一本通高考数学一轮复习 解三角形应用举例 理 5页

第三章 第七节 解三角形应用举例 一、选择题 ‎1．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形　　　　　 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：cos A＝sin(－A)>sin B，－A，B都是锐角，‎ 则－A>B，A＋B<，C>.‎ 答案：C ‎2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a km　　　　　 B.a km C.a km D．‎2a km 解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BCcos 120°＝‎2a2－‎2a2×(－)＝‎3a2，‎ ‎∴AB＝a.‎ 答案：B ‎3．张晓华同学骑电动自行车以‎24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)‎ A．‎2 km B．‎3 km C．‎3 km D．‎2 km 解析：如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，‎ 所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，‎ 所以BS＝sin 30°＝3.‎ 答案：B ‎4．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　)‎ A．35海里 B．35 海里 C．35 海里 D．70海里 解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，‎ EF＝ ‎＝＝70.‎ 答案：D ‎5.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m 解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°‎ 由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝50(m)．‎ 答案：A ‎6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时(　　)‎ A．5海里 B．5 海里 C．10海里 D．10 海里 解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时)．‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．在直径为‎30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.‎ 解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．‎ 答案：5 ‎8．在△ABC中，BC＝1，∠B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.‎ 解析：S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.‎ 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B＝13，‎ ‎∴cos C＝＝－，sin C＝，‎ ‎∴tan C＝－＝－2.‎ 答案：－2 ‎9．据新华社报道，2011年8月，飓风“艾琳”在美国东海岸登陆．飓风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距‎20米，则折断点与树干底部的距离是________米．‎ 解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则 ‎∠ABO＝45°，‎ ‎∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.‎ 由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．‎ 答案： 三、解答题 ‎10．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为‎10‎米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？‎ 解：在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，‎ 由正弦定理，得BC＝＝20；‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCsin 60°＝20×＝30(米)．‎ 所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．‎ ‎11.为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B 分别是水枪位置，已知AB＝‎15‎米，在A处看到着火点的仰角为60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？‎ 解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，‎ 由正弦定理得：＝，‎ 解得AC＝‎15米．‎ 又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15，‎ sin 105°＝sin(45°＋60°)＝.‎ 由正弦定理得：＝，‎ 解得BC＝米．‎ 由勾股定理可得BD＝ ‎＝‎15米，‎ 综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为‎30米，‎15米．‎ ‎12．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 解：1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．‎ 在△AOB中，A＝90°－30°＝60°‎ ‎∴S＝ ‎＝＝ .‎ 故当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30.‎ 即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)由题意可知OB＝vt 在△AOB中利用余弦定理得：‎ v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos 60°‎ 故v2＝900－＋ ‎∵0＜v≤30，∴900－＋≤900.‎ 即－≤0，解得t≥，又t＝时，v＝30(海里/小时)，‎ 故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于.‎ 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东30°，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇