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  • 2021-05-13 发布

备战2014北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 二次曲线含详解

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二次曲线 题型预测 高考试题中,解析几何试题的分值一般占20%左右,而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;以圆锥曲线为载体的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之热.解答题的题型设计主要有三类:‎ ‎ (1)求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹;‎ ‎ (2)圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定;‎ ‎ (3)涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题.‎ 近年来,高考中解析几何综合题的难度有所下降.随着高考的逐步完善,结合上述考题特点分析,预测今后高考的命题趋势是:将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查,加强对于分析和解决问题能力的考查.因此,教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用.‎ 范例选讲 例1. 中,已知,且内角满足.‎ ‎(1)建立适当的坐标系,求顶点A的轨迹方程;‎ ‎(2)若直线通过点B,且与顶点A的轨迹交于M、N两点,求的最小值.‎ 讲解 (1)如图:取CB所在直线为x轴,CB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.‎ Y ‎ A ‎ B x ‎ M ‎ ‎ N C O ‎∵ ‎ 由正弦定理可得:(定值)‎ 根据椭圆的定义可知:顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆,方程为:‎ ‎.‎ ‎(2)解法一.由于M,N的变化是由直线l的运动引起的,所以,可以设法将表达成关于直线的斜率k的函数.‎ 设过点B的直线的方程为:,点M、N的坐标分别为:.‎ 则由消去,得.‎ 显然,求出点M,N的坐标是不可取的.但很容易得到下面的式子:‎ ‎.‎ 能否用来表示?这就涉及到椭圆的第二定义.‎ 由(1)可知:椭圆的左准线为:.所以,根据定义有:‎ 所以,‎ ‎ 所以,当时,取得最小值,为6.‎ ‎ ‎ ‎ 解法二.从另一个角度来思考这个问题,由于直线的标准参数方程中,的几何意义就是从定点出发的有向线段的数量,所以,我们可以考虑将转化为,同时利用直线的参数方程来解决问题.‎ 设过点B的直线的方程为:(其中为参数,为直线的倾斜角),代入椭圆方程,得:‎ ‎.‎ ‎ 所以,.‎ ‎ 所以,.‎ 根据椭圆定义:,.所以,‎ ‎ ‎ 所以,当且仅当,即直线方程为时,取得最小值,为6.‎ 点评:恰当运用定义是进行问题转化的重要手段.‎ 例2.已知双曲线的左右两焦点分别为,点M是双曲线右支上不重合于顶点的一点,设,若.‎ ‎(1)求双曲线的离心率;‎ ‎(2)如果动点的坐标为,且有最小值15,求双曲线的方程.‎ 讲解:(1)如果对三角公式较为熟悉,不难发现,实际上 ‎.‎ 所以,要求双曲线的离心率,只需考虑如何用来表达即可.‎ 设双曲线的实轴长为,焦距为,点P为的内心,过P作PN垂直于点N,则 ‎,‎ 又 ‎ 所以,=‎ ‎ 所以,.‎ ‎ (2)‎ ‎ ∴的坐标适合方程,‎ ‎ 又∵ ‎ ‎(等号当且仅当时取得).‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ 双曲线的方程为:.‎ 点评:(1)中,直接利用正、余弦定理也可得出结论.‎