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- 2021-05-14 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修+选修II)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1.设集合U=,则
A. B. C. D.
2.函数的反函数为
A. B.
C. D.
3.权向量a,b满足,则
A. B. C. D.
4.若变量x、y满足约束条件,则的最小值为
A.17 B.14 C.5 D.3
5.下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是
A. B.
C. D.
6.设为等差数列的前n项和,若,公差为,则k=
A.8 B.7 C.6 D.5
7.设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于
A. B. C. D.
8.已知二面角,点C为垂足,点,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=
A.2 B. C. D.1
9.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A.12种 B.24种 C.30种 D.36种
10.设是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,=,则=
A.- B. C. D.
11.设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离=
A.4 B. C.8 D.
12.已知平面截一球面得圆M,过圆心M且与成,二面角的平面截该球面得圆N,若该球的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
3.第Ⅱ卷共l0小题,共90分。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)
13.(1-)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为: .
14.已知a∈(),=
15.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
。
16.已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = .
三、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效)
设等比数列的前n项和为,已知求和
18.(本小题满分2分)(注意:在试题卷上作答无效)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若
19.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率;
(II)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。
20.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形,
.
(I)证明:平面SAB;
(II)求AB与平面SBC所成的角的大小。
21.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知函数
(I)证明:曲线处的切线过点(2,2);
(II)若处取得极小值,,求a的取值范围。
22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交与A、B两点,点P满足
(Ⅰ)证明:点P在C上;
(II)设点P关于O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上。
参考答案
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给力,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4.只给整数分数,选择题不给中间分。
一、选择题
1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD
二、填空题
13.0 14. 15. 16.6
三、解答题
17.解:设的公比为q,由题设得
…………3分
解得 …………6分
当
当 …………10分
18.解:
(I)由正弦定理得 …………3分
由余弦定理得
故 …………6分
(II)
…………8分
故
…………12分
19.解:记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;
C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;
D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;
E表示事件:该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。
(I) …………3分
…………6分
(II) …………9分
…………12分
20.解法一:
(I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,
连结SE,则
又SD=1,故,
所以为直角。 …………3分
由,
得平面SDE,所以。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以平面SAB。 …………6分
(II)由平面SDE知,
平面平面SED。
作垂足为F,则SF平面ABCD,
作,垂足为G,则FG=DC=1。
连结SG,则,
又,
故平面SFG,平面SBC平面SFG。 …………9分
作,H为垂足,则平面SBC。
,即F到平面SBC的距离为
由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也有
设AB与平面SBC所成的角为α,
则 …………12分
解法二:
以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。
设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0)。
又设
(I),,
由得
故x=1。
由
又由
即 …………3分
于是,
故
所以平面SAB。
(II)设平面SBC的法向量,
则
又
故 …………9分
取p=2得。
故AB与平面SBC所成的角为
21.解:(I) …………2分
由得曲线处的切线方程为
由此知曲线处的切线过点(2,2) …………6分
(II)由
(i)当没有极小值;
(ii)当得
故由题设知
当时,不等式无解。
当时,解不等式
综合(i)(ii)得a的取值范围是 …………12分
22.解:(I)F(0,1),的方程为,
代入并化简得
…………2分
设
则
由题意得
所以点P的坐标为
经验证,点P的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。 …………6分
(II)由和题设知,
PQ的垂直一部分线的方程为
①
设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。 …………9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|,
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上 …………12分