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  • 2021-05-13 发布

高考解析几何与立体几何复习的几点思考

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高考解析几何与立体几何复习的几点思考 北师大昆明附中 宋祖发 ‎ 第一部分 解析几何 ‎ 解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“ 坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线,从而使代数和几何之间建立实质性的联系,可以说,解析几何是各种数学思想方法的综合点,是主干知识的交汇点。‎ 一、解析几何命题的特点 ‎ 题型相对稳定,一般考查三个小题,一 个大题,文理科差异主要体现在小题上。‎ 三个小题着重考查基本概念与性质,一般会出现一个较难的题目,但入口较容易。 ‎ 二、解析几何的命题趋势(从内容上来看)‎ 1. 直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题,其中要重视“对称问题”的解答方法;‎ 2. 与圆的位置有关的问题,一是研究方程组,二是充分利用平面几何知识,后者是常用方法;‎ 3. 求曲线的方程或轨迹问题,涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题;‎ 4. 直线与圆椎曲线的位置关系问题,如参数的取值范围、最值问题等,这是高考的重点内容之一;(学科内的小综合)‎ 5. 以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题,其目的是加强联系、注重应用,以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。(大综合)‎ 三、需要突破的几个难点:‎ ‎(一)直线与圆的位置关系问题 ‎(二)求曲线的方程,讨论其几何性质 解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门属性为学科,主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程,进而根据方程研究曲线性质。‎ ‎ 评析: 应用定义求动点轨迹或其方程,其优势在于避免列式、化简等繁琐的代数处理过程,给人以简捷、明快之感。‎ ‎ ‎ 评析:向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题需要应用向量的数量积进行等价转化,这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”,难度较小,但是,如果不能将“‎ 向量语言”准确转化为“坐标语言”,或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细节决定成败”。‎ ‎(三)直线与圆锥曲线的位置关系 直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题,它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。‎ ‎(四)适当交汇,注重联系 圆锥曲线问题是中学数学知识的一个重要交汇点,成为联系多项内容的媒体,常与函数、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透,题型新颖别致、自然流畅。这类题综合性强、解题灵活、思维抽象。因此在复习时要突出构建知识网络,从圆锥曲线整体的高度考虑问题,在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。‎ 解:(Ⅰ)椭圆的半焦距,‎ 由知点在以线段为直径的圆上,故,‎ 所以, ‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得 ‎ 设,,则 ‎,‎ ‎;‎ 因为与相交于点,且的斜率为,‎ 所以, ‎ 四边形的面积 ‎ ‎ 当时,上式取等号 ‎ ‎(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积 ‎ 综上,四边形的面积的最小值为 ‎ 评析:第一问实际上是证明点P在椭圆的内部;第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题,这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现。‎ 在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量 求:‎ ‎(Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值 ‎ 解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0) y=2(01,y>2) ‎ ‎(Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ‎ ‎∴| |2= x2-1++5≥4+5=9 且当x2-1= ,即x=>1时,上式取等号 ‎ 故||的最小值为3 ‎ 评析:与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大,解题时需要根据具体问题,灵活运用平面几何、函数、不等式、三角等知识,正确地构建圆锥曲线与其它数学知识的联系。‎ 解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属容易或中等题,解答题计算量减少,思维量增大。重点仍然是直线与圆锥曲线位置关系,热点主要体现在以下几个方面:直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题,是否存在型的探索问题等。从“在知识网络交汇点设计试题”这一命题思想出发,还应该注重与平面向量、函数、导数、不等式、数列等相结合的解析几何问题。‎ 第二部分 立体几何 一、考纲解读 ‎ 1.掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。‎ ‎ 2.掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和距离的概念,理解异面直线的距离。‎ ‎ 3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理。掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理。掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。掌握三垂线定理及逆定理。‎ ‎ 4.掌握两个平面平行的判断定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。‎ ‎ 5.了解多面体、凸多媒体的概念,了解正多面体的概念。‎ ‎ 6.了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图。‎ ‎ 7.了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图。‎ ‎ 8.了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式。‎ 二、近三年立体几何试题情况 年份 ‎2006年 ‎2007年 ‎2008年 卷型 类别 题号 题号 题号 全国卷Ⅰ 理科 ‎7,13,19‎ ‎7,16,19‎ ‎11,16,18‎ 文科 ‎9,14,19‎ ‎7,15,19‎ ‎11,16,18‎ 全国卷Ⅱ 理科 ‎7,15,19‎ ‎7,15,19‎ ‎10,12,16,19‎ 文科 ‎7,14,20‎ ‎7,15,20‎ ‎8,12,16,19‎ ‎ 三、2008年立体几何考查的知识 ‎ 全国1卷 ‎11题 三棱柱中求线面所成角 理科16题 文科16题 三棱锥中求异面直线所成角 三棱锥中求点到平面的距离 理科18题、文科18题 四棱锥中(1)证明线线垂直;(2)求二面角。‎ 但理科、文科在第2问上给出的条件不同 ‎ ‎ ‎ 全国2卷(云南)‎ 文科 8题:‎ 理科10题:‎ 求正四棱锥的体积;‎ 正四棱锥中求异面直线所成角。‎ ‎12题 球的有关性质和计算 ‎16题 平行六面体的概念和性质,考查合情推理和类比思想,考查充要条件等知识.‎ 理科19题、文科20题 正四棱柱:(1)证明线面垂直;(2)求二面角。‎ 四、2008年全国2卷(云南)立体几何试题分析 1. 文8:正四棱锥的侧棱长为,侧棱与底面所成的角为,则该棱锥的体积为( )‎ A.3 B.‎6 ‎ C.9 D.18 ‎ 1. 理10:已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ 1. 理12·文12:已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )‎ A.1 B. C. D.2‎ 图2‎ 图2‎ 图2‎ 图1‎ 2. 理16·文16:平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:‎ 充要条件① ;‎ 充要条件② .‎ ‎(写出你认为正确的两个充要条件)‎ 本题是一道开放题,根据平行六面体的定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体,因此考生可以很容易地写出一个充要条件:底面是平行四边形.另外还可以写出其他一些充要条件,如:两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点.‎ 3. ‎19·文20‎ 如图,正四棱柱中,,点在上且.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ 图3‎ 图4‎ ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ 五、备考策略 ‎(一)课本上的概念和公理、定理、推论是解决问题的基础 ‎ 对公理、定理、推论,要理解其语言文字的含义,会画出符合条件的图形,会用数学符号表达,能给出定理、推论有关的证明并知道其用途-----“口里说着语言(叙述),心里想着空间图形(直观),手里写着数学符号(抽象)”‎ 图3‎ 例1.(07湖北) 平面外有两条直线和,如果和在平面内的 射影分别是和,给出下列四个命题:‎ ‎①; ‎ ‎②;‎ ‎③与相交与相交或重合;‎ ‎④与平行与平行或重合 ‎ 其中不正确的命题个数是(  )‎ A 1 B 2 C 3 D 4‎ 例2.(07浙江) 若是两条异面直线外的任意一点,则(  )‎ A . 过点有且仅有一条直线与都平行 B . 过点有且仅有一条直线与都垂直 C . 过点有且仅有一条直线与都相交 D . 过点有且仅有一条直线与都异面 例3.(07江苏) 已知两条直线,两个平面 给出下面四个命题:‎ ‎①,;②,,;‎ ‎③,;④,, ‎ 其中正确命题的序号是(  )‎ A ①、③ B ②、④ C ①、④ D ②、③‎ ‎(二)课本上的例题、习题、复习题所使用的方法是解决问题的基本方法 ‎ 课本上的习题、例题的解决,采用的是常规方法,就是我们常说的通性通法,同时也给我们解决问题的规范,应引起足够的重视,复习时不能把课本束之高阁。‎ 例4. 三个平面两两相交,求证:这三条交线交于一点或互相平行 分析:两条直线有三种位置关系(平行、相交、异面),三条直线之间应有 种关系,全部列出来在排除25种是相当繁杂,为此,可先考虑两条直线的位置的关系即降维思考。‎ 例5. 两条平行线与同一平面所成角相等 分析:直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线在平面外;直线在平面外又分平行与相交;相交又分斜交和垂直,故细分应有4种情况。两条直线与一个平面的位置关系应有种,列出来再排出亦是繁杂,可先考虑一条直线与平面的位置关性。‎ ‎(三)作辅助线或辅助平面常常要用到线段的中点 ‎ ‎ 纵观历年高考题,立体几何试题的设置大多与中点有关,其主要原因是中点联系 了平行与垂直的关系。常用到平面几何中定理:‎ 定理1:三角形中位线性质 定理2:等腰三角形底边上的中线、高线、垂直平分线重合。‎ ‎ 在解答立体几何问题时,灵活应用上述定理,可起到事半功倍的作用。‎ 例6.若线段所在直线是异面直线,分别是的中点。‎ 求证:‎ ‎(四)掌握空间求距离、求角的基本方法 ‎1.求空间距离,以求点到直线的距离为主,主要有直接法、体积法、向量法等 ‎2.求异面直线所成的角,主要是平移法,解三角形(正、余弦定理);求直线与平面所成的角,关键是作出垂线,找到射影,再解三角形;求二面角的大小,关键找到二面角的平面角或面的法向量 ‎(五)如何突破立体几何大题------向量法 ‎1、建系;2、求点的坐标;3、求法向量 常用向量解决的问题:‎ ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,其中,则点B到平面的距离为.‎ ②利用法向量求二面角的平面角定理:设分别是二面角中平面的法向量,则 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(方向相同,则为补角,反方,则为其夹角).‎ 1. ‎(2007全国Ⅰ•理科19题•文科19题)‎ S C D A B 四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,侧面底面ABCD,已知,,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)(文科)求直线SD与平面SBC所成角的大小.‎ ‎(理科)求直线SD与平面SAB所成角的大小.‎ 向量法:需先找出角(用到射影长定理)后,方能进行建系! ‎ 2. ‎(2007全国Ⅱ•理科19题•文20题)‎ A E B C F S D 如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面分别为的中点.‎ ‎(1)证明平面;‎ ‎(2)设,求二面角的大小.‎