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- 2021-05-13 发布
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单元评估检测(六)
第六章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2014·天门模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P+Q={x|x∈P或x∈Q且
x∉P∩Q}.若P={x|x2-3x-4≤0},Q={x|y=log2(x2-2x-15)},那么P+Q等于( )
A.[-1,4]
B.(-∞,-1]∪[4,+∞)
C.(-3,5)
D.(-∞,-3)∪[-1,4]∪(5,+∞)
2.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.以上均不正确
3.(2014·宜昌模拟)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )
A. B.1 C.2 D.4
4.(2014·荆门模拟)若实数a,b,c成公差不为0的等差数列,则下列不等式不成立的是( )
A.|b-a+|≥2
B.a3b+b3c+c3a≥a4+b4+c4
C.b2>ac
D.|b|-|a|≤|c|-|b|
5.(2013·宿州模拟)如果实数x,y满足条件那么2x-y的最大值为
( )
A.2 B.1 C.-2 D.-3
6.条件p:<2x<16,条件q:(x+2)(x+a)<0,若p是q的充分而不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,-4] D.(-∞,-4)
7.(2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(3,+∞) D.(4,+∞)
8.(2013·西安模拟)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.2
9.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
10.(2013·随州模拟)变量x,y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是( )
A. B.
C.[-2,3] D.[1,6]
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)
11.设a,b∈R,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a2+b2>2;
⑤ab>1,其中能推出:“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是________.
12.(2014·十堰模拟)若不等式-a0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是________.
16.(2014·黄冈模拟)已知a,b都是正实数,函数y=2aex+b的图象过(0,1)点,则+的最小值是________.
17.(能力挑战题)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:f′′(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f′′(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有′拐点′;任何一个三次函数都有对称中心,且‘拐点’就是对称中心”.请你将这一发现作为条件,则函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为__________.
三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(12分)已知a,b,c,d∈R,用分析法证明:ac+bd≤
并指明等号何时成立.
19.(13分)(2014·天津模拟)已知函数f(x)=x2+2x+a.
(1)当a=时,求不等式f(x)>1的解集.
(2)若对于任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
20.(13分)(2013·黄山模拟)若x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=x-y+的最值.
(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.
21.(13分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如表:
时间(将第x天记为x)x
1
10
11
18
单价(元/件)P
9
0
1
8
而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.
(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式y=f(x).
(2)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)
22.(14分)(能力挑战题)已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
(2)求证:对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.
答案解析
1.【解析】选D.由题意可知P={x|-1≤x≤4},Q={x|x<-3或x>5}.所以P+Q={x|x<-3或-1≤x≤4或x>5}.
2.【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.
3.【解析】选A.由已知可得2=a+2b≥2,
故≤1,即ab≤,等号成立的条件是a=2b=1.
4.【解析】选B.设等差数列a,b,c的公差为d(d≠0),则==|d|+
≥2=2,因此A成立;b2-ac=-ac=>0,因此C成立;由2b=a+c得|2b|=|a+c|≤|c|+|a|,即|b|-|a|≤|c|-|b|,因此D成立;对于B,当a=-1,b=-2,c=-3时,a3b+b3c+c3a=53,a4+b4+c4=98,此时B不成立.综上所述,选B.
5.【解析】选B.先根据约束条件画出可行域:
当直线2x-y=t过点A(0,-1)时,t取得最大值1,故答案为B.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤
(1)画出可行域.
(2)确定目标函数的斜率.
(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线.
(4)平移直线,确定满足最优解的点.
(5)求满足最优解的点的坐标,代入点的坐标可得解.
6.【思路点拨】p是q的充分不必要条件,即p⇒q而qp,按此判断即可.
【解析】选D.由<2x<16,得2-2<2x<24,即-24得a<-4,故选D.
7.【思路点拨】采用分离参数法,将参数m分离到不等式的一边,用函数的单调性求出不等式另一边的最值,得到m的取值范围.
【解析】选B.不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.
8.【思路点拨】利用对数运算转化得x,y关系而后利用“1”的代换求解.
【解析】选C.由lg2x+lg8y=lg2得lg2x+3y=lg2,
所以x+3y=1,+=(x+3y)
=2++≥4,故选C.
9.【思路点拨】先利用线性规划知识得a,b关系而后设m=+,代入消元转化求解.
【解析】选A.由题可画出满足x,y关系的平面区域如图.
因为a>0,b>0,
所以z=ax+by在点
M(4,6)处取最大值,
所以4a+6b=12,
即2a+3b=6. ①
设m=+, ②
由①②联立得b2-2b+2-2m=0.
因为b有解,
所以Δ=4-4(2-2m)≥0,
解得m≥,
故m的最小值为,所以选A.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
题目在求得2a+3b=6 ①,
设m=+ ②后,①②联立得.
m=+=1-b++
=b2-b+1
=(b-1)2+.
因为2a=6-3b>0,得b<2.又b>0,
所以08,依题意,
得(x-8)-≤28%·x.
由于x>0,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0.
即(3x-10)(3x-40)≤0.解得≤x≤,故80,b>0,
所以+=(2a+b)=4++≥4+4=8,
当且仅当=,即b=2a时等号成立.
答案:8
16.【解析】依题意,1=2ae0+b,则2a+b=1,
所以(2a+b)·=3++≥3+2,当且仅当即时取等号.故+的最小值是3+2.
答案:3+2
17.【思路点拨】利用定义可求解.
【解析】f′(x)=3x2-6x+3,f′′(x)=6x-6,
令6x-6=0得x=1.
因为f(1)=1,
所以f(x)的对称中心为(1,1).
答案:(1,1)
18.【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.
(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.
即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.
因为a,b,c,d∈R,
所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.
所以由(1)(2)知原不等式成立.
【误区警示】本题极易忽略对ac+bd的符号的讨论而直接平方证明,从而造成失分.
19.【解析】(1)当a=时,f(x)>1即为x2+2x+>1,
所以2x2+4x-1>0,
解得x>-1+或x<-1-,
故不等式解集为.
(2)由f(x)>0可得x2+2x+a>0,
所以a>-x2-2x.令g(x)=-x2-2x,
当x∈[1,+∞)时,g(x)有最大值g(1)=-3,
因此要使不等式f(x)>0恒成立,
a的取值范围是a>-3.
【方法技巧】分离法解决不等式恒成立问题
把要求范围的参数分离到不等式的一边,然后求出不等式另一边的最值(或取值范围),即可得到参数的取值范围.
20.【解析】(1)作出可行域如图,
可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移初始直线x-y=0,
过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1,最小值为-2.
(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,
解得-40),
由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,
所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].
(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,
当n>1时,因为>1,所以f>f(1),
即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N*,且n>1恒成立,
lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.
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