江苏高考数学试题域版 13页

绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 数 学 Ⅰ 参考公式 圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高．‎ 圆锥的体积公式：V圆柱＝Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ S←1‎ I←1‎ While I＜8‎ ‎ S←S＋2‎ ‎ I←I＋3‎ End While Print S ‎（第4题图）‎ ‎1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ▲ ．‎ ‎2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ▲ ．‎ ‎3．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为 ▲ ．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．‎ ‎5．袋中有形状､大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只 黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率 为 ▲ ．‎ ‎6．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值 为 ▲ ．‎ ‎7．不等式2 ＜4的解集为 ▲ ．‎ ‎8．已知tana＝－2，tan(a＋b)＝，则tanb的值为 ▲ ．‎ ‎9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2､高为8的圆柱各一个．若将 它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新 的底面半径为 ▲ ．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．‎ ‎11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}的前10项和为 ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线 x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ▲ ．‎ ‎13．已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根 的个数为 ▲ ．‎ ‎14．设向量ak＝(cos，sin＋cos)(k＝0，1，2，… ，12)，则(ak·ak＋1)的值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、‎ 证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°． ‎ ‎（1）求BC的长； `‎ ‎（2）求sin‎2C的值．‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ ‎（第16题图）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1．设AB1的中点为D，B‎1C∩BC1＝E．‎ 求证：（1）DE//平面AA‎1C1C；‎ ‎ （2）BC1⊥AB1．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连 接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，‎ 计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5‎ 千米和‎40千米，点N到l1，l2，的距离分别为‎20千米和‎2.5千米，以l1，l2，所在的直线分别为 M N l2‎ l1‎ x y O C P l ‎（第17题图）‎ x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．‎ ‎ ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；‎ ‎ ②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度．‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ B A O x y l P C F ‎（第18题图）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦 点F到左准线l的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平 分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，‎ 求直线AB的方程．‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ ‎ 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．‎ ‎（1）试讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）若b＝c－1(实数c是与a无关常数)，当函数f(x)有三个不同零点时，a的取值 范围恰好是(－∞，－3)∪(1，)∪(，＋∞)，求c的值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ ‎ 设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．‎ ‎（1）证明:‎2，‎2，‎2，‎2依次成等比数列；‎ ‎（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n＋k，a3n＋2k，a4n＋3k依次成等比数列?并说 明理由．‎ 绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30‎ 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题必须用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 数 学 Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A､B､C､D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)‎ A B C E D O ‎（第21—A图）‎ ‎ 如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D．‎ 求证：△ABD∽△AEB．‎ B．[选修4－2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知x，y∈R，向量a＝是矩阵A＝的属性特征值－2的一个特征向量，矩 阵A以及它的另一个特征值．‎ C．[选修4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)‎ ‎ 已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．‎ D．[选修4－5:不等式选讲] (本小题满分10分)‎ ‎ 解不等式x＋|2x＋3|≥2．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，‎ ‎∠ABC＝∠BAD＝．PA＝AD＝2，AB＝BC＝1．‎ ‎ （1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；‎ P A B C D Q ‎(第22题）‎ ‎ （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长．‎ ‎23．已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，···，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b，或b整 除a，a∈X，b∈Yn}．令f(n)表示集合Sn所含元素个数．‎ ‎（1）写出f(6)的值；‎ ‎（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．‎