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- 2021-05-13 发布
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2014高考数学上海【文】
一、填空题.
1. 函数的最小正周期是_____________.
2. 若复数,其中是虚数单位,则.
3. 设常数,函数. 若,则 .
4. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则抛物线的准线方程为____.
5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙
齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生,则高一、高二共
需抽取的学生数为 .
6. 若实数满足,则的最小值为___________.
7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为_____________(结果用
反三角函数值表示).
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两
个小长方体的体积之和等于 .
9.设 若是的最小值,则a的取值范围
为 .
10.设无穷等比数列的公比为,若,
则.
11. 若,则满足的的取值范围是___________.
12. 方程在区间上的所有解的和等于 .
13. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则
选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________(结果用最简分数表示).
14.已知曲线,直线. 若对于点,存在上的点和上的
点使得,则的取值范围为________________.
二、选择题.
15. 设,则“”是“且”的( ).
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
16. 已知互异的复数满足,集合,则( ).
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
17.如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,是大正方形的一条边,
是小正方形的其余顶点,则的不同值的
个数为( ).
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
18.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于
和的方程组 的解的情况是( ).
A. 无论、、如何,总是无解 B. 无论、、如何,总有唯一解
C. 存在、、,使之恰有两解 D. 存在、、,使之有无穷多解
三、解答题.
19. (本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.
20. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设常数,函数.
(1) 若,求函数的反函数;
(2) 根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
21. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米. 设点、在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.
(1) 设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2) 施工完成后,与铅垂方向有偏差,现在实测得,,求的长(结果精确到0.01米).
22.(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3
小题满分7分.
在平面直角坐标系中,对于直线:和点,记. 若,则称点被直线分隔,若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.
(1) 求证:点被直线分隔;
(2) 若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;
(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为1,设点的轨迹为,求的
方程,并证明轴为曲线的分隔线.
23. (本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分, 第3小题满分9分.
已知数列满足,,.
(1) 若,,,求的取值范围;
(2) 若是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应
的公比;
(3) 若成等差数列,求数列的公差的取值范围.
2014高考数学上海【文】参考答案
说明
1. 本解答列出试题的解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度觉得后面部分的给分,这时原则上不应超过后面 应给分数之半. 如果有较严重的概念性错误,就不给分.
一、(第1题至第14题)
1. 2. 6 3. 3 4. 5. 70
6. 7. 8. 24 9. 10.
11. 12. 13. 14. [2, 3]
二、(第15题至第18题)
题号
15
16
17
18
代号
B
D
C
B
三、(第19题至第23题)
19. [解]在△中,,,所以是中位线,
故. ……3分
同理,,. 所以△是等边三角形,各边长均为4. ……6分
设是△中心,则平面,
所以,. ……9分
从而,. ……12分
20. [解](1) 因为,所以, ……3分
得或,且.
因此,所求反函数为,或. ……6分
(2) 当时,,定义域为R,故函数是偶函数; ……8分
当时,,定义域为,
,故函数是奇函数; ……11分
当且时,定义域关于原点不对称,故函数既
不是奇函数,也不是偶函数. ……14分
21. [解](1) 记. 根据已知得,
,,所以, ……4分
解得. 因此,的长之多约为28.28米. ……6分
(2) 在△ 中,由已知,,,
由正弦定理得,解得. ……10分
在△ 中,由余弦定理得,
解得. 所以,CD的长约为26.93米. ……14分
22. [证](1) 因为,所以点被直线分隔. ……3分
[解](2) 直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有
解,即. 因为直线是曲线的分隔线,故它们没有公共点,即
.当时,对于直线,曲线上的点和满足
,即点和被分隔.
故实数的取值范围是. ……9分
[证](3) 设的坐标为,
则曲线的方程为,即. ……11分
对任意的,不是上述方程的解,即轴与曲线没有公共点. ……13分
又曲线上的点和对于轴满足,即点和被轴分隔.
所以轴为曲线的分隔线. ……16分
23. [解](1) 由条件得且,解得.
所以的取值范围是[3, 6]. ……3分
(2) 设的公比为. 由,且,得.
因为,所以.
从而,,解得. ……7分
时,.
所以,的最小值为8,时,的公比为. ……9分
(3) 设数列的公差为.
则,,.
① 当时,,所以,即. ……12分
② 当时,,符合条件. ……14分
③ 当时,,所以,
,又,所以.
综上,的公差的取值范围为. ……18分