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- 2021-05-13 发布
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第05节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
了解函数 y=A sin (ωx+φ) 的物理意义,掌握 y=A sin (ωx+φ) 的图象,了解参数 A,
ω,φ 对函数图象变化的影响.
2013浙江文6理4;
2014浙江文4,理4;
2016浙江文11,理10.
1.“五点法”作图;
2.函数图象的变换;
3.三角函数模型的应用问题.
4.往往将恒等变换与图象和性质结合考查
5.备考重点:
(1) 掌握函数图象的变换;
(2) 掌握三角函数模型的应用.
【知识清单】
1.求三角函数解析式
(1)的有关概念
,
表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
(2)用五点法画一个周期内的简图
用五点法画一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
-
(3)由的图象求其函数式:
已知函数的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求;由函数的周期确定;确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
(4)利用图象变换求解析式:
15
由的图象向左或向右平移个单位,,得到函数,将图象上各点的横坐标变为原来的倍(),便得,将图象上各点的纵坐标变为原来的倍(),便得.
2.三角函数图象的变换
1.函数图象的变换(平移变换和上下变换)
平移变换:左加右减,上加下减
把函数向左平移个单位,得到函数的图像;
把函数向右平移个单位,得到函数的图像;
把函数向上平移个单位,得到函数的图像;
把函数向下平移个单位,得到函数的图像.
伸缩变换:
把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的,得到函数的图像;
把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的,得到函数的图像.
2.由的图象变换出的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少.
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(),便得的图象.
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍(),再沿轴向左()或向右()平移个单位,便得的图象.
注意:函数的图象,可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当
15
时)平行移动个单位长度而得到.
3 .函数的图像与性质的综合应用
(1)的递增区间是,递减区间是.
(2)对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴,可由方程解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与轴的交点,可由,解得,即其对称中心为.
(3)若为偶函数,则有;若为奇函数则有.
(4)的最小正周期都是.
【重点难点突破】
考点1求三角函数解析式
【1-1】【2018届河北省石家庄二中三模】将周期为的函数的图象向右平移个单位后,所得的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
15
【1-2】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数的图象向左平移个单位,所得的图象所对应的函数解析式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的图象向左平移单位得到的图象,即将函数的图象向左平移个单位,所得的图象所对应的函数解析式是,故选C.
【领悟技法】
1.根据的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
(1) 的确定:根据图象的最高点和最低点,即=;
(2) 的确定:根据图象的最高点和最低点,即=;
(3) 的确定:结合图象,先求出周期,然后由 ()来确定;
(4) 求,常用的方法有:
①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
15
②五点法:确定值时,由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令,)确定.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”(即图象上升时与轴的交点)为,其他依次类推即可.
2.注意:(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;
(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;(3)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
【触类旁通】
【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数的图象如图所示,若将函数的图象向左平移个单位,则所得图象对应的函数可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由图易知: , ,∴,即,
由五点法作图知: ,得: ,∴
即,将函数的图象向左平移个单位,得: ,
即=
15
故选A.
【变式二】【2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数 的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位后的解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据函数的部分图象知,,解得,根据五点法画正弦函数图象,知时,,解得,将的图象向左平移个单位后,得到,故选B.
考点2 三角函数图象的变换
【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】A
15
【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数的最小正周期为,则函数的图象( )
A. 可由函数的图象向左平移个单位而得
B. 可由函数的图象向右平移个单位而得
C. 可由函数的图象向左平移个单位而得
D. 可由函数的图象向右平移个单位而得
【答案】D
【解析】由已知得, 则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得,故选D.
【领悟技法】
1. 在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式,这样才能避免出错.
2. 图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要意函数图象平移的规律,是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.注
3.解决图象变换问题时,要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小,避免出现错误.
4.特别提醒:进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.
【触类旁通】
【变式一】【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移()个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:根据辅助角公式,我们可将函数化为余弦函数型函数的形式,进而得到平移后函数的解析式,结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质,即可求出答案.
详解:,
15
将其图象向左平移()个单位长度,
所得图象对应的解析式为,
由于为偶函数,
则,
则,
由于,故当时,.
故选:C.
【变式二】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】由函数的图象,变换得到函数的图象,这个变换可以是( )
A. 向左平移 B. 向右平移
C. 向左平移 D. 向右平移
【答案】B
【解析】由函数的图象,变换得到函数的图象向右平移.
故选:B
考点3函数的图像与性质的综合应用
【3-1】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析:由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.
详解:由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:.则函数的单调递增区间满足:,即,令可得一个单调递增区间为:.函数的单调递减区间满足:,即,令可得一个单调递减区间为:.
15
本题选择A选项.
【3-2】【2017浙江杭州二模】设函数.
(1)求函数的周期和单调递增区间;
(2)当时,求函数的最大值.
【答案】(1);(2)3.
试题解析:(1)因为 .
, ,
函数的单调递增区间为: ;
(2), ,
,
的最大值是3.
【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队,在平潭龙凤头海滨浴场进行集训,海滨区域的某个观测点观测到该处水深(米)是随着一天的时间呈周期性变化,某天各时刻的水深数据的近似值如下表:
15
0
3
6
9
12
15
18
21
24
1.5
2.4
1.5
0.6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5
(Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中).观察散点图,从
①, ②,③
中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式;(Ⅱ)为保证队员安全,规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,根据(Ⅰ) 中的选择的函数解析式,试问:这一天可以安排什么时间段组织训练,才能确保集训队员的安全.
【答案】(1) 选②做为函数模型, ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.
才能确保集训队员的安全.
【解析】试题分析 :(1)先画出散点图,可知选②做为函数模型,同时可求出各参数, , 代最值点可求.(2)由(Ⅰ)知: ,令,可解得 .
试题解析:(Ⅰ)根据表中近似数据画出散点图,如图所示:
-
依题意,选②做为函数模型,
15
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
令,即
又
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练,
才能确保集训队员的安全.
【领悟技法】
1. 求形如或 (其中A≠0,)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ ()”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 (), ()的单调区间对应的不等式方向相同(反).
2. 如何确定函数当时函数的单调性
对于函数求其单调区间,要特别注意
15
的正负,若为负值,需要利用诱导公式把负号提出来,转化为的形式,然后求其单调递增区间,应把放在正弦函数的递减区间之内;若求其递减区间,应把放在正弦函数的递增区间之内.
3.求函数 (或,或)的单调区间的步骤:
(1)将化为正.
(2)将看成一个整体,由三角函数的单调性求解.
4.特别提醒:解答三角函数的问题时,不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结.求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.
【触类旁通】
【变式一】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减
C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】分析:首先确定平移之后的对应函数的解析式,然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解:由函数图象平移变换的性质可知:将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:.则函数的单调递增区间满足:,即,令可得函数的一个单调递增区间为,选项A正确,B错误;函数的单调递减区间满足:,即,令可得函数的一个单调递减区间为,选项C,D错误;本题选择A选项.
【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再往上平移1个单位,所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )
A. B. C. D.
【答案】A
15
【易错试题常警惕】
易错典例:将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是( )
A. B. C. D.
易错分析:函数的图像向右平移个单位长度误写成.
正确解析:依题意,因为,的图像都经过点,所以,又因为,所以,或,即或,,在,中,取,即得,故选B.
温馨提醒:(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则.(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
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我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
【典例】【2018届北京市城六区一模】函数()的部分图象如图所示,
其中是函数的一个零点.
(I)写出及的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最小值为;最大值为.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)结合函数的最小正周期可得,由时的函数值可得,函数的解析式为: ,则.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,结合正弦函数的性质可得函数在区间上的最小值为;最大值为.
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(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
因为,所以,
当即时, 的最小值为.
当即时, 的最大值为.
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