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- 2021-05-13 发布
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专题21 三角函数的图象和性质
【热点聚焦与扩展】
近几年高考在对三角恒等变换考查的同时,对三角函数图象与性质的考查力度有所加强,往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象,难度仍然以中低档为主,重在对基础知识的考查,淡化特殊技巧,强调通解通法,其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出,并理解它的性质:
(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期;
(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期;http://www.zk5u.com/(3)函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.
1、正弦函数的性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)周期:
(4)对称轴(最值点):
(5)对称中心(零点):,其中是对称中心,故也是奇函数
(6)单调增区间:
单调减区间:
2、余弦函数的性质
(1)定义域:
(2)值域:
24
(3)周期:
(4)对称轴(最值点):其中是对称轴,故也是偶函数
(5)对称中心(零点):
(6)单调增区间: ,单调减区间:
3、正切函数的性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)周期:
(4)对称中心:
(5)零点:
(6)单调增区间:
注:正切函数的对称中心由两部分构成,一部分是零点,一部分是定义域取不到的的值
4、的性质:与正弦函数相比,其图像可以看做是由图像变换得到(轴上方图像不变,下方图像沿轴向上翻折),其性质可根据图像得到:
(1)定义域:
(2)值域:
(3)周期:
(4)对称轴:
24
(5)零点:
(6)单调增区间:,单调减区间:
5、的性质:此类函数可视为正弦函数通过坐标变换所得,通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下:
(1)定义域:
(2)值域:
(3)周期:
(4)对称轴(最值点),对称中心(零点),单调区间需通过换元计算所求。通常设,其中,则函数变为,在求以上性质时,先利用正弦函数性质与图像写出所满足的条件,然后将还原为再解出的值(或范围)即可
注:1、余弦函数也可看做的形式,即,所以其性质可通过计算得到。
2、对于某些解析式的性质(如对称轴,单调区间等)可根据解析式的特点先变形成为,再求其性质
【经典例题】
例1.【2017课标II,文3】函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
【答案】C
24
例2.【2017课标3,理6】设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是
A.f(x)的一个周期为−2π B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
例3. 已知函数的部分图象如图所示,下面结论正确的个数是( )
24
①函数的最小正周期是;
②函数在区间上是增函数;
③函数的图象关于直线对称;
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象知,
=−(−)=,∴T==π,ω=2;
根据五点法画图知,2×(−)+φ=0,解得φ=;
∴f(x)=sin(2x+);
对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π,①错误;
对于②,x∈[,]时,2x+∈[,],
f(x)在[,]上是减函数,②错误;
对于③,x=时,2x+=,
24
∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,③正确;
对于④,由f(x)=sin(2x+)=sin2(x+)知,
函数f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度得到,④错误;
综上,正确的命题是③.
故选:C.
例4.【2017天津,文理】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
(A), (B), (C), (D),
【答案】
例5.【2017课标II,理14】函数()的最大值是 .
【答案】1
【解析】
24
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
例6. 已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.
【答案】(1);(2)见解析.
(2)证明因为-≤x≤,
24
所以-≤2x+.————-10分
所以sin≥sin=-.
所以当x∈时,f(x)≥-.________14分
例7. 设函数.
()求的最小正周期.
()当时,求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)的最小正周期;(2)的最大值是,最小值是.
【解析】试题分析:(1)由二倍角公式将式子化简,再由周期的公式得到结果;(2)∵,∴, ,进而得到最值.
解析:
24
∴,
∴,
即,
∴当时, 的最大值是,最小值是.
例8.【2019届浙江省部分市学校高三上9+1联考】设函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)若角满足, , 的面积为,求的值.
【答案】(1) , ;(2) .
【解析】试题分析:(1)函数解析式利用三角恒等变换化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间;(2)由及的解析式求出的值,再利用三角形面积公式及,求出,然后根据余弦定理即可求出的值.
24
试题解析:(1) ,
令, ,
得, .
又,化简得,则
∴.
例9.【2019届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量,函数.
(1)求的对称中心;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值,并求出相应的值.
【答案】(1);(2)最大值为,最小值为.
【解析】试题分析:(1)由,令即可得对称中心;
(2)由,得,进而根据正弦函数的图象即可得最值.
24
(2)由(1)得,
因为,所以,
所以时,即, 的最大值为,
当时,即时, 的最小值为.
点睛:本题考查的知识点比较多,主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值,属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值;③型,可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.
例10.【2017江苏,16】 已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.
24
【名师点睛】(1)向量平行:,,
(2)向量垂直:,
(3)向量加减乘:
【精选精练】
1.函数 的部分图象如图所示,则函数的一个表达式为( )
24
A. B.
C. D.
【答案】A
点睛:本题主要考查利用的图象特征,由函数的部分图象求解析式,理解解析式中的意义是正确解题的关键,属于中档题. 为振幅,有其控制最大、最小值, 控制周期,即,通常通过图象我们可得和, 称为初象,通常解出, 之后,通过特殊点代入可得,用到最多的是最高点或最低点.
2.【2019届河北省衡水金卷一模】已知函数的图象向左平移个单位,所得的部分函数图象如图所示,则的值为( )
24
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:根据图象,利用五点法作图的特点确定,即可.
详解:由题知,
∴,
∴
故选:C.
点睛:已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.
3.【2019届广东省佛山市高三检测(二)】已知函数的图象在区间上不单调,则的取值范围为( )
24
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为时,
因此的取值范围为
,选B.
【点睛】函数的性质
(1).
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间
4.【2019届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考模拟(三)】已知函数 ,若的最小值为,且,则
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的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析:易知的最小值为,从而得,再将代入求解的,令,即可得解.
详解:由,且的最小值为,
可知:,∴,
又,则,
点睛:研究三角函数的性质,最小正周期为,最大值为.
求对称轴只需令,求解即可,
求对称中心只需令,单调性均为利用整体换元思想求解.
24
5.【2019届内蒙古鄂伦春自治旗高三下学期二模】函数的值域为__________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴
∴函数的值域为.
6.【2019届四川省雅安市高三下学期三诊】函数的图象在区间上的对称轴方程为__________.
【答案】
7.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)求函数的单调减区间
24
【答案】(Ⅰ)最小正周期是,最大值是2.(Ⅱ)
【解析】试题分析:利用两角和与差的余弦公式,二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简,即可得到的最小正周期和最大值先求出,再求单调区间
解析:(Ⅰ)因为,
所以.
所以函的最小正周期是,最大值是2.
(Ⅱ)因为,
所以单调递减区间为
8.【浙江省台州中学2019届第三次统练】已知向量, ,记.
(1) 若 ,求的值;
(2) 在锐角 中,角 的对边分别是 且满足 ,求 的取值范围.
【答案】(1);(2) .
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点评:1.本题考查解三角形,利用正弦定理进行边角互化,继而求出的值;高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,其中关键是三角变换,而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是 “变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
9.【2019届四川省雅安市高三下学期三诊】已知函数 .
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)在中,三内角,,的对边分别为,,,已知,若,且,求
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的值.
【答案】(1)最小正周期:,单调递增区间为:;(2).
【解析】试题分析:(1)根据三角恒等变换可得,从而可得函数的最小正周期,再根据可解得单调增区间;(2)由,可得的值,再根据及,即可解得,结合余弦定理,即可求得的值.
试题解析:(1) .
∴最小正周期:,
∴
又∵,
∵
24
∴,
∴
∴.
10.【2019届北京市京源学校高三十月月考】 已知函数, .
(Ⅰ)求函数的最大正周期与单调增区间值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】(Ⅰ)最小正周期是: ,;(Ⅱ)最小值为0,最大值为1.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ,故而可得周期,解不等式可得单调增区间;(Ⅱ)根据的范围,计算出的范围,结合正弦函数的性质可得其最值.
试题解析:(Ⅰ)
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所以,即,
所以,
当且仅当时, 取最小值, ,
当且仅当时,即时取最大值, .
11.【2017浙江,18】已知函数f(x)=sin2x–cos2x– sin x cos x(xR).
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.
【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为,单调递增区间为.
【解析】
(Ⅱ)由与得
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【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简,以及函数的性质,属于基础题,强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等都属于三角函数的性质,首先都应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解.
12.【2019届广西陆川县中学高三12月月考】已知函数.
(Ⅰ)求函数在的单调递减区间;
(Ⅱ)在锐角中,内角, , ,的对边分别为, , ,已知, , ,求的面积.
【答案】(1)和;(2).
试题解析:
24
(Ⅰ)由已知得 .
, 又
函数在的单调递减区间为和.
(Ⅱ)由(1)知
锐角,
又
,即.
又
.
24