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- 2021-05-13 发布
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的 单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向
λ(μ a)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μ a;
λ(a+b)=λa+λb
相反;当λ=0时,λa=0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
[小题体验]
1.判断下列四个命题:
①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:A
2.(教材习题改编)化简:
(1)(+)++=________.
(2) ++-=________.
答案:(1) (2)0
3.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
答案:-
1.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.
[小题纠偏]
1.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c的关系是________.(填序号)
①共线;②不共线;③以上二者皆可能.
答案:③
2.若菱形ABCD的边长为2,则|-+ |=________.
解析:|-+ |=|++|=||=2.
答案:2
[题组练透]
1.(易错题)给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①②
C.③④ D.④⑤
解析:选A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,∴||=||且∥,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则∥且||=||,因此,=.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是②③.
2.设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0
的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
[谨记通法]
向量有关概念的5个关键点
(1)向量:方向、长度.
(2)非零共线向量:方向相同或相反.
(3)单位向量:长度是一个单位长度.
(4)零向量:方向没有限制,长度是0.
(5)相等相量:方向相同且长度相等.如“题组练透”第1题易混淆有关概念.
[题组练透]
1.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
解析:选A =+=+=+(-)=-=-+,故选A.
2.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).
解析:如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:b-a -a-b
3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
解析:=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-
,λ2=,即λ1+λ2=.
答案:
[谨记通法]
用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤
(1)观察各向量的位置;
(2)寻找相应的三角形或多边形;
(3)运用法则找关系;
(4)化简结果.
[典例引领]
设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.
解:(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴,共线,
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb同向,
∴存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
解得或
又∵λ>0,∴k=1.
[由题悟法]
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线.
(2)证明三点共线:若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
[提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
[即时应用]
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量,,,,;
(2)求证:B,E,F三点共线.
解:(1)延长AD到G,
使=,
连接BG,CG,得到▱ABGC,
所以=a+b,
==(a+b),
==(a+b),
==b,
=-=(a+b)-a=(b-2a),
=-=b-a=(b-2a).
(2)证明:由(1)可知=,
又因为,有公共点B,
所以B,E,F三点共线.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2015·嘉兴测试)在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则=( )
A.a-b B.a+b
C.a-b D.a+b
解析:选A =+=-+=-b+a,故选A.
2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( )
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.以上都不对
解析:选C 由已知,得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故∥.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形.
3.已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量等于( )
A. - B.-+
C.2- D.-+2
解析:选C 因为=-,=-,所以2+=2(-)+(-)=-2+=0,所以=2-.
4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=________.
解析:因为ABCD为平行四边形,
所以+==2,
已知+=λ,故λ=2.
答案:2
5.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, 2=16,|+ |=|-|,则| |=________.
解析:由|+|=|-|可知,⊥,
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
因此,||=| |=2.
答案:2
二保高考,全练题型做到高考达标
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a
解析:选B 对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
2.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a+b与c共线,且b+c与a共线,则向量a+b+c=( )
A.a B.b
C.c D.0
解析:选D 依题意,设a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na.又a与c不共线,于是有m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0.
3.设M是△ABC所在平面上的一点,且++=0,D是AC的中点,则的值为( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选A ∵D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,∴四边形MAEC为平行四边形,∴==(+).∵++=0,∴=-(+)=-3,∴==,故选A.
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与 ( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
解析:选A 由题意得=+=+,
=+=+,
=+=+,
因此++=+(+-)
=+=-,
故++与反向平行.
5.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:选B ∵D为AB的中点,
则=(+),
又++2=0,
∴=-,∴O为CD的中点,
又∵D为AB中点,
∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,
则=4.
6.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).
解析:由=3,得4=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.
答案:-a+b
7.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|- |=|+-2 |,则△ABC的形状为________.
解析:+-2=-+-=+,-==-,
∴|+|=|-|.
故⊥,△ABC为直角三角形.
答案:直角三角形
8.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++
=0.
其中正确命题的个数为________.
解析:=a,=b,=+=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
∴++=-b-a+a+b+b-a=0.
∴正确命题为②③④.
答案:3
9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.
解:=(+)=a+b.
=+=+=+(+)
=+(-)
=+
=a+b.
10.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=
2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
解:(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
∵=2e1-8e2,
∴=2.
又∵与有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知=e1-4e2,
∵=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
∴=λ (λ∈R),
即3e1-ke2=λe1-4λe2,
得
解得k=12.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.
解析:由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.
∵点E在线段CD上,
∴=λ (0≤λ≤1).
∵=+,
又=+μ=+2μ=+,
∴=1,即μ=.∵0≤λ≤1,
∴0≤μ≤.
即μ的取值范围是.
答案:
2.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n (m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.
证明:(1)若m+n=1,
则=m+(1-m)
=+m(-),
∴-=m(-),
即=m,∴与共线.
又∵与有公共点B,
∴A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,
存在实数λ,使=λ,
∴-=λ(-).
又=m+n.
故有m+(n-1) =λ-λ,
即(m-λ) +(n+λ-1) =0.
∵O,A,B不共线,∴,不共线,
∴∴m+n=1.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法:
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),
||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
[小题体验]
1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于( )
A.- B.
C.-或 D.0
解析:选C 由a∥b,得1×2-m2=0,所以m2=2,即m=±.
2.(教材习题改编)已知a=(2,1),b=(-3,4),则3a+4b=________.
答案:(-6,19)
3.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.
解析:由题意,设e1+e2=m a+n b.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.
由平面向量基本定理,得
所以
答案: -
1.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;
2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息;
3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成=,因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.
[小题纠偏]
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
解析:选A 法一:设C(x,y),
则=(x,y-1)=(-4,-3),
所以
从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.
法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1),
=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
2.(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
∴∴∴m-n=2-5=-3.
答案:-3
[题组练透]
1.如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1
解析:选D 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;
选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;
选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;
选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.
2.(易错题)如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.
解:∵=-=a-b,
==a-b,
∴=+=a+b.
∵=a+b,
∴=+=+
==a+b,
∴=-=a+b-a-b=a-b.
综上,=a+b,=a+b,=a-b.
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.
(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理,如“题组练透”第2题.
[题组练透]
1.(2015·抚顺二模)若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b
表示为( )
A.a+b B.-a-b
C.a+b D.a-b
解析:选A 设c=xa+yb,则=(2x-y,x+2y),所以解得则c=a+b.
2.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )
A.(2,0) B.(-3,6)
C.(6,2) D.(-2,0)
解析:选A =-3a=-3(1,-2)=(-3,6),
设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),
所以即
3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴解得
(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
∴M(0,20).
又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
∴N(9,2),∴=(9,-18).
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧
(1)
向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
[典例引领]
已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解:(1)∵a=(1,0),b=(2,1),
∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-(-1)×5=0,
∴k=-.
(2) =2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三点共线,
∴∥,
∴8m-3(2m+1)=0,
∴m=.
[由题悟法]
向量共线充要条件的2种形式
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0);
(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便.
[即时应用]
1.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是( )
A.- B.
C. D.
解析:选A =-=(4-k,-7),
=-=(-2k,-2).
∵A,B,C三点共线,
∴,共线,
∴-2×(4-k)=-7×(-2k),
解得k=-.
2.(2015·潍坊期中考试)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为________.
解析:ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),
由于ma+4b与a-2b共线,
∴-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
答案:-2
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则=( )
A.b-a B.b+a
C.a+b D.a-b
解析:选A =++=-a+b+a=b-a.
2.(2015·青岛二模)若AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )
A.(-1,-1) B.(3,7)
C.(1,1) D.(2,4)
解析:选A 由题意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).
3.(2015·广东六校联考)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=( )
A.(-23,-12) B.(23,12)
C.(7,0) D.(-7,0)
解析:选A 由题意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).
4.(2015·洛阳一模)已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c与向量ka+b共线,则实数k=________.
解析:ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1),因为向量c与向量ka+b共线,所以2(k-2)-3(3k+1)=0,解得k=-1.
答案:-1
5.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________.
解析:=(a-1,3),=(-3,4),
据题意知∥,∴4(a-1)=3×(-3),即4a=-5,
∴a=-.
答案:-
二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则=( )
A. B.
C. D.
解析:选B 因为在▱ABCD中,有=+,=,所以=(+)=×(-1,12)=,故选B.
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
解析:选D 由题意可得c与d共线,则存在实数λ,使得c=λd,即解得k=-1.c=-a+b=-(a-b)=-d,故c与d反向.
3.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则( )
A.x=,y=
B.x=,y=
C.x=,y=
D.x=,y=
解析:选A 由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析:选D 设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).
5.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:选D =+=(-2,3)+(3,7)=(1,10).
∴==.
∴=.
6.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若 =(4,3),=(1,5),则=________.
解析:=-=(-3,2),
∴=2=(-6,4).
=+=(-2,7),
∴=3=(-6,21).
答案:(-6,21)
7.(2015·北京东城模拟)如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m
,=n,则m+n的值为________.
解析:连接AO,则=(+)=+.
又∵M,O,N三点共线,
∴+=1,即m+n=2.
答案:2
8.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于________.
解析:P中,a=(-1+m,1+2m),
Q中,b=(1+2n,-2+3n).
则得
此时a=b=(-13,-23).
答案:
9.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.
解:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
所以解得
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.
10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,试用a,b为基底表示向量,,.
解:=++=-b-a+b=b-a,
=+=-b+=b-a,
=+=-b-=a-b.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=
________.
解析:以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),
则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),
∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).
∵c=λa+μb,
∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,
解得λ=-2,μ=-,∴=4.
答案:4
2.如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.
(1)设=λ,将用λ,,表示;
(2)设=x,=y,证明:+是定值.
解:(1) =+=+λ
=+λ(-)
=(1-λ) +λ.
(2)证明:一方面,由(1),得
=(1-λ) +λ
=(1-λ)x+λy;①
另一方面,∵G是△OAB的重心,
∴==×(+)
=+.②
而,不共线,
∴由①②,得
解得
∴+=3(定值).
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
1.平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos θ,规定0·a=0.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cos θ=
cos θ=
a⊥b的充要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
[小题体验]
1.(2015·全国卷Ⅱ)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:选C 法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴a2=2,a·b=-3,
从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2),
∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故选C.
2.(教材习题改编)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则向量a=2e1+e2与b=2e2-3e1的夹角为______.
答案:150°
3.已知向量a,b都是单位向量,且a·b=,则|2a-b|的值为________.
解析:|2a-b|====.
答案:
1.(1)0与实数0的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
3.在运用向量夹角时,注意其取值范围[0,π].
4.在用|a|=求向量的模时,一定要把求出的a2再进行开方.
[小题纠偏]
1.给出下列说法:
①向量b在向量a方向上的投影是向量;
②若a·b>0,则a和b的夹角为锐角,若a·b<0,则a和b的夹角为钝角;
③(a·b)c=a(b·c);
④若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确的说法有________个.
答案:0
2.(2016·南宁第二次适应性测试)已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)·(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为________.
解析:设a与b的夹角为θ.依题意得a2-2b2+a·b=-2,4-8+4cos θ=-2,cos θ=.又θ∈[0,π],因此θ=,即向量a与b的夹角为.
答案:
[题组练透]
1.(易错题)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:选D a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,
所以a·b=-1×+2×1=.
2.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )
A.- B.-3
C. D.3
解析:选C 因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为
||cos〈,〉===.
3.(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=________.
解析:因为a=(-2,-6),
所以|a|==2,
又|b|=,向量a与b的夹角为60°,
所以a·b=|a|·|b|·cos 60°=2××=10.
答案:10
4.(2015·天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.
解析:取,为一组基底,
则=-=-,
=++=-++=-+,
∴·=·
=||2-·+||2
=×4-×2×1×+
=.
答案:
[谨记通法]
向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题,如“题组练透”第1题易错
[命题分析]
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.
常见的命题角度有:
(1)平面向量的模;
(2)平面向量的夹角;
(3)平面向量的垂直.
[题点全练]
角度一:平面向量的模
1.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=________.
解析:∵e1·e2=,
∴|e1||e2|cose1,e2=,∴e1,e2=60°.
又∵b·e1=b·e2=1>0,∴b,e1=b,e2=30°.
由b·e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,∴|b|==.
答案:
2.(2014·北京高考)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.
解析:∵|a|=1,∴可令a=(cos θ,sin θ),
∵ λa+b=0.
∴即
由sin2θ+cos2θ=1得λ2=5,得|λ|=.
答案:
角度二:平面向量的夹角
3.(2015·重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析:选C ∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,
∴2|a|2+a·b=0,
即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.
∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-,∴〈a,b〉=.
4.(2016·江西八校联考)在△ABC中,=(,),=(1,),则△ABC的面积为________.
解析:由题意得,(||· ||)2=(||·||·cos〈,〉)2+(||·||·sin〈,〉)2,即(||·||)2=(·)2+(||·||·sin〈,〉)2,
∴||·||·sin〈,〉=2-,
∴S△ABC=||·||·sin〈,〉=1-.
答案:1-
角度三:平面向量的垂直
5.(2014·重庆高考)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
A.- B.0
C.3 D.
解析:选C 因为2a-3b=(2k-3,-6),(2a-3b)⊥c,
所以(2a-3b)·c=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
6.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
解析:=-,由于⊥,所以·=0,即(λ+)·(-)=-λ++(λ-1) ·=-9λ+4+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=.
答案:
[方法归纳]
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角:cos θ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
[典例引领]
(2015·山东烟台一模)已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,-sin 2x),b=(cos x,1),
x∈R.
(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,求边长b和c的值.
解:(1)f(x)=a·b=2cos2x-sin 2x=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos,
令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(2)∵f(A)=1+2cos=-1,
∴cos=-1.
又<2A+<,∴2A+=π,即A=.
∵a=,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7.①
∵向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,
所以2sin B=3sin C.由正弦定理得2b=3c,②
由①②,可得b=3,c=2.
[由题悟法]
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
[即时应用]
(2016·江西新余三校联考)已知a=(cos x,2cos x),b=(2cos x,sin x),f(x)=a·b.
(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间;
(2)当a≠0,a与b共线时,求f(x)的值.
解:(1)∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin xcos x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1.
∴g(x)=sin+1=sin+1.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得,
-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵a≠0,a与b共线,∴cos x≠0,
∴sin xcos x-4cos2x=0,∴tan x=4.
∴f(x)=2 cos2x+2sin xcos x===.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2016·北师大附中模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x=- B.x=-1
C.x=5 D.x=0
解析:选D 由向量垂直的充要条件,得2(x-1)+2=0.
所以x=0.
2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(b+λa)⊥c,则λ的值为( )
A.- B.-
C. D.
解析:选A b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ),c=(3,4),又(b+λa)⊥c,∴(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,解得λ=-.
3.在边长为1的等边△ABC中,设→=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=( )
A.- B.0
C. D.3
解析:选A 依题意有a·b+b·c+c·a=++=-.
4.(2015·太原模拟)已知向量a,b满足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为________.
解析:∵(2a-b)·(a+b)=6,∴2a2+a·b-b2=6,又|a|=2,|b|=1,∴a·b=-1,∴cos〈a,b〉==-,∴a与b的夹角为.
答案:
5.已知a=(m+1,-3),b=(1,m-1),且(a+b)⊥(a-b),则m的值是________.
解析:a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-2-m),
∵(a+b)⊥(a-b),∴m(m+2)-(m-4)(m+2)=0,
∴m=-2.
答案:-2
二保高考,全练题型做到高考达标
1.(2015·济南二模)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=( )
A.-3 B.-2
C.1 D.-1
解析:选A 因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-3.
2.(2016·洛阳质检)已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析:选B a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=.
3.(2015·济宁二模)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是( )
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.梯形
解析:选C 因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.
4.(2016·开封质检)如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=AB,则·等于( )
A.- B.
C.-1 D.1
解析:选D 因为=+=+,
=+,
所以·=·(+)=||2+||2+·=1+-·=-||·||·cos 60°=-×1×2×=1.
5.(2015·山西考前检测)若△ABC外接圆的圆心为O,半径为4,+2+2=0,则在方向上的投影为( )
A.4 B.
C. D.1
解析:选C 如图所示,取BC的中点D,连接AD,OD,
则由平面向量的加法的几何意义得+=2.
又由条件得+=-=,
所以2=,即4=,所以A,O,D共线.
所以OA⊥BC,所以CD为在方向上的投影.
因为||=| |=4,
所以| |=3,所以| |= =.
6.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=________.
解析:由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,
∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),
∴|c|==8.
答案:8
7.(2015·湖南师大附中月考)如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)=________.
解析:由已知得| |=,| |=,
则·(-)=(+)·=·+·=cos+×=-.
答案:-
8.(2015·湖北咸宁联考)在△ABC中,∠ACB为钝角,AC=BC=1,=x+y,且x+y=1.若函数f(m)=|-m|(m∈R)的最小值为,则||的最小值为________.
解析:由=x+y, 且x+y=1,可知A,O,B三点共线,所以||的最小值为AB边上的高,又AC=BC=1,即O为AB的中点,且函数f(m)=|-m|的最小值为,即点A到BC边的距离为.又AC=1,所以∠ACB=120°,从而可得||的最小值为.
答案:
9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;
(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).
解:由已知得,a·b=4×8×=-16.
(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4.
②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,
∴|4a-2b|=16.
(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0,
∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,
即16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7.
即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.
10.已知平面上三点A,B,C,=(2-k,3),=(2,4).
(1)若三点A,B,C不能构成三角形,求实数k应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,求k的值.
解:(1)由三点A,B,C不能构成三角形,得A,B,C在同一直线上,即向量与平行,
∴4(2-k)-2×3=0,解得k=.
(2)∵=(2-k,3),∴=(k-2,-3),
∴=+=(k,1).若△ABC为直角三角形,
则当A是直角时,⊥,即·=0,
∴2k+4=0,解得k=-2;
当B是直角时,⊥,即·=0,
∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
当C是直角时,⊥,即·=0,
∴16-2k=0,
解得k=8.
综上得k的值为-2,-1,3,8.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.(2016·石家庄调研)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为( )
A.-1 B.1
C.+1 D.
解析:选A ∵a·b=0,且|a|=|b|=|c|,
所以|a+b|=,
又∵(a+b)·c=|a+b||c|cos〈a+b,c〉=cos〈a+b,c〉,
∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a+b)·c=3-2cos〈(a+b),c〉,
所以当cos〈(a+b),c〉=1时,
|a+b-c|=3-2=(-1)2,
所以|a+b-c|的最小值为-1.
2.(2015·河南三市调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a
-c) ·=c·.
(1)求角B的大小;
(2)若|-|=,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由题意得(a-c)cos B=bcos C.
根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
所以sin Acos B=sin(C+B),
即sin Acos B=sin A,因为A∈(0,π),所以sin A>0,
所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)因为|-|=,所以| |=,
即b=,根据余弦定理及基本不等式得6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac(当且仅当a=c时取等号),
即ac≤3(2+),
故△ABC的面积S=acsin B≤,
即△ABC的面积的最大值为.
第四节 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念
(1)复数的概念:
形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:
向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
④除法:===
+i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
[小题体验]
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
A.-2-i B.-2+i
C.2-i D.2+i
答案:C
2.(教材习题改编)如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,则x=________,y=________.
答案:4 -2
3.(教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为________.
答案:3+5i
1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
2.两个虚数不能比较大小.
3.利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.
4.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,z+z=0,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复数范围内有可能成立.
[小题纠偏]
1.(2016·郑州质量预测)设i是虚数单位,若复数m+(m∈R)是纯虚数,则m的值为( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:选A 依题意得m+=(m+3)-i是纯虚数,于是有m+3=0,m=-3.
2.(2015·洛阳统考)设i是虚数单位,若复数(2+ai)i的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.
解析:因为(2+ai)i=-a+2i,又其实部与虚部互为相反数,所以-a+2=0,即a=2.
答案:2
[题组练透]
1.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数,且=3+i,则a=( )
A.-4 B.-3
C.3 D.4
解析:选D ∵=3+i,∴2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,∴a=4,故选D.
2.(2016·九江模拟)设复数z=,则z的共轭复数为( )
A.-I B.+i
C.1-3i D.1+3i
解析:选B ∵z===-i,
∴=+i.
3.(易错题)(2015·洛阳统考)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为,则|(1-z)·|=( )
A. B.2
C. D.1
解析:选A 依题意得(1-z)·=(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z)·|=|-3+i|==.
4.(2015·天津高考)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.
解析:由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数可得a+2=0,1-2a≠0,解得a=
-2.
答案:-2
[谨记通法]
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解,如“题组练透”第3题.
[题组练透]
1.(2016·长春质检)复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选A =-i,所以其共轭复数为+i.
所以对应的点位于第一象限.
2.(2015·郑州质量预测)在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为( )
A.1+2i B.1-2i
C.-2+i D.2+i
解析:选C 依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ,(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.
解析:由条件得=(3,-4),=(-1,2),
=(1,-1),
根据=λ+μ得
(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
∴解得
∴λ+μ=1.
答案:1
[谨记通法]
对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔ .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
[题组练透]
1.(2015·湖南高考)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
解析:选D 由=1+i,得z====-1-i.
2.(2016·吉林实验中学)设复数z=1+i(i是虚数单位),则+z2=( )
A.1+i B.1-i
C.-1-i D.-1+i
解析:选A ∵+z2=+(1+i)2=1-i+2i=1+i,故选A.
3.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·=________.
解析:∵z======
-+i,
故=--i,
∴z·==+=.
答案:
4.已知i是虚数单位,2 016+6=________.
解析:原式=1 008+6=1 008+i6=i1 008+i6=i4×252+i4+2=1+i2
=0.
答案:0
[谨记通法]
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
[提醒] 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度.
(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i;
(2)-b+ai=i(a+bi);
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.(2015·安徽高考)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B ===-1+i,由复数的几何意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限,故选B.
2.(2016·西安质检)已知复数z1=2+i,z2=1-2i.若z=,则=( )
A.+I B.-i
C.i D.-i
解析:选D z=====i,=-i.
3.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则的虚部为( )
A.- B.-i
C. D.i
解析:选A 由题意得所以a=1,
所以===-i,根据虚部的概念,可得的虚部为-.
4.复数|1+i|+2=________.
解析:原式=+=+=+i-=i.
答案:i
5.(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.
解析:∵|a+bi|==,
∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.
答案:3
二保高考,全练题型做到高考达标
1.复数z=(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B z====--i,则=-+i在复平面内对应的点在第二象限.
2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=( )
A.2 B.3
C.2 D.3
解析:选A 由题图可知,z1=-2-i,z2=i,则z1+z2=-2,∴|z1+z2|=2.
3.(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2 015=( )
A.1+I B.1-i
C.i D.0
解析:选D z=1+=1+=i,∴1+z+z2+…+z2 015=
===0.
4.(2016·芜湖一模)已知i是虚数单位,若z1=a+i,z2=a-i,若为纯虚数,则实数a=( )
A. B.-
C.或- D.0
解析:选C ===
是纯虚数,
∴解得a=±.
5.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则=
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·
D.若|z1|=|z2|,则z=z
解析:选D 对于A,|z1-z2|=0⇒z1=z2⇒=,是真命题;对于B,C易判断是真命题;对于D,若z1=2,z2=1+i,则|z1|=|z2|,但z=4,z=-2+2i,是假命题.
6.(2016·浙江摸底)已知i是虚数单位,若=b+i(a,b∈R),则ab的值为________.
解析:由=b+i,得==3-ai=b+i,所以b=3,a=-1,则ab=-3.
答案:-3
7.(2015·唐山统考)若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=________.
解析:∵z=i(2+z),∴(1-i)z=2i,
∴z===i(1+i)=-1+i.
答案:-1+i
8.已知a∈R,若为实数,则a=________.
解析:===+i,
∵为实数,∴=0,∴a=-.
答案:-
9.已知复数z=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为________.
解析:∵|z-2|==,
∴(x-2)2+y2=3.
由图可知max==.
答案:
10.计算:(1);
(2);
(3)+;
(4).
解:(1)==-1-3i.
(2)====+i.
(3)+=+=+=-1.
(4)=
==
=--i.
三上台阶,自主选做志在冲刺名校
1.(2016·刑台摸底考试)已知复数z1=-+i,z2=--i,则下列命题中错误的是( )
A.z=z2 B.|z1|=|z2|
C.z-z=1 D.z1,z2互为共轭复数
解析:选C 依题意,注意到z=2=-i=--i=z2,因此选项A正确;注意到|z1|=1=|z2|,因此选项B正确;注意到=--i=z2,因此选项D正确;注意到z=z·z1=2·==1,同理z=1,因此z-z=0,选项C错误.综上所述,选C.
2.已知复数z1=cos 15°+sin 15°i和复数z2=cos 45°+sin 45°i,则z1·z2=________.
解析:z1·z2=(cos 15°+sin 15°i)(cos 45°+sin 45°i)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+sin 60°i=+i.
答案:+i
3.复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若+z2是实数,求实数a的值.
解:+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i
=+[(a2-10)+(2a-5)]i
=+(a2+2a-15)i.
∵+z2是实数,
∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.
∵a+5≠0,∴a≠-5,故a=3.
1.(2014·福建高考)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析:选B 由题意知,A选项中e1=0,C、D选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故选B,事实上,a=(3,2)=2e1+e2.
2.(2014·全国卷Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B.
C. D.
解析:选A +=(+)+(+)=
(+)=,故选A.
3.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
解析:∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b),
即λa+b=ta+2tb,∴解得
答案:
4.(2015·北京高考)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=__________;y=__________.
解析:∵=2,∴=.
∵=,∴=(+),
∴=-=(+)-
=-.
又=x+y,
∴x=,y=-.
答案: -
1.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:选A 由四边形ABCD是平行四边形,知=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=5.
2.(2015·福建高考)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
A.- B.-
C. D.
解析:选A c=a+kb=(1+k,2+k), 又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-.
3.(2015·陕西高考)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
解析:选B 根据a·b=|a||b|cos θ,又cos θ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,D恒成立.
4.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1 B.a⊥b
C.a·b=1 D.(4a+b)⊥
解析:选D 在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D.
5.(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.π
解析:选A 由(a-b)⊥(3a+2b),
得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.
又∵|a|=|b|,设〈a,b〉=θ,
即3|a|2-|a|·|b|·cos θ-2|b|2=0,
∴|b|2-|b|2·cos θ-2|b|2=0.
∴cos θ=.又∵0≤θ≤π,∴θ=.
6.(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,| |=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )
A.20 B.15
C.9 D.6
解析:选C 如图所示,由题设知:
=+=+,
=-=-,
∴·=·
=||2-||2+·-·
=×36-×16=9.
7.(2015·福建高考)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )
A.13 B.15
C.19 D.21
解析:选A ∵⊥,故可以A为原点,AB,AC
所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.
不妨设B,C(t,0),
则=+=(4,1),
故点P的坐标为(4,1).
·=·(t-4,-1)=-4t-+17
=-+17≤-2+17=13.
当且仅当4t=,即t=时(负值舍去)取得最大值13.
8.(2014·四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.
解析:由已知可以得到c=(m+4,2m+2),
且cos〈c,a〉=cos〈c,b〉,所以=,
又|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,
即2=4(m+4)+2(2m+2),
解得m=2.
答案:2
9.(2014·湖北高考)若向量=(1,-3),|| =||, ·=0,则 | | =________.
解析:法一:设=(x,y),由||=||知,=,又 ·=x-3y=0,所以x=3,y=1或x=-3,y=-1.当x=3,y=1时,|| =2;当x=-3,y=-1时,|| =2.则|| =2.
法二:由几何意义知,||就是以,为邻边的正方形的对角线长,所以||=2.
答案:2
10.(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解:(1)若m⊥n,则m·n=0.
由向量数量积的坐标公式得sin x-cos x=0,
∴tan x=1.
(2)∵m与n的夹角为,
∴m·n=|m|·|n|cos,
即sin x-cos x=,
∴sin=.
又∵x∈,∴x-∈,
∴x-=,即x=.
1.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A 当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1,因此选A.
2.(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足=i,则|z|=( )
A.1 B.
C. D.2
解析:选A 由=i,得z====i,所以|z|=|i|=1,故选A.
3.(2014·天津高考)i是虚数单位,复数=( )
A.1-i B.-1+i
C.+i D.-+i
解析:选A ===1-i.选A.
4.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:选B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i,
∴4a+(a2-4)i=-4i.
∴解得a=0.故选B.
5.(2014·江苏高考)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
解析:复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21.
答案:21
6.(2014·上海高考)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则·=________.
解析:∵z=1+2i,∴=1-2i.
∴·=z·+1=5+1=6.
答案:6
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