.38‎ 频率 组距 ‎0.32‎ ‎0.16‎ ‎0.08‎ ‎0.06‎ 秒 ‎13 14 15 16 17 18‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】．‎ ‎14．在锐角△中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则△的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，又是锐角三角形 ‎，‎ ‎．‎ ‎15．正三棱锥内接于球，且底面边长为，侧棱长为2，则球 的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．‎ ‎16．如图4，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，、分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知，，整理得，即，解得，故．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且有，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和为．‎ ‎18．（本小题满分12分）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：‎ 喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ ‎（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？‎ ‎（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.25‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A B M C D P ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19．（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥中，⊥，为的中点，为的中点，且△为正三角形．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知，．‎ ‎（1）求在上的最小值；‎ ‎（2）若对一切，成立，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】‎ A B C E D F 如图6，在正△中，点分别在边上，且，，相交于点．‎ ‎（1）求证：四点共圆；‎ ‎（2）若正△的边长为2，求所在圆的半径．‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点到曲线上的点的距离的最小值．‎ ‎24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ 云南师大附中2013届高考适应性月考卷（三）‎ 文科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B B A D C C A D B D 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎27‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）， ，‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎． …………………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎．‎ 两式相减得：，‎ ‎，‎ ‎． ……………………………………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由公式，‎ 所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． ………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）设所抽样本中有m个男生，则人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作从中任选2人的基本事件有 ‎，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有 ‎，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为． ………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，‎ 且D为PB的中点，∴MD⊥PB．‎ 又∵M为AB的中点，D为PB的中点，‎ ‎∴MD//AP，∴AP⊥PB．‎ 图4‎ 又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，‎ ‎∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，‎ ‎∴BC⊥平面APC， …………………………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有.‎ ‎∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，，，‎ ‎∴．‎ 又，．‎ 在中，，‎ 又，，‎ ‎，‎ 即点B到平面MDC的距离为． ……………………………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），令．‎ 当单调递减；‎ 当单调递增．‎ ‎，‎ ‎（1）当；‎ ‎（2）当 所以 …………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由得.‎ 设，则. 令，得或（舍），当时，，h(x)单调递减；当时，，h(x)单调递增，所以 所以 …………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎， ‎ 则. ……………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）设.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，整理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此得，‎ 故长轴长的最大值为. …………………………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】‎ ‎（Ⅰ）证明： ‎ 在正中，‎ 又，，‎ ‎≌，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以，，，四点共圆． …………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）解：如图5，取的中点，连结，‎ 则 图5‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，，‎ 为正三角形，‎ 即 所以点是外接圆的圆心，且圆的半径为．‎ 由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为．‎ ‎………………………………………………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）由点M的极坐标为，得点M的直角坐标为(4，4)， ‎ 所以直线OM的直角坐标方程为． ……………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）由曲线C的参数方程(为参数)，‎ 化成普通方程为：， ‎ 圆心为A(1，0)，半径为． ‎ 由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为 ‎． ………………………………………………………………（10分）‎ ‎24．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）原不等式等价于 或 解之得，‎ 即不等式的解集为． ………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，解此不等式得． ……………………………………（10分）‎